高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程课后测评

2.2　直线的方程

2.2.1　直线的点斜式方程

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.直线y-4=-(x+3)的倾斜角和所经过的定点分别是(　　)

A.30°,(-3,4) B.120°,(-3,4)

C.150°,(3,-4) D.120°,(3,-4)

解析斜率k=-,过定点(-3,4).

答案B

2.过点(0,1)且与直线y=(x+1)垂直的直线方程是 (　　)

A.y=2x-1 B.y=-2x-1

C.y=-2x+1 D.y=2x+1

解析与直线y=(x+1)垂直的直线斜率为-2,又过点(0,1),所以所求直线方程为y=-2x+1,故选C.

答案C

3.直线y=ax+(a≠0)的图形可能是(　　)

解析直线y=ax+(a≠0)的斜率是a,在y轴上的截距是.当a>0时,直线在y轴上的截距>0,此时直线y=ax+过第一、二、三象限;当a<0时,直线在y轴上的截距<0,此时直线y=ax+过第二、三、四象限,只有选项B符合.

答案B

4.斜率为2的直线经过(3,5),(a,7)两点,则a=　　　　　. 

解析经过点(3,5),斜率为2的直线的点斜式方程为y-5=2(x-3),将(a,7)代入y-5=2(x-3),解得a=4.

答案4

5.直线l与直线y=-x+2垂直,且它在y轴上的截距为4,则直线l的方程为　　　　　　　　. 

解析设直线l的方程为y=x+m,又它在y轴上的截距为4,∴m=4,∴直线l的方程为y=x+4.

答案y=x+4

6.已知直线l的斜率为,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l的斜截式方程为　　　　　　. 

解析设直线l的方程为y=x+b(b≠0).当x=0时,y=b;当y=0时,x=-6b.由题意可得·|b|·|-6b|=3,即6|b|2=6,解得b=±1.故直线l的方程为y=x+1或y=x-1.

答案y=x+1或y=x-1

7.已知△ABC的顶点坐标分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),试求这个三角形的三条边所在直线的点斜式方程.

解直线AB的斜率kAB==-,且直线AB过点A(-5,0),∴直线AB的点斜式方程为y=-(x+5),

同理:kBC==-,kAC=,

∴直线BC的点斜式方程为

y-2=-x或y+3=-(x-3),

直线AC的点斜式方程为

y-2=x或y=(x+5).

8.已知直线l:y=kx+2k+1.

(1)求证:对于任意的实数k,直线l恒过一个定点;

(2)当-3<x<3时,直线l上的点都在x轴的上方,求实数k的取值范围.

(1)证明由y=kx+2k+1,得y-1=k(x+2),从而直线l恒过定点(-2,1).

(2)解设函数f(x)=kx+2k+1,

由题意可得解得-≤k≤1.所以实数k的取值范围是.

关键能力提升练

9.将直线y=(x-2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是(　　)

A.y=-x+2 B.y=x+2

C.y=-x-2 D.y=x-2

解析∵直线y=(x-2)的倾斜角是60°,

∴按逆时针旋转60°后的直线的倾斜角为120°,斜率为-,且过点(2,0).

∴其方程为y-0=-(x-2),即y=-x+2.

答案A

10.以A(2,-5),B(4,-1)为端点的线段的垂直平分线方程是(　　)

A.y=2x+9 B.y=-x+

C.y=2x-9 D.y=-x-

解析由A(2,-5),B(4,-1),知线段AB中点坐标为P(3,-3),又由斜率公式可得kAB==2,所以线段AB的垂直平分线的斜率为k=-=-,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-(-3)=-(x-3),即y=-x-.故选D.

答案D

11.若y=a|x|与y=x+a(a>0)的图象有两个交点,则a的取值范围是(　　)

A.(1,+∞) B.(0,1)

C.⌀ D.(0,1)∪(1,+∞)

解析y=x+a(a>0)表示斜率为1,在y轴上的截距为a(a>0)的直线,y=a|x|表示关于y轴对称的两条射线.根据题意画出大致图象,如图.若y=a|x|与y=x+a的图象有两个交点,且a>0,则根据图象可知a>1.故选A.

答案A

12.(多选题)在同一直角坐标系中,能正确表示直线y=ax与y=x+a大致图象的是(　　)

答案BC

13.已知直线l过点P(-2,0),直线l与坐标轴围成的三角形的面积为10,则直线l的方程为　　　　　　　. 

解析设直线l在y轴上的截距为b,则由已知得×|-2|×|b|=10,b=±10.

①当b=10时,直线过点(-2,0),(0,10),斜率k==5.

故直线的斜截式方程为y=5x+10.

②当b=-10时,直线过点(-2,0),(0,-10),斜率k==-5.

故直线的斜截式方程为y=-5x-10.

综合①②可知,直线l的方程为y=5x+10或y=-5x-10.

答案y=5x+10或y=-5x-10

14.(2020广东广州二中高二上期中)已知直线l:kx-y+2+4k=0(k∈R).

(1)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;

(2)若直线l交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.

解(1)直线l的方程可化为y=kx+2+4k,则直线在y轴上的截距为4k+2,

要使直线l不经过第四象限,需满足解得k≥0,故k的取值范围是[0,+∞).

(2)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为4k+2,且k>0,所以A,B(0,4k+2),故S=|OA|×|OB|==2≥2×(4+4)=16,当且仅当4k=,即k=时,等号成立.故S的最小值为16,此时直线l的方程为y=x+4.

学科素养创新练

15.有一个既有进水管又有出水管的容器,每单位时间进出的水量是一定的,设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水,在随后的30分钟内既进水又出水,得到时间x(单位:分钟)与水量y(单位:升)之间的关系如图所示,若40分钟后只放水不进水,求y与x的函数关系.

解当0<x<10时,直线段过点O(0,0)和A(10,20).所以kOA==2,此时方程为y=2x.

当10≤x≤40时,直线段过点A(10,20)和B(40,30),所以kAB=.此时方程为y-20=(x-10),即y=x+.

当x>40时,由物理知识可知,直线的斜率就是相应进水或放水的速度.设进水速度为v1,放水速度为v2,当0≤x≤10时,是只进水过程,所以v1=2,当10<x≤40时,是既进水又放水,所以此时速度为v1+v2=,即2+v2=,所以v2=-.

所以当x>40时,k=-,又直线过点B(40,30).此时直线方程为y-30=-(x-40),即y=-x+.当y=0时,x==58.此时,直线过点C(58,0),即第58分钟时水放完.

综上所述可知,y=