2021届高中数学一轮复习北师大版（理）第十二章第3讲合情推理与演绎推理作业

这是一份2021届高中数学一轮复习北师大版（理）第十二章第3讲合情推理与演绎推理作业，共7页。试卷主要包含了观察下列各式，在平面几何里有射影定理，给出下面的数表序列等内容，欢迎下载使用。
[基础题组练]1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)A．121  B．123C．231  D．211解析：选B.法一：令an＝an＋bn，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.法二：由a＋b＝1，a2＋b2＝3，得ab＝－1，代入后三个等式中符合，则a10＋b10＝(a5＋b5)2－2a5b5＝123.2．(2020·安徽六校联考)如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点．第n个图形由正(n＋2)边形扩展而成，n∈N*，则第n个图形的顶点个数是(　　)A．(2n＋1)(2n＋2)  B．3(2n＋2)C．2n(5n＋1)  D．(n＋2)(n＋3)解析：选D.由题图我们可以得到，当n＝1时，顶点个数为12＝3×4，n＝2时，顶点个数为20＝4×5，n＝3时，顶点个数为30＝5×6，n＝4时，顶点个数为42＝6×7，…，由此我们可以推断：第n个图形共有(n＋2)·(n＋3)个顶点，故选D.3．(2020·福建永春调研)在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，且O在△BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是(　　)A．S＝S△BCO·S△BCDB．S＝S△BOD·S△BOCC．S＝S△DOC·S△BOCD．S＝S△ABD·S△ABC解析：选A.由已知，在平面几何中，若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2＝BD·BC.可以类比这一性质，推理出：若三棱锥D­ABC中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，如图所示，则(S△ABC)2＝S△BCO·S△BCD.故选A.4．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班(抓到“值”字的人值班)．抓完阄后，甲说：“我没抓到．”乙说：“丙抓到了．”丙说：“丁抓到了．”丁说：“我没抓到．”已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是(　　)A．甲  B．乙C．丙  D．丁解析：选A.如果甲说的是真的，那么乙和丙说的都是假的，但由此推出丁说的是真的，与题意矛盾；如果甲说的是假的，即甲抓到了，那么丁说的就是真的，乙和丙说的就是假的，符合题意．故可以断定甲抓到了，值班的人是甲．故选A.5．桌上共8个球，甲、乙二人轮流取球，取到最后一球者胜利．规则是：第一次取球至少1个，至多不超过总数的，每次取球的数量不超过前面一次且不少于前面取球数的.比如，前面一次甲取球3个，接着乙取球的数量为2或3.若甲先取球，甲为了有必胜的把握，第一次应取球的个数为(　　)A．1  B．2C．3  D．4解析：选C.由题意可知，若甲先取1球，则乙取1球，以此类推，乙胜．若甲先取2球，则乙只能取2球或1球，乙取2球时，甲只能取2球或1球，此时无论如何都是乙胜；乙取1球时，则甲取1球，以此类推，甲胜．若甲先取4球，则乙可取完剩下的球，乙胜．若甲先取3球，则乙只能取2球或3球，乙取2球时，甲取1球，然后乙取1球，甲取1球，甲胜；乙取3球时，甲取完，甲胜．综上可知，甲先取3球有必胜的把握．6．(2020·西藏林芝一中调考)已知集合A，B与集合A@B的对应关系如下表：A{1，2，3，4，5}{－1，0，1}{－4，8}B{2，4，6，8}{－2，－1，0，1}{－4，－2，0，2}A@B{1，3，5，6，8}{－2}{－2，0，2，8}若A＝{－2 009，0，2 018}，B＝{－2 009，0，2 019}，试根据表中的规律写出A@B＝________．解析：由题意可知，集合A@B是由A∪B中的元素去掉A∩B中的元素组成的，已知A＝{－2 009，0，2 018}，B＝{－2 009，0，2 019}，则A∪B＝{－2 009，0，2 018，2 019}，A∩B＝{－2 009，0}，则A@B＝{2 018，2 019}．答案：{2 018，2 019}7．某校为高一学生开设了三门选修课程，分别是文学与艺术、哲学初步、数学史．调查某班甲、乙、丙三名学生的三门选修课程的选修情况时，甲说：“我选修的课程比乙多，但没有选修哲学初步．”乙说：“我没有选修数学史．”丙说：“我们三人选修的课程中，有一门课程是相同的．”由此可以判断乙选修的课程为________．解析：由丙说的话，可知甲、乙两人至少选修了一门课程，且选修的课程中有一门课程是相同的，又甲比乙选修的课程多，且没有选修哲学初步，所以甲选修了文学与艺术和数学史．又乙没有选修数学史，所以乙选修的课程为文学与艺术．答案：文学与艺术8.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e＝________．解析：设“黄金双曲线”的方程为－＝1(a>0，b>0)，则B(0，b)，F(－c，0)，A(a，0)．在“黄金双曲线”中，因为⊥，所以·＝0.又＝(c，b)，＝(－a，b)，所以b2＝ac.而b2＝c2－a2，所以c2－a2＝ac.在等号两边同除以a2，得e2－1＝e，解得e＝.答案：9．