2021新高考 数学通关秘籍 专题05 函数的奇偶性与单调性 同步练习

专题05  函数的奇偶性与单调性

【方法点拨】

1. 若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，其作用是将“变量化正”，从而避免分类讨论．

2. 以具体的函数为依托，而将奇偶性、单调性内隐于函数解析式去求解参数的取值范围，是函数的奇偶性、单调性的综合题的一种重要命题方式，考查学生运用知识解决问题的能力，综合性强，体现能力立意，具有一定难度.

【典型题示例】

例1    (2021·江苏启东期初)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－ ，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　)

A.                              B.∪(1，＋∞)

C.                            D.∪

【答案】A

【分析】发现函数f(x)为偶函数，直接利用f(x)＝f(|x|)，将“变量化正”，转化为研究函数函数f(x)在（0，+∞）上单调性，逆用单调性脱“f”．

【解析】易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数．

当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，易知此时f(x)单调递增．

所以f(x)>f(2x－1)⇒f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得<x<1.故选A.

例2   （2017·江苏·11）已知函数, 其中e是自然对数的底数. 若,则实数的取值范围是      .

【答案】

【分析】直接发现函数的单调性、奇偶性，将移项，运用奇偶性再将负号移入函数内，逆用单调性脱“f”．

【解析】因为， 所以是奇函数

又因为，所以数在上单调递增

由、是奇函数得，

由在上单调递增，得，即，解得，

故实数的取值范围为.

例3   已知函数（为自然对数的底数），若，则实数 的取值范围为         ． 

【答案】

【分析】本题是例2的进一步的延拓，其要点是需对已知函数适当变形，构造出一个具有奇偶性、单调性的函数,其思维能力要求的更高，难度更大.

【解析】令，易知是奇函数且在上单调递增

由得

即

由是奇函数得，故

由在上单调递增，得，即，解得，

故实数的取值范围为.

例4   已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】函数，故关于直线对称，且在，上单减，函数的图象如下：

，且恒成立，

，即，

当时，不等式化为：，即，解得，即；当时，不等式化为：，即，解得或，即或；

综上，时，实数的取值范围是，，．

故选：．

例5   （2019·江苏南师附中期中·14）已知函数，，则t的取值范围是       ．

【答案】

【分析】将已知按照“左右形式相当，一边一个变量”的原则，移项变形为，易知是奇函数，故进一步变为（#），故下一步需构造函数，转化为研究的单调性，而单增，故（#）可化为，即，解之得.

【巩固训练】

1．若函数为偶函数，则实数=       

2.设函数，则使得成立的的取值范围是（    ）．

A． B．

C． D．

3.已知函数，则满足的实数x的取值范围是        ．

4. 已知函数，若，则实数的取值范围__________.

5.已知函数，若，则实数的取值范围是__________.

6.已知函数，，若，，，则、、的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

7. (2021·江苏启东期初·11)【多选题】关于函数下列结论正确的是（    ）

A．图像关于轴对称 B．图像关于原点对称

C．在上单调递增 D．恒大于0

8.已知函数，则关于的不等式的解集为（    ）.

A． B．

C． D．

【答案或提示】

1．【答案】1

2.【答案】B

3.【答案】（2,3）

4.【答案】

5.【答案】

【解析】在上单调递增，在上单调递增，且，在R上单调递增，

因此由得，故答案为：

6.【答案】A

【解析】，该函数的定义域为，

，所以，函数为偶函数，

当时，，

任取，，则，，

所以，，

，，即，

所以，函数在上单调递增，，

，则，

即.故选：A.

7.【答案】ACD

8.【答案】C

【解析】构造函数，

由于，所以，所以的定义域为.

，

所以为奇函数， .

当时，都为增函数，

所以当时，递增，所以在上为增函数.

由，得，

即，所以，解得.

所以不等式的解集为.故选：C