2020-2021学年1.4 空间向量的应用第1课时课时训练

1.4　空间向量的应用

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系

第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　)

A.(1,2,4) B.(1,4,2)

C.(2,1,4) D.(4,2,1)

解析由已知得=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2×(1,2,4),故选项A中的向量与共线,故选A.

答案A

2.(多选题)若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则不可能使l∥α的是(　　)

A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)

B.m=(1,3,5),n=(1,0,1)

C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)

D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)

解析若l∥α,则需m⊥n,即m·n=0,

根据选择项验证可知:A中,m·n=-2;B中,m·n=6;C中,m·n=-1;D中,m·n=0,故选ABC.

答案ABC

3.设a=(3,-2,-1)是直线l的方向向量,n=(1,2,-1)是平面α的法向量,则(　　)

A.l⊥α B.l∥α

C.l∥α或l⊂α D.l⊥α或l⊂α

解析∵a·n=0,∴a⊥n,可知l∥α或l⊂α.

答案C

4.已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是　　　　　. 

解析∵直线l∥平面ABC,∴存在实数x,y,使a=x+y=(1,0,-1),=(0,1,-1),

∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),

∴∴m=-3.

答案-3

5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一个法向量n.

解如图,建立空间直角坐标系,

则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).

设平面ACD1的法向量n=(x,y,z).

∵=(-1,1,0),

=(-1,0,1),

∴

∴

化简,得令x=1,得y=z=1.

∴平面ACD1的一个法向量n=(1,1,1).

6.已知三棱锥P-ABC,D,E,F分别为棱PA,PB,PC的中点,求证:平面DEF∥平面ABC.

证明如图,

设=a,=b,=c,

则=2a,=2b,=2c,

所以=b-a,=c-a,

=2b-2a,

=2c-2a,

对于平面ABC内任一直线l,设其方向向量为e,由平面向量基本定理知,存在唯一的实数对(x,y),使e=x+y=x(2b-2a)+y(2c-2a)=2x(b-a)+2y(c-a)=2x+2y,因此e与共面,即e∥平面DEF,又l⊄平面DEF,所以l∥平面DEF.由l的任意性知,平面ABC∥平面DEF.

关键能力提升练

7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)

A.相交 B.平行

C.垂直 D.无法确定

解析建立如图所示的空间直角坐标系,由图可知平面BB1C1C的法向量n=(0,1,0).

∵A1M=AN=,

∴M,

N,

∴.

∵·n=0,∴MN∥平面BB1C1C.

答案B

8.(2020山东聊城高二期中)

如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,点M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为(　　)

A.(1,1,1)　　　　　　B.,1

C.,1 D.,1

解析连接OE(图略).设点M的坐标为(x,y,1).

因为AC∩BD=O,所以O,0.

又E(0,0,1),A(,0),

所以=-,-,1,=(x-,y-,1).

因为AM∥平面BDE,所以,

则有解得

所以点M的坐标为,1.故选C.

答案C

9.(多选题)下列命题是假命题的为(　　)

A.若向量p=xa+yb,则p与a,b共面

B.若p与a,b共面,则p=xa+yb

C.若=x+y,则P,M,A,B四点共面

D.若P,M,A,B四点共面,则=x+y

解析易知A,C为真命题;B中需满足a,b不共线;D中需满足M,A,B三点不共线.

答案BD

10.平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=,已知α∥β,则x+y=　　　　　. 

解析因为α∥β,所以u∥v.则,

即故x+y=.

答案

11.若A0,2,,B1,-1,,C-2,1,是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=　　　　　　　. 

解析因为=1,-3,-,

=-2,-1,-,

又因为a·=0,a·=0,

所以解得

所以x∶y∶z=y∶y∶-y=2∶3∶(-4).

答案2∶3∶(-4)

12.

(2020河南郑州第一中学高三联考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=,E,F,G分别是棱AB,BC,CC1的中点,P是底面ABCD(不含边界)内的动点,若直线D1P与平面EFG平行,求△BB1P的面积的最小值.

解如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,,0),C(0,,0),D1(0,0,1),C1(0,,1),

∴E1,,0,F,0,G0,,

∴=-,0,=-,0,.

设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,则

即令x=,则y=1,z=,

∴平面EFG的一个法向量n=(,1,).

设P(m,s,0)(0<m<1,0<s<),则=(m,s,-1),

=(m-1,s-,0).

∵D1P∥平面EFG,∴n⊥,∴n·m+s-=0,∴s=m,易知BB1=1,

∴BB1×BP

=×1×

=,

当m=时,取得最小值.

学科素养创新练

13.已知M为长方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点,点P在长方体ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D内,且PM∥平面BB1D1D,试探讨点P的确切位置.

解以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

根据题意可设A(a,0,0),B(a,b,0),D1(0,0,c),P(0,y,z),C(0,b,0),

则M.

又PM∥平面BB1D1D,根据空间向量基本定理知,必存在实数对(m,n),使得=m+n,

即=(ma,mb,nc),

即

解得

则点P的坐标为.

所以点P在平面DCC1D1的边DC的垂直平分线EF上.