高考数学大一轮复习第10章圆锥曲线与方程第4讲圆锥曲线的综合应用2试题文含解析

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第十章　圆锥曲线与方程
第四讲　圆锥曲线的综合问题

1.[2021洛阳市统考]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,其左、右焦点分别是F1,F2,如图10-4-1,过F1的直线AB与椭圆相交于A,B两点,且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:y=x+t与椭圆相交于M,N两点,当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时,求t的取值范围.

图10-4-1



2.[2021四省八校联考]已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,直线l与C交于A,B两点,与C的准线交于点M.
(1)若直线l经过点F,且|AB|=4,求直线l的方程.
(2)设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且k1·k2=-2.
①证明:直线l经过定点,并求出定点的坐标;
②求MA·MB的最小值.








3.[2020全国卷Ⅱ,19,12分][文]已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.
(1)求C1的离心率;
(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.




4.[2020贵阳市高三摸底测试]已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F1(-3,0),且椭圆C经过点P(3,12).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C与y轴的正半轴交于点D,直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点(l不经过点D),且AD⊥BD,证明:直线l经过定点,并求出该定点的坐标.




5.[2021安徽省四校联考]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,上顶点为M,右焦点为F,坐标原点O到直线MF的距离为223.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l为抛物线y2=-36x的准线,A,B分别为椭圆的左、右顶点,P为直线l上的任意一点(P不在x轴上),PA交椭圆C于另一点S,PB交椭圆C于另一点T,求证:S,F,T三点共线.







6.[2021八省市新高考适应性考试]双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上.当BF⊥AF时,|AF|=|BF|.
(1)求C的离心率;
(2)若B在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF.





7.[2021辽宁辽阳调研]已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=23.过椭圆的右焦点F2作长轴的垂线,与椭圆在第一象限交于点P,且满足|PF1||PF2|=7.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若矩形ABCD的四条边均与椭圆相切,求该矩形面积的取值范围.



8.[2020大同市高三调研]已知半圆x2+y2=4(y≥0),动圆与此半圆相切(内切或外切,如图10-4-2),且与x轴相切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程,并画出其轨迹.
(2)是否存在斜率为13的直线l,它与(1)中所得的轨迹由左至右顺次交于A,B,C,D四点,且满足|AD|=2|BC|?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

图10-4-2





9.[2020湖南长郡中学第三次适应性考试][新角度题]已知抛物线G:y2=2px(p>0),其焦点为F,过点F的直线l交抛物线G于A,B两点,交抛物线G的准线于点C.当点F恰好是线段AC的中点时,|BC|=83.
(1)求抛物线G的方程;
(2)点O是坐标原点,设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,直线l的纵截距为1,此时数列{an}满足a1=1,k1+k2=-16an+1+(4an+2)2.设数列{an1+an}的前n项和为Sn,已知存在正整数m,使得m0)的“蒙日圆”方程为x2+y2=a2+b2.已知抛物线x2=4y的焦点与椭圆C的一个短轴端点重合,且椭圆C的离心率为63.
(1)求椭圆C的方程和“蒙日圆”E的方程.
(2)过“蒙日圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA,PB,A,B为切点,延长PA与“蒙日圆”E交于点Q,O为坐标原点.
①证明:PA⊥PB;
②若直线OP,OQ的斜率kOP,kOQ存在,试判断kOP·kOQ是否为定值.若是,求出该值;若不是,请说明理由.







答 案
第十章　圆锥曲线与方程
第四讲　圆锥曲线的综合问题

1.(1)由椭圆的定义知4a=8,∴a=2.
∵椭圆的离心率e=ca=12,∴c=1,从而b2=a2-c2=3,
∴椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).由y=x+t,3x2+4y2-12=0,得7x2+8tx+4t2-12=0,则Δ=64t2-28(4t2-12)>0,
解得t20,
即x1x2+y1y2>0,x1x2+y1y2=x1x2+(x1+t)(x2+t)=2x1x2+t(x1+x2)+t2=7t2-247>0,解得t2>247　②,
由①②可知2470).
动圆圆心的轨迹如图D 10-4-2所示.

