高考数学大一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲二次函数与幂函数2试题文含解析

第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ

第三讲　二次函数与幂函数

1.[2021安徽省阜阳市模拟]在同一直角坐标系中,函数y=ax2+bx,y=ax-b(a>0且a≠1)的图象可能是 (　　)

2.[2021安徽合肥一中模拟]已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为              (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.-3 B.1 C.2 D.1或2

3.[2021山东潍坊模拟]已知二次函数f(x)=(x-m)(x-n)+1,且x1,x2是方程f(x)=0的两个根,则x1,x2,m,n的大小关系可能是              (　　)

A.x1<x2<m<n B.x1<m<x2<n

C.m<n<x1<x2 D.m<x1<x2<n

4.[2021成都市摸底测试]已知函数f(x)=-x2+2|x|+3.若a=f(ln 2),b=f(-ln 3),c=f(e),则a,b,c的大小关系为 (　　)

A.b>a>c B.b>c>a C.a>b>c D.a>c>b

5.[2021安徽省四校联考]已知当x∈[0,1]时,不等式x2cos θ-x(1-x)+(1-x)2sin θ>0恒成立,则θ的取值范围为              (　　)

A.kπ+<θ<kπ+(k为任意整数)

B.kπ+<θ<kπ+(k为任意整数)

C.2kπ+<θ<2kπ+(k为任意整数)

D.2kπ+<θ<2kπ+(k为任意整数)

6.[2021长春市第一次质量监测]对于函数f(x)=x|x|+x+1,下列结论中正确的是 (　　)

A.f(x)为奇函数

B.f(x)在定义域上是单调递减函数

C.f(x)的图象关于点(0,1)对称

D.f(x)在区间(0,+∞)上存在零点

7.[2020重庆市二检]已知点(2,)在幂函数f(x)=xn的图象上,设a=f(),b=f(ln π),c=f(),则a,b,c 的大小关系为              (　　)

A.b<a<c B.a<b<c

C.b<c<a D.a<c<b

8. [2020南阳一中模拟]“函数f(x)=-x2+2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是 (　　)

A.1<m<3 B.1<m<4

C.2≤m≤3 D.2<m<

9.[2020沈阳市东北育才学校模拟]已知函数y=f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,则y=f(2-x2)的一个单调递增区间为              (　　)

A.(-∞,0] B.[0,+∞)

C.[0,] D.[,+∞)

10.[2021安徽省合肥市第七中学模拟]已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)·xm+1为奇函数,则不等式f(2x-3)+f(x)>0的解集为　　　　. 

11.[2021浙江金华东阳中学模拟]已知函数f(x)=ax2+(a-3)x+1.若f(x)在[-1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　;若函数f(x)在[1,2]上的最小值为2,则a的值为　　　　. 

12.[2019湖南省邵阳市高三大联考]若对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,则a的取值范围是　　　　. 

13.[2021合肥市调研检测]已知函数f(x)=x3+bx2+(b-4)x,若存在x∈[-3,-1]使得f'(x)≥0成立,则实数b的最值情况是              (　　)

A.有最大值1 B.有最大值-3

C.有最小值1 D.有最小值-3

14.[二次函数与基本不等式综合]已知函数f(x)=x2+(a+8)x+a2+a-12(a<0),且f(a2-4)=f(2a-8),则 (n∈N*)的最小值为              (　　)

A. B. C. D.

15.[2020江苏镇江一中模拟]已知函数f(x)是定义在[2-a,3]上的偶函数,在[0,3]上单调递减,且f(-m2-)>f(-m2+2m-2),则实数m的取值范围是　　　　. 

16.已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<m的解集为(-1,3),则满足f(3t-m)<m的实数t的取值范围是　　　　. 

17.[2020山西省运城市模拟]定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足f'(x1)=f'(x2)=,则称函数f(x)是[a,b]上的“中值函数”.已知函数f(x)=x3-x2+m是[0,m]上的“中值函数”,则实数m的取值范围是　　　　. 

答 案

第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ

 第三讲　二次函数与幂函数

1.D　分a>1和0<a<1两类进行讨论.当a>1时,由选项中指数函数图象与y轴的交点的纵坐标小于1可知,b>0,则A选项中二次函数图象不符,D选项符合.当0<a<1时,由选项中指数函数图象与y轴的交点的纵坐标小于1可知,b<0,则B,C选项均不正确,故选D.

2.B　∵幂函数f(x)=(n2+2n-2)(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,∴解得n=1.故选B.

3.D　由题意可得f(m)=f(n)=1,f(x1)=f(x2)=0,由于函数y=f(x)的图象开口向上,结合选项可知,只有D项可能.

4.A　当x>0时,f(x)=-x2+2|x|+3=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.因为f(-x)=-(-x)2+2|-x|+3=-x2+2|x|+3=f(x),所以f(x)为偶函数,所以f(-ln 3)=f(ln 3),又0<ln 2<1<ln 3,所以f(ln 2)=f(2-ln 2)=f(ln ),因为1<ln 3<ln <e,所以f(ln 3)>f(ln )>f(e),即b>a>c.

5.C　解法一　设f(x)=x2cos θ-x(1-x)+(1-x)2sin θ=(1+sin θ+cos θ)x2-(1+2sin θ)x+sin θ,由题意知,即∴2kπ<θ<2kπ+,k∈Z　①.∴1+sin θ+cos θ>0,0<<1.因为f(x)=(1+sin θ+cos θ)x2-(1+2sin θ)x+sin θ>0在[0,1]上恒成立,所以Δ<0,即(1+2sin θ)2-4sin θ(1+sin θ+cos θ)<0,化简得sin 2θ>,解得kπ+<θ<kπ+,k∈Z　②.由①②可得2kπ+<θ<2kπ+,k∈Z,故选C.

