高中数学人教A版必修第一册模块复习课04 指数函数与对数函数（章节强化训练）含解析

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  [对应学生用书P126][对应学生用书P126]一、指数与对数运算1．指数与对数的运算应遵循的原则(1)指数的运算：注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算. 另外，若出现分式，则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的．(2)对数式的运算：注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，一般本着真数化简的原则进行．2．底数相同的对数式化简的两种基本方法(1)“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．(2)“拆”：将积(商)的对数拆成对数的和(差)．[训练1]　设3x＝4y＝36，则＋的值为(　　)A．6　 B．3　C．2　 D．1D　[因为3x＝36,4y＝36，所以x＝log336，y＝log436，从而有＝log363，＝log364，所以＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1.][训练2]　计算：＝________.解　原式＝＝＝.答案　[训练3]　计算(0.027)－－－2＋－(－1)0.[来源:学&科&网]解　原式＝(0.33) －－72＋－1＝－49＋－1＝－45.二、指数、对数函数的图象问题函数图象的画法画法应用范围画法技巧基本函数法基本初等函数利用一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的有关知识，画出特殊点(线)，直接根据函数的图象特征作出图象变换法与基本初等函数有关联的函数弄清所给函数与基本函数的关系，恰当选择平移、对称等变换方法，由基本函数图象变换得到函数图象描点法未知函数或较复杂的函数列表、描点、连线[训练4]　若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是(　　)B　[由函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象可知，a＝3，所以，y＝a－x＝3－x，y＝(－x)3＝－x3及y＝log3(－x)，这三个函数均为减函数，只有y＝x3是增函数．][训练5]　对a>0且a≠1的所有正实数，函数y＝ax＋1－2的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是________．解析　y＝ax的图象恒过点(0,1)，y＝ax＋1－2是由y＝ax向左平移1个单位，向下平移2个单位得到，故过点(－1，－1)．答案　(－1，－1)[训练6]　方程log2(x＋2)＝的实数解有(　　)A．0个　 B．1个　C．2个　 D．3个B　[令y1＝log2(x＋2)，y2＝，分别画出两个函数图象，如图所示：函数y1＝log2(x＋2)的图象是由函数y1＝log2x的图象向左平移2个单位长度得到. 函数y2＝的图象是由幂函数y＝x的图象关于y轴对称得到. 由图象可知，显然y1与y2有一个交点．]三、比较大小问题比较函数值的大小的一般步骤(1)根据函数值的特征选择适当的函数．(2)根据所选函数的单调性，确定两个函数值的大小．(3)当两个函数值不能直接比较时，常选择两个对应函数，再进行比较．(4)必要时，可先将函数值与特殊值0和1进行比较，最后确定它们的大小关系．[训练7]　已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－，则(　　)A．x<y<z　 B．z<x<yC．z<y<x　 D．y<z<xD　[依题意，x＝ln π>ln e＝1，y＝log52<log5＝，1＝e0>z＝e－>4－＝，于是有y<z<x.][训练8]　比较下列各组数的大小：(1)40.9,80.48，－1.5；(2)log20.4，log30.4，log40.4.解　(1)40.9＝21.8,80.48＝21.44，－1.5＝21.5，因为y＝2x在R上是增函数，所以40.9>－1.5>80.48.(2)因为对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，所以log0.44<log0.43<log0.42<log0.41＝0.又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，所以<<，即log20.4<log30.4<log40.4.四、指数函数、对数函数的性质问题1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题，本章中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题要注意换元后的取值范围．[训练9]　设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数A　[由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．][训练10]　已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.(1)求a的值；(2)若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．解　(1)因为loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.(2)由(1)知，函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝2＋.令t＝log3x，因为1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.所以y＝2＋∈，所以所求函数的值域为.五、函数的零点与方程的解函数的零点及判断个数的方法(1)函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：一是利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断，二是判断区间(a，b)上是否有零点，可应用f(a)·f(b)与0的关系判断．提醒：函数的零点是一个实数而非一个点，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．[训练11]　设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于(　　)A．1　 B．2　C．3　 D．4A　[在同一坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象，如图所示．可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解．][训练12]　函数y＝|x|－m有两个零点，则m的取值范围是________. 