数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用课后复习题

1.1.2　空间向量的数量积运算

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(多选题)下列各命题中,正确的有(　　)

A.=|a|

B.m(λa)·b=(mλ)a·b(m,λ∈R)

C.a·(b+c)=(b+c)·a

D.a2b=b2a

解析∵a·a=|a|2,故=|a|,A正确;m(λa)·b=(mλa)·b=mλa·b=(mλ)a·b,故B正确;a·(b+c)=a·b+a·c=b·a+c·a=(b+c)·a,故C正确;a2b=|a|2b,b2a=|b|2a,|a|2b与|b|2a不一定是相等向量,故D不正确.

答案ABC

2.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为(　　)

A.-6 B.6 C.3 D.-3

解析由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,

∴(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,

∴2k-12=0,∴k=6.

答案B

3.已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b=(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析由条件知p·q=0,p2=q2=1,

所以a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2-2q2+p·q=1.

答案A

4.已知|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为(　　)

A.30° B.45° C.135° D.60°

解析∵a-b与a垂直,∴(a-b)·a=0,

∴a·a-a·b=|a|2-|a||b|cos<a,b>=1-1××cos<a,b>=0,∴cos<a,b>=.

∵0°≤<a,b>≤180°,∴<a,b>=45°.

答案B

5.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(-2)·()=0,则△ABC是(　　)

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

解析因为-2=()+()=,

所以(-2)·()=()·()==0,

所以||=||,因此△ABC是等腰三角形.

答案B

6.(多选题)如图,已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积为零的是(　　)

A. B.

C. D.

解析因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,故=0;因为AD⊥AB,AD⊥PA,且PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,故AD⊥PB,则=0;同理可得=0;而PC与AD所成角为∠PCB,显然不垂直.

答案BCD

7.已知空间向量a,b,c中每两个的夹角都是,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|=　　　　. 

解析∵|a|=4,|b|=6,|c|=2,且<a,b>=<a,c>=<b,c>=,∴|a+b+c|2=(a+b+c)·(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|cos<a,b>+2|a||c|cos<a,c>+2|b||c|cos<b,c>=42+62+22+4×6+4×2+6×2=100,∴|a+b+c|=10.

答案10

8.在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的长.

解因为,

所以||2=()2

=||2+||2+||2+2+2+2

=62+42+32+2||||cos120°=61-12=49,

所以||=7,即PC=7.

关键能力提升练

9.若空间向量a与b不共线,a·b≠0,且c=a-b≠0,则向量a与c的夹角为(　　)

A.0 B.

C. D.

解析∵a·c=a·a-b=a·a-a·b=0,∴a⊥c.故选D.

答案D

10.已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=e1+e2与b=e1-2e2的夹角是(　　)

A.60° B.120° C.30° D.90°

解析由题意得a·b=(e1+e2)·(e1-2e2)=-e1·e2-2=1-1×1×-2=-,

|a|=,

|b|=.∴cos<a,b>==-.∴<a,b>=120°.

答案B

11.(多选题)设a,b,c是任意的非零空间向量,且两两不共线,则下列结论正确的有(　　)

A.(a·b)c-(c·a)b=0

B.|a|-|b|<|a-b|

C.(b·a)c-(c·a)b不与c垂直

D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2

解析根据空间向量数量积的定义及性质,可知a·b和c·a是实数,而c与b不共线,故(a·b)c与(c·a)b一定不相等,故A错误;因为[(b·a)c-(c·a)b]·c=(b·a)c2-(c·a)(b·c),所以当a⊥b,且a⊥c或b⊥c时,[(b·a)c-(c·a)b]·c=0,即(b·a)c-(c·a)b与c垂直,故C错误;易知BD正确.故选BD.

答案BD

12.已知向量a,b,c两两夹角都是60°,且|a|=|b|=|c|=1,则|a-2b+c|=　　　　　. 

解析因为|a-2b+c|2=a2+4b2+c2-4a·b-4b·c+2a·c=1+4+1-4×cos60°-4×cos60°+2×cos60°=3,所以|a-2b+c|=.

答案

13.四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,则点B与点D1之间的距离为　　　　　. 

解析在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,

,

∴||2=()2

=+2+2+2

=1+1+1+2×1×1×cos120°+2×1×1×cos120°+2×1×1×cos60°=2,∴||=.∴点B与点D1两点间的距离为.

答案

14.如图,在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=ND,求MN的长.

解∵+()+)=-,

∴||2=|2+|2+|2-a2-a2cos60°-a2cos60°+a2cos60°=a2,

故||=a,即MN=a.

15.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为D1C1的中点,试求所成角的余弦值.

解设正方体的棱长为1,=a,=b,=c,

则|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0.

∵=a+b,

=c+a,

∴=(a+b)·

=a·c+b·c+a2+a·b=a2=.

又∵||=,||=,

∴cos<>=,

∴所成角的余弦值为.

学科素养创新练

16.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点.

(1)求证:CE⊥A'D;

(2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值.

(1)证明设=a,=b,=c,

根据题意得|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0.

∴=b+c,=-c+b-a,

∴

=-c2+b2=0,

∴,即CE⊥A'D.

(2)解∵=-a+c,

∴||=|a|,||=|a|,

∵=(-a+c)·c2

=|a|2,

∴cos<>=.

∴异面直线CE与AC'所成角的余弦值为.