解法二　设f(x)=x2cos θ-x(1-x)+(1-x)2sin θ,由题意知,即故θ位于第一象限,排除A,B,D,故选C.

6.C　由题意,知函数f(x)的定义域为R.对于A,因为f(0)=1≠0,所以函数f(x)不是奇函数,故A不正确;对于B,当x>0时,f(x)=x2+x+1=(x+)2+,由二次函数的性质知,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故B不正确;对于C,f(x)=设x>0,则-x<0,f(x)+f(2×0-x)=f(x)+f(-x)=x2+x+1-x2-x+1=2,所以函数f(x)的图象关于点(0,1)对称,故C正确;对于D,当x>0时,f(x)=x2+x+1>1,所以函数f(x)在区间(0,+∞)上不存在零点,故D不正确.故选C.

7.C　因为点(2,)在函数f(x)的图象上,所以=2n,解得n=-3,所以f(x)=x-3,易知当x>0时,f(x)单调递减.因为<1,ln π>ln e=1,所以f()>f()>f(ln π),即a>c>b,故选C.

8.B　f(x)=-x2+2mx图象的对称轴为直线x=m,若函数f(x)=-x2+2mx在区间[1,3]上不单调,则1<m<3,所以“函数f(x)=-x2+2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是1<m<4.故选B.

9.C　由y=f(x)为偶函数,可得y=f(2-x2)也为偶函数.令m=2-x2,则y=f(m)在[0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增.因为m=2-x2在(0,+∞)上单调递减,且当0≤x≤时,m≥0,所以m=2-x2在[0,]上单调递减,此时,y=f(m)也单调递减,所以f(2-x2)在[0,]上单调递增,故选C.

10.(1,+∞)　因为f(x)=(m2-3m+3)·xm+1是幂函数,所以m2-3m+3=1,所以m=1或2.又f(x)=xm+1是奇函数,所以m=2,所以f(x)=x3且f(x)在R上单调递增.因为f(2x-3)+f(x)>0,所以f(2x-3)>f(-x),所以2x-3>-x,解得x>1.

11.[-3,0]　2　函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上单调递减,当a=0时,f(x)=-3x+1在R上单调递减,所以满足条件;当a<0时,函数f(x)图象开口向下,若f(x)在区间[-1,+∞)上单调递减,只需满足≤-1,解得-3≤a<0;当a>0时,函数图象开口向上,可知不满足条件,综上可知实数a的取值范围是[-3,0].

当a=0时,f(x)=-3x+1在R上单调递减,故函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(2)=-5≠2,所以不满足条件;当a<0时,函数的对称轴为x=<0,所以函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,故最小值为f(2)=4a+2a-6+1=2,得a=,不满足条件;当a>0时,分三种情况进行讨论:①当x=≤1时,即a≥1,函数f(x)在[1,2]上单调递增,函数f(x)的最小值为f(1)=a+a-3+1=2,a=2成立,②当x=≥2时,即0<a≤,函数f(x)在[1,2]上单调递减,函数f(x)的最小值为f(2)=2,得a=,不成立.③当1<<2时,<a<1,函数f(x)的最小值为f()==2,得a2-2a+9=0,Δ<0,无解.综上可知a=2.

12.(-∞,-1]　由题可得,(3x+a)3≤(2x)3,因为y=x3在R上单调递增,所以3x+a≤2x,即x+a≤0在x∈[a,a+2]时恒成立,所以2a+2≤0,即a≤-1.

13.A　解法一　由题意知f'(x)=x2+2bx+b-4=(x+b)2-b2+b-4,其图象的对称轴为直线x=-b,当时,解得b≤1,当时,无解,所以b有最大值1,故选A.

解法二　由题意知f'(x)=x2+2bx+b-4,且存在x∈[-3,-1]使得f'(x)≥0成立,因为f'(x)的图象是开口向上的抛物线,所以f'(-3)=9-6b+b-4≥0或f'(-1)=1-2b+b-4≥0,解得b≤1或b≤-3,综上可得b≤1,所以b有最大值1,故选A.

14.A　二次函数f(x)=x2+(a+8)x+a2+a-12图象的对称轴为直线x=,因为f(a2-4)=f(2a-8),所以a2-4=2a-8或=,解得a=-4或a=1.又a<0,∴a=-4,∴f(x)=x2+4x,∴=n+1++2≥2+2=2+2,当且仅当n+1=,即n=1时等号成立.又n∈N*且2<1<3,当n=2时,,当n=3时,+2=,∴(n∈N*)的最小值为.故选A.

15.[1,)　由函数f(x)是定义在[2-a,3]上的偶函数,得2-a+3=0,所以a=5,所以f(-m2)>f(-m2+2m-2)即f(-m2-1)>f(-m2+2m-2).又易知偶函数f(x)在[-3,0]上单调递增,而-m2-1<0,-m2+2m-2<0,所以解得1≤m<.

16.(1,log37)　由函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)的值域为[0,+∞)知,Δ=b2-4c=0,所以c=.不等式f(x)<m,即x2+bx+<m,所以(x+)2<m(m>0),解得<x<,所以2=4,解得m=4,所以-1<3t-4<3,解得1<t<log37.

17.(,)　由题意,知f'(x)=x2-x在[0,m]上存在x1,x2(0<x1<x2<m),满足f'(x1)=f'(x2)=m2m,所以方程x2-x=m2m在(0,m)上有两个不相等的解.令g(x)=x2-xm2+m(0<x<m),则解得<m<.