高考数学大一轮复习第8章立体几何第3讲直线平面平行的判定及性质2试题文含解析

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第八章　立体几何第三讲　直线、平面平行的判定及性质1.[2021黑龙江省六校阶段联考]对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件:①存在平面γ,使得α,β都平行于γ;②存在平面γ,使得α,β都垂直于γ;③α内有不共线的三点到β的距离相等;④存在异面直线l,m,使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β.其中,可以判定α与β平行的条件有              (　　)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.[2020长春市质量监测]已知a,b,c为三条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列说法正确的是 (　　)①a⊥α,b⊥α,则a∥b; ②α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β;③a∥α,b∥α,则a∥b; ④α∥γ,β∥γ,则α∥β.A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①④3.[2020广州模拟]如图8-3-1,在三棱锥A-BCD中,AB=CD=a,M,N,P,Q分别在棱AC,BC,BD,AD(不包含端点)上,AB,CD均平行于平面MNPQ,则四边形MNPQ的周长是(　　)A.4a B.2aC. D.周长与截面的位置有关图8-3-14.[2020沈阳市模拟]下列三个命题在“(　)”处都缺少同一个条件,补上这个条件可使这三个命题均为真命题(其中l,m为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面),则此条件是　　　　. ①⇒l∥α;②⇒l∥α;③⇒l∥α.5.[2021晋南高中联考]如图8-3-2所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=AD,PA⊥底面ABCD,过BC的平面交PD于M,交PA于N(M与D不重合).(1)求证:MN∥BC.(2)若BM⊥AC,求的值. 图8-3-26.[2020江西红色七校联考]如图8-3-3,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,E,F分别为AB,B1C1的中点.(1)求证:B1E∥平面ACF.(2)求三棱锥B1-ACF的体积. 图8-3-3   7.[2020成都市高三模拟]如图8-3-4,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,AB=AD,PA⊥PD,AD⊥CD,∠BAD=60°,M,N分别为AD,PA的中点.(1)证明:平面BMN∥平面PCD.(2)若AD=6,求三棱锥P-BMN的体积. 图8-3-4    8.[新角度题]如图8-3-5,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD是边长为2的菱形,∠ADC=120°,△SAD是等边三角形,平面SAD⊥平面ABCD,E,F分别是SC,AB上的一点.(1)若E,F分别是SC,AB的中点,求证:BE∥平面SFD.(2)当为多少时,三棱锥S-BDE的体积为?图8-3-5 9.如图8-3-6(1),在四边形MABC中,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,△MAC是边长为2的正三角形.以AC 为折痕,将△MAC向上折叠到△DAC的位置,使D点在平面ABC内的射影在AB上,再将△MAC向下折叠到△EAC的位置,使平面EAC⊥平面ABC,形成几何体DABCE,如图8-3-6(2)所示.已知点F在BC上.(1)若DF∥平面EAC,求点F的位置;(2)过DF且与平面EAC平行的平面将几何体DABCE分为两部分,求这两部分几何体的体积之差(较大体积减去较小体积).图8-3-6    10.如图8-3-7,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,AD⊥DD1,点M,N分别为棱DD1,BC的中点.(1)求证:MC∥平面AD1N.(2)若AC⊥BD1,且BD1=2,求三角形MDN绕直线MN旋转一周所形成的旋转体的表面积.图8-3-7答 案第八章　立体几何第三讲　直线、平面平行的判定及性质1.B　对于①,若α∥γ,β∥γ,则由面面平行的性质可得α∥β,故①可以判定α与β平行;对于②,若存在平面γ,使得α,β都垂直于γ,则α,β不一定平行,如正方体相邻的三个面,故②不可以判定α与β平行;对于③,当α,β是两个相交平面时,如果平面α内不共线的三点在平面β的异侧时,此三点可以到平面β的距离相等,故③不可以判定α与β平行;对于④,在平面α内作l'∥l,m'∥m,因为l,m是两条异面直线,所以必有l',m'相交,又l∥β,m∥β,所以l'∥β,m'∥β,由面面平行的判定定理知,α∥β,故④可以判定α与β平行.故选B.2.D　①中,由a⊥α,b⊥α,利用线面垂直的性质定理可推出a∥b,故①正确;②中,由α⊥γ,β⊥γ,得α与β平行或相交,故②不正确;③中,由a∥α,b∥α,得a与b平行或相交或异面,故③不正确;④中,由α∥γ,β∥γ,利用面面平行的传递性可推出α∥β,故④正确.综上所述,①④的说法正确,故选D.3.B　设=k.因为AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,AB⊂平面ABC,所以MN∥AB,同理可得PQ∥AB,MQ∥CD,NP∥CD,故四边形MNPQ为平行四边形,所以,.