设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解：f(0)＋f(1)＝＋＝＋＝＋＝，同理可得：f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝.证明：设x1＋x2＝1，f(x1)＋f(x2)＝＋＝＝＝＝＝.10．给出下面的数表序列：　表1　　　　表2　　　　表31　　　　1　3　　　1　3　5　　　 　　　　4　　　　 4　8　　　　　　　　　　　　　12　…其中表n(n＝1，2，3，…)有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．解：表4为1　3　5　7　　　4　8　12　 　　　　 1220 　　　　32它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．[综合题组练]1．“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中记载了“方垛”的计算方法：“果子以垛，下方十四个，问计几何？术曰：下方加一，乘下方为平积．又加半为高，以乘下方为高积．如三而一．”意思是说，将果子以方垛的形式摆放(方垛即每层均为正方形，自下而上每层每边果子数依次递减1个，最上层为1个)，最下层每边果子数为14个，问共有多少个果子？计算方法用算式表示，为×14×(14＋1)×.利用“方垛”的计算方法，可计算最下层每边果子数为14个的“三角垛”(三角垛即每层均为正三角形，自下而上每 层每边果子数依次递减1个，最上层为1个)共有果子数为(　　)A．420个　　　　　　　　  B．560个C．680个  D．1 015个解析：选B.由题意知，最下层每边为14个果子的“方垛”总的果子数的计算式为12＋22＋…＋142＝×14×(14＋1)×，所以可得最下层每边为n(n∈N+)个果子的“方垛”总的果子数的计算式为12＋22＋…＋n2＝×n×(n＋1)×.最下层每边为n个果子的“三角垛”自上而下的第k(k≤n，k∈N+)层果子数为，所以n层“三角垛”总的果子数为1＋3＋…＋.因为1＋3＋…＋＝×[1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)]＝×(12＋1＋22＋2＋…＋n2＋n)＝×[(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋…＋n)]＝×＝n(n＋1)·＝n(n＋1)(n＋2)，所以取n＝14，可得“三角垛”的果子总数为560个．故选B.2．(2020·陕西第二次质检)一布袋中装有n个小球，甲、乙两个同学轮流抓球，且不放回，每次最少抓一个球，最多抓三个球．规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是(　　)A．若n＝9，则乙有必赢的策略B．若n＝7，则甲有必赢的策略C．若n＝6，则甲有必赢的策略D．若n＝4，则乙有必赢的策略解析：选A.若n＝9，则乙有必赢的策略．(1)若乙抓1个球，甲抓1个球时，乙再抓3个球，此时剩余4个球，无论甲抓1～3的哪种情况，乙都能保证抓最后一个球；(2)若乙抓1个球，甲抓2个球时，乙再抓2个球，此时剩余4个球，无论甲抓1～3的哪种情况，乙都能保证抓最后一个球；(3)若乙抓1个球，甲抓3个球时，乙再抓1个球，此时剩余4个球，无论甲抓1～3的哪种情况，乙都能保证抓最后一个球．所以若n＝9，则乙有必赢的策略，故选A.3．有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日，5月8日，9月4日，9月6日，9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师的生日为8月4日．答案：8月4日4．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定x＝2，则1＋＝________．解析：1＋＝x，即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x1＝，x2＝，故1＋＝.答案：5.如图，在△ABC中，O为其内切圆圆心，过O的直线将三角形面积分为相等的两部分，且该直线与AC，BC分别相交于点F，E，则四边形ABEF与△CEF的周长相等．将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题，并证明该命题的正确性．解：如图，截面AEF经过四面体ABCD的内切球(与四个面都相切的球)的球心O，且与BC，DC分别交于点E，F，若截面将四面体分为体积相等的两部分，则四棱锥A­BEFD与三棱锥A­EFC的表面积相等．下面证明该结论的正确性：设内切球半径为R，则VA­BEFD＝(S△ABD＋S△ABE＋S△ADF＋S四边形BEFD)×R＝VA­EFC＝(S△AEC＋S△ACF＋S△ECF)×R，即S△ABD＋S△ABE＋S△ADF＋S四边形BEFD＝S△AEC＋S△ACF＋S△ECF，两边同加S△AEF可得结论．6．我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y＝f(x)(x∈D)，对任意x，y，∈D均满足f≥[f(x)＋f(y)]，当且仅当x＝y时等号成立．(1)若定义在(0，＋∞)上的函数f(x)∈M，试比较f(3)＋f(5)与2f(4)的大小；(2)设函数g(x)＝－x2，求证：g(x)∈M.解：(1)对于f≥[f(x)＋f(y)]，令x＝3，y＝5得f(3)＋f(5)≤2f(4)．(2)证明：g－[g(x1)＋g(x2)]＝－＋＝≥0，当且仅当x1＝x2时取等号，所以g≥[g(x1)＋g(x2)]，所以g(x)∈M.