2021新高考 数学通关秘籍 专题09 利用图象求解函数零点问题 同步练习

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专题09  利用图象求解函数零点问题【方法点拨】1.函数的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标，解决实际问题时，往往需分离函数，将零点个数问题转化为两个函数图象交点个数问题，将零点所在区间问题，转化为交点的横坐标所在区间问题.2.利用图象法解决零点问题，分离函数的基本策略是：一静一动，一直一曲，动直线、静曲线.3. 利用图象法解决零点问题时，作图时要注意运用导数等相关知识分析函数的单调性、奇偶性、以及关键点线（如渐进线），以保证图像的准确.【典型题示例】例1   （2020·天津·9）已知函数若函数 （）恰有4个零点，则的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D.         点评：本题是一道由函数零点个数求参数的取值范围的问题，其基本思路是运用图象，将零点个数问题转化为两函数图象交点个数，考查函数与方程的应用、数形结合思想、转化与化归思想、导数知识、一元二次方程、极值不等式、特值等进行分析求参数的范围.例2   （2020·江苏镇江三模·13）已知函数，若函数有三个零点，则实数k的取值范围是__________．【答案】【解析】作与图象，由得由得，对应图中分界线①;由过点得，对应图中分界线②；当与相切于时，因为，所以，对应图中分界线③；因为函数有三个零点，所以实数k的取值范围是故答案为：例3   （2020·江苏南通基地校一联考·14）已知函数与的零点分别为 和．若，则实数的取值范围是          ．【答案】【分析】将问题转化为函数与函数和交点的大小问题，作出函数图像，观察图像可得结果.【解析】由，得，对于函数，在上单调递增，在上单调递减，由，得，对于，得在上单调递增，在上单调递减，最大值为，其图像如图，令得，要，则直线要在点下方，，∴实数的取值范围是．例4     （2020·江苏七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)三模·13）已知函数，若函数有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是       ．【答案】(27，+∞)【解析】易知是偶函数，问题可转化为有且仅有两个不同的零点.分离函数得，由图形易知k＞0，问题进一步转化为有两个交点问题.设两个函数图象的公切点为则，解得，所以当时，即k＞27时，上述两个函数图象有两个交点综上所述，实数k的取值范围是(27，)．例5   （2020·江苏南通五月模拟·13）已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数m的取值范围是       ．【答案】【解析】是偶函数，问题转化为，即（）有两个零点易知，两边均为曲线，较难求解.两边取自然对数，，即   问题即为：与有两个交点   先考察直线与相切，即只有一点交点的“临界状态”   设切点为，则，解得，此时切点为   代入   再求与有两个交点时，m的取值范围   由图象知，当在直线下方时，满足题意   故，解之得，此时也符合   所以实数m的取值范围是．点评：取对数的目的在于“化双曲为一直一曲”，简化了运算、难度，取对数不影响零点的个数.例6    若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为           ．【答案】 【分析】本题的难点是“分离函数”，函数分离的是否恰当、易于进一步解题，是分离时应综合考虑的重要因素，也是学生数学素养、能力的综合体现.本例中，可将已知变形为下列多种形式：、，，···，但利用较简单.【解析】易知0是函数一个的零点，当x≠0时，可化为，考虑与有且只有两个非零零点. 如下图，利用导数知识易得：由图象得：或，解之得： 或所以实数的取值范围为．例7   （2020·南通基地校第三次联考·14）已知函数，．若关于x的方程有四个不相等的实数解，则实数a的取值范围是       ．【答案】【分析】从结构上看，首先考虑“对化指”，方程，属于复合函数的零点问题，内函数是指数型，外函数是二次函数.设，，则为偶函数，研究 “一半”， 令，x＞0，则关于t的方程在(，)内有两个不相等的实根，分离参数，利用“形”立得.【解析】方程      令，，则显然为偶函数，      所以方程有四个实根函数，x＞0有两个零点，      令，x＞0，则关于t的方程，      即在(，)内有两个不相等的实根，      结合函数，的图像，得，即，则实数a的取值范围是．【巩固训练】1. 已知函数有零点，则实数的取值范围是____________.2. 已知函数有四个零点，则实数的取值范围是__________．3. 已知e为自然对数的底数，若方程|xlnx—ex+e|=mx在区间[,e2]上有三个不同实数根，则实数m的取值范围是________.4.已知关于x的方程有三个不同的实数解，则实数k的取值范围是______.5．(2020·南通中学·二调)已知函数有两个零点，函数有两个零点，满足，则实数的取值范围为                     ．6. （2020·江苏天一中学·12月考）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.7.（2020·江苏徐州打靶卷·13）已知函数，（其中是非零实数），若函数与函数的图象有且仅有两个交点，则的取值范围为        .8.（2020·河北衡水中学八调）已知函数有四个零点，则实数 的取值范围是__________． A.                                        B.   C.                                     D.   9．已知函数，，若关于的方程有且仅有三个不同的实根，且它们成等差数列，则实数取值的集合为          ．
【答案或提示】1.【答案】2.【答案】3.【答案】【解析】方程两边同时除以，令，问题转化为与的图象在区间[,e2]上有三个交点.∵，∴当时，，减；当时，，增.故当时，取得极小值，且.又，，作出的图象，由图象知实数的取值范围是：.4.【答案】【解析】，画图得出k的取值范围．5．【答案】6.【答案】【提示】易知0是其中一个零点，问题转化为与函数有两个不同的零点.7.【答案】【提示】转化为函数与函数的图象有且仅有两个交点最简.8.【答案】  D【提示】，根据对称性，只需考察有两个零点，得，故有，前两者是保证两方程各自有两解，这里（）易漏，它是保证两方程解不相同的.9．【答案】