因为AB=CD=a,所以MN=PQ=,MQ=NP=,所以四边形MNPQ的周长为MN+PQ+MQ+NP=2()=2a.故选B.4.l⊄α　②体现的是线面平行的判定定理,缺少的条件是“l为平面α外的一条直线”,即“l⊄α”,“l⊄α”也适用于①和③,故此条件是l⊄α.5.(1)在梯形ABCD中,BC∥AD,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD.又BC⊂平面BCMN,平面BCMN∩平面PAD=MN,所以MN∥BC.(2)过M作MK∥PA交AD于K,连接BK.因为PA⊥底面ABCD,所以MK⊥底面ABCD,所以MK⊥AC.又BM⊥AC,BM∩MK=M,所以AC⊥平面BMK,所以AC⊥BK.所以在平面ABCD中,可得四边形BCDK是平行四边形.所以BC=DK=AK,所以K是AD的中点,所以M是PD的中点,所以N是PA的中点.设AB=BC=AD=x,连接CN,则.6.(1)取AC的中点M,连接EM,FM.在△ABC中,因为E,M分别为AB,AC的中点,所以EM∥BC且EM=BC.又F为B1C1的中点,B1C1∥BC且B1C1=BC,所以B1F∥BC且B1F=BC,即EM∥B1F且EM=B1F.故四边形EMFB1为平行四边形,所以B1E∥FM.又FM⊂平面ACF,B1E⊄平面ACF,所以B1E∥平面ACF.(2)设O为BC的中点,连接AO,因为三棱柱底面是正三角形,所以AO=,且易知AO丄平面BCC1B1.于是×AO=×1×2×.7.(1)连接BD,如图D 8-3-2.∵AB=AD,∠BAD=60°,∴△ABD为正三角形.∵M为AD的中点,∴BM⊥AD.图D 8-3-2又AD⊥CD,CD⊂平面ABCD,BM⊂平面ABCD,∴BM∥CD.又BM⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,∴BM∥平面PCD.∵M,N分别是AD,PA的中点,∴MN∥PD.又MN⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,∴MN∥平面PCD.又BM⊂平面BMN,MN⊂平面BMN,且BM∩MN=M,∴平面BMN∥平面PCD.(2)由(1)知BM⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BM⊂平面ABCD,∴BM⊥平面PAD.又AD=6,∠BAD=60°,∴BM=3.∵M,N分别是AD,PA的中点,PA=PD=AD=3,∴△PMN的面积S△PMN=S△PAD=×(3)2=.∴三棱锥P-BMN的体积V三棱锥P-BMN=V三棱锥B-PMN=S△PMN·BM=×3 .8.(1)如图D 8-3-3,取SD的中点G,连接FG,GE.因为E,F,G分别是SC,AB,SD的中点,所以EG∥CD且EG=CD,BF=AB.又四边形ABCD是菱形,所以AB∥CD且AB=CD,所以EG∥BF且EG=BF, 所以四边形FBEG为平行四边形,所以BE∥FG.图D 8-3-3又BE⊄平面SFD,FG⊂平面SFD,所以BE∥平面SFD.(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形,∠ADC=120°,所以S△BCD=×2×.因为△SAD是等边三角形,所以在△SAD中,AD边上的高为.又平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,所以△SAD的高即三棱锥S-BCD的高,所以V三棱锥S-BCD==1.又V三棱锥S-BDE=,所以.所以当时,三棱锥S-BDE的体积为.【素养落地】　本题考查了线面位置关系的证明和线段比的探究,要求考生能熟练掌握并灵活应用有关的性质、定理,考查了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.9.(1)F为BC的中点.理由如下:如图D 8-3-4,设点D在平面ABC内的射影为O,连接OC,∵AD=CD,∴OA=OC,∴在Rt△ABC中,O为AB的中点.取BC的中点F,连接OF,DF,则OF∥AC,又OF⊄平面EAC,AC⊂平面EAC,∴OF∥平面EAC.取AC的中点H,连接EH,则EH⊥AC,又平面EAC⊥平面ABC,平面EAC∩平面ABC=AC,∴EH⊥平面ABC,又DO⊥平面ABC,∴DO∥EH,∴DO∥平面EAC.又DO∩OF=O,∴平面DOF∥平面EAC.又DF⊂平面DOF,∴DF∥平面EAC.(2)由(1)知OF∥AC,则OF⊥BC,又O为AB的中点,则DA=DB=DC,因而DF⊥BC.又OF∩DF=F,故BC⊥平面DOF.图D 8-3-4如图D 8-3-4,取BE的中点N,连接FN,ON,则FN∥EC,ON∥AE.又AD=2,∴AO=DO=,OF=AC=1,ON=AE=1,FN=CE=1,S四边形DFNO=×1××1×,则四棱锥B-DFNO的体积为×S四边形DFNO×1=,几何体DABCE的体积为×S△ABC×()=,∴两部分几何体的体积之差为2×.10.(1)如图D 8-3-5,取AD1的中点E,连接EM,EN,图D 8-3-5 因为M为棱DD1的中点,所以ME∥AD且ME=AD,又四边形ABCD是菱形,N为棱BC的中点,所以CN∥AD且CN=AD,所以ME∥CN且ME=CN,所以四边形EMCN为平行四边形,所以CM∥NE,又CM⊄平面AD1N,NE⊂平面AD1N,所以CM∥平面AD1N.(2)连接BD,因为底面ABCD是边长为2的菱形,所以AC⊥BD,又AC⊥BD1,BD∩BD1=B,所以AC⊥平面DBD1,所以AC⊥DD1.又AD⊥DD1,AC∩AD=A,所以DD1⊥平面ABCD.因为BD=2,BD1=2,所以DD1=4,MD=2,易知DN=,则MN=,三角形MDN斜边上的高为.易知三角形MDN绕着直线MN旋转一周所形成的旋转体是两个圆锥的组合体,其表面积为π×+π××2.