解析　在同一直角坐标系内，画出y1＝|x|和y2＝m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0<m<1.答案　0<m<1六、函数模型的建立建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主、被动关系，并用x，y分别表示．(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域．(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．[训练13]　某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)．试求f(x)和g(x)；(2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？解　(1)f(x)＝5x,15≤x≤40，g(x)＝(2)由f(x)＝g(x)得，，或即x＝18或x＝10(舍)．当15≤x<18时，f(x)－g(x)＝5x－90<0，所以f(x)<g(x)，即选甲家；当x＝18时，f(x)＝g(x)，既可以选甲家，也可以选乙家；当18<x≤30时，f(x)－g(x)＝5x－90>0，所以f(x)>g(x)，即选乙家；当30<x≤40时，f(x)－g(x)＝5x－(2x＋30)＝3x－30>0，所以f(x)>g(x)，即选乙家．综上所述，当15≤x<18时，选甲家；当x＝18时，可以选甲家，也可以选乙家；当18<x≤40时，选乙家．[对应学生用书P201]1．化简[(－)2]－，得(　　)A．－　 B．　　C．　　 D．－C　[[(－)2] －＝3－＝＝.]2．函数f(x)＝loga(4x－3)的图象过定点(　　)A．(1,0)　 B．(1,1)　C．　 D．A　[令4x－3＝1，得x＝1. 又f(1)＝loga(4×1－3)＝loga1＝0，故f(x)＝loga(4x－3)的图象过定点(1,0)．]3．已知某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)[来源:Z.xx.k.Com]D　[设原有荒漠化土地面积为a，由题意，得ay＝a(1＋10.4%)x.故其图象应如D项中图所示．]4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)A．y＝ 　 B．y＝x＋C．y＝2x＋　 D．y＝x＋exD　[令f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而选项A，B，C中的函数依次是偶函数、奇函数、偶函数．]5．已知函数f(x)＝x－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0<x1<x0，则f(x1)的值(　　)A．恒为正　 B．等于0C．恒为负　 D．不大于0A　[因为函数f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数，且f(x0)＝0，所以当x∈(0，x0)时，均有f(x)>0.又因为0<x1<x0，所以f(x1)>0.]6．函数y＝ln＋的定义域为________．解析　列出函数有意义的限制条件，解不等式组．要使函数有意义，需即即解得0<x≤1，所以定义域为(0,1]．答案　(0,1]7．若函数f(x)＝ax－1的图象经过点(4,2)，则函数g(x)＝loga的图象是________．解析　将点(4,2)代入f(x)＝ax－1，得2＝a4－1，解得a＝2>1. 又函数y＝在(－1，＋∞)上单调递减，所以g(x)单调递减且图象过点(0,0)，所以④正确．答案　④8．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为________．解析　设f(x)＝x3－2x－1，因为一根在区间(1,2)上，根据二分法的规则，取区间中点，因为f(1)＝－2<0，f＝－4<0，f(2)＝3>0，所以下一步可以断定该根所在区间是.答案　9．设a>0，f(x)＝＋在R上满足f(x)＝f(－x)．(1)求a的值；(2)求证f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(1)解　依题意，对一切x∈R，有f(x)＝f(－x)，即＋＝＋aex.所以＝0对一切x∈R成立，由此可得a－＝0，即a2＝1.又因为a>0，所以a＝1.(2)证明　由(1)知，f(x)＝ex＋.在(0，＋∞)上任取x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝ex1＋－＝(e x1－e x2)＋－＝(e x2－e x1).由x2>x1>0，得x1＋x2>0，e x2－e x1>0,1－e x1＋x2<0.所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．10．已知函数f(x)＝4x－2·2x＋1－6，其中x∈[0,3]．[来源:学科网](1)求函数f(x)的最大值和最小值；(2)若实数a满足f(x)－a≥0恒成立，求a的取值范围．解　(1)f(x)＝(2x)2－4·2x－6(0≤x≤3)．令t＝2x，因为0≤x≤3，所以1≤t≤8.令h(t)＝t2－4t－6＝(t－2)2－10(1≤t≤8)．当t∈[1,2]时，h(t)是减函数；当t∈(2,8]时，h(t)是增函数．所以f(x)min＝h(2)＝－10，f(x)max＝h(8)＝26.(2)因为f(x)－a≥0恒成立，即a≤f(x)恒成立，所以a≤f(x)min恒成立．由(1)知f(x)min＝－10，所以a≤－10.故a的取值范围为(－∞，－10]．11．小张周末自驾游，早上8点从家出发，驾车3 h到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数关系为s(t)＝－5t(t－13)．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60 km/h的速度沿原路返回．(1)求这天小张的车所走的路程s(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数解析式；(2)在距离小张家60 km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．解　(1)依题意得当0≤t≤3时，s(t)＝－5t(t－13)，所以s(3)＝－5×3×(3－13)＝150，即小张家距离景区停车场150 km，小张的车在景区停的时间为16－8－3＝5(h)，所以当3<t≤8时，s(t)＝150，小张从景区回家所花时间为＝2.5(h)，所以当8<t≤10.5时，s(t)＝150＋60(t－8)＝60t－330.故s(t)＝(2)当0≤t≤3时，令－5t(t－13)＝60，得t2－13t＋12＝0，解得t＝1或t＝12(舍去)．当t＝1时，时间为9点；当8<t≤10.5时，令60t－330＝2×150－60＝240，解得t＝，当t＝时，时间为17点30分．