2021新高考 数学通关秘籍 专题04 函数的单调性 同步练习

专题04  函数的单调性

【方法点拨】

1.单调函数是一对一的，运用之结合待定系数法可求函数的解析式（如例1）.

2.看到具有“（经过变形后）对称结构”的数式，应想到构造函数，运用函数的单调性解决问题.

【典型题示例】

例1   已知函数是定义在上的单调函数，对于定义域内任意，，则函数的零点所在的区间为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题的关键在于求出函数的解析式，紧紧抓住“是定义在上的单调函数”这一重要条件，设为定值，即，然后使用赋值法求出参数的值即可.

【解析】因为是定义在上的单调函数，且对任意的，都有，

所以为定值，设，则，

又由，∴，所以，

所以，所以，

因为，

所以零点所在的区间为（3，4）.

例2     (多选题)若实数，满足，则下列关系式中可能成立的是　　

A． B． C． D．

【分析】构造，，易知，是递增函数，结合函数的图象，得出结论．

【解析】由，

设，，易知，是递增函数，当，1时，，

画出，的图象如下：

根据图象可知：，（a）（b）可能成立；故正确；

当时，因为，所以（a）（b）可能成立，正确；

当时，显然成立，

当时，因为（a）（b），所以不可能成立，

故选：．

例3   设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1]   B．(0，＋∞)

C．(－1,0)   D．(－∞，0)

【答案】　D

【解析】　法一：分类讨论法

①当即x≤－1时，

f(x＋1)<f(2x)，即为2－(x＋1)<2－2x，

即－(x＋1)<－2x，解得x<1.

因此不等式的解集为(－∞，－1]．

②当时，不等式组无解．

③当即－1<x≤0时，

f(x＋1)<f(2x)，即为1<2－2x，解得x<0.

因此不等式的解集为(－1,0)．

④当即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．

综上，不等式f(x＋1)<f(2x)的解集为(－∞，0)．

法二：数形结合法

∵f(x)＝

∴函数f(x)的图象如图所示．

结合图象知，要使f(x＋1)<f(2x)，

则需或

∴x<0，故选D.

例4     （2020·江苏南通五月模拟·14）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为         ．

【答案】

【分析】本题的实质是含参数（这里当然是sin、cos）的不等式恒成立问题，应抓住已知条件的对称结构，构造函数，利用函数的单调性布列不等式.

【解析】看到想“对称结构”，将它变形为：

，

设，

易知当时，，故在单减，

所以，解之得：

所以的取值范围．

例5   （2020·江苏淮阴中学、姜堰中学12月考·14）)已知实数，满足，，则______.

【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令，得到，研究函数的单调性，求出关系，即可求解.

解法一：实数，满足，，

，，则，

，

所以在单调递增，而，

.

解析二：对两边取自然对数得：，

对两边取自然对数得：    （※）

为使两式结构相同，将（※）进一步变形为：

设，则

所以在单调递增，的解只有一个.

∴， ∴.

【巩固训练】

1．已知函数,则满足不等式的x的范围是__________.

2.已知函数，若，则实数的取值范围是__________.

3.（2020·扬州三检·12）已知函数，则关于x的不等式的解集为      ．

4.（2020·江苏南通市如皋中学创新班四月模拟·2）已知实数a，b(0，2)，且满足，则a＋b的值为_______．

5.不等式的解集是        .

6. 若满足方程，满足方程，则=           .

7. 已知单调函数是定义域是，对于定义域内任意，，则函数的零点所在的区间为（  ）

A． B． C． D．

【答案或提示】

1．【答案】

【解析】考查分段函数的单调性，.

2.【解析】在上单调递增，在上单调递增，且，在R上单调递增，

因此由得，故答案为：

3.【答案】

【分析】作出函数图象，考察动区间间图象的单调性，易得，当

即时，，此即为“临界值”，而动区间右移时满足题意，故,

所以不等式的解集为.

4.【答案】2

【分析】将化为：，设，则在上递增，由，得a＋b的值.

【解析】由，化简为：，即，

设，则在上递增，因为a，b(0，2)，所以2-b(0，2)，

且，所以，即.

5.【答案】[－1,2].

6.【答案】

7.【答案】D