图D 10-4-2
(2)假设满足题意的直线l存在,可设l的方程为y=13x+b.依题意,可得直线l与曲线y=14x2-1(y>0)交于A,D两点,与曲线y=-14x2+1(y>0)交于B,C两点.
由y=13x+b,y=14x2-1与y=13x+b,y=-14x2+1,
消去y整理可得3x2-4x-12b-12=0　①与3x2+4x+12b-12=0　②.
设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),则xA+xD=43,xAxD=-12b-123,xB+xC=-43,xBxC=12b-123.
又|AD|=1+(13)2|xA-xD|,|BC|=1+(13)2|xB-xC|,
且|AD|=2|BC|,∴|xA-xD|=2|xB-xC|,即(xA+xD)2-4xAxD=4[(xB+xC)2-4xBxC],
整理得(43)2+4(12b+12)3=4[(-43)2-4(12b-12)3],解得b=23.将b=23代入方程①,得xA=-2,xD=103.
∵函数y=14x2-1(y>0)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),
∴假设不成立,即不存在满足题意的直线l.
9.(1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p2,0),准线方程为x=-p2.
依题意知过F的直线l的斜率存在且不为0,故可设其方程为x=ty+p2(t≠0),
由x=ty+p2,y2=2px,消去x并整理,得y2-2pty-p2=0,易知Δ>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),可得y1y2=-p2.
由点F是线段AC的中点,且C(-p2,-pt),得-p2+x12=p2,-pt+y12=0,
解得x1=3p2,y1=pt,即A(3p2,pt).
由y1y2=-p2,可得y2=-p2pt=-pt,则x2=t(-pt)+p2=-pt2+p2,
即B(-pt2+p2,-pt).
把点B的坐标代入抛物线方程,可得(-pt)2=2p(-pt2+p2),可得t=±33.
不妨令t=-33,则B(p6,33p),C(-p2,3p).
由|BC|=(p6+p2)2+(33p-3p)2=43p=83,可得p=2,
所以抛物线G的方程为y2=4x.
(2)依题意可知直线l过点F(1,0)和(0,1),可得直线l的方程为y=-x+1,
由y=-x+1,y2=4x消去x并整理,得y2+4y-4=0,
则y1+y2=-4,y1y2=-4.
所以k1+k2=y1x1+y2x2=4y1+4y2=4×y1+y2y1y2=4,
则-16an+1+(4an+2)2=4,即an+1=an2+an=an(an+1),
由此可得1an+1=1an(an+1)=1an-1an+1,
所以an1+an=1-1an+1=1-(1an-1an+1).
则S2 020=2 020-[(1a1-1a2)+(1a2-1a3)+…+(1a2020-1a2021)]=2 020-(1a1-1a2021)=2 020-1+1a2021=2 019+1a2021.
由m0)上任意不同两点M,N作椭圆的切线,若两切线垂直且相交于点P,则动点P的轨迹为圆x2+y2=a2+b2.
椭圆的蒙日圆有如下几何性质.
性质1:过圆x2+y2=a2+b2上的动点P作椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两条切线PM,PN,M,N为切点,则PM⊥PN.
性质2:过圆x2+y2=a2+b2上的动点P作椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两条切线PM,PN,M,N为切点,O为坐标原点,则PO平分椭圆的切点弦MN.
性质3:设P为圆x2+y2=a2+b2上任一点,过点P作椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的切线PM,M为切点,延长PM交圆于点Q,O为坐标原点,若直线OP,OQ的斜率存在,则直线OP,OQ的斜率乘积为定值,即kOP·kOQ=-b2a2.
性质4:设P为圆x2+y2=a2+b2上任一点,过点P作椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两条切线PM,PN,M,N为切点,则S△MON的最大值为ab2,S△MON的最小值为a2b2a2+b2.