2021新高考 数学通关秘籍 专题22 一类过定点问题的不等式恒成立 同步练习

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专题22  一类过定点问题的不等式恒成立【方法点拨】   将恒成立问题转化为两函数的位置关系问题，难点在于发现两函数过定点.【典型题示例】例1    设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝______________．【答案】【分析】本题解法较多，按照一般思路，则可分为以下两种情况：(A)， 无解；     (B)， 无解．因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下图)我们知道：函数y1＝(a－1)x－1，y2＝x 2－ax－1都过定点P(0，1)．考查函数y1＝(a－1)x－1：令y＝0，得M(，0)，还可分析得：a＞1；考查函数y2＝x 2－ax－1：显然过点M(，0)，代入得：，解之得：，或者，舍去，得答案：．点评：    本题的关键在于，一是将恒成立问题转化为利用“形”进一步转化为两函数的位置关系问题，二是发现两函数在x轴的右侧过定点.【巩固训练】1. 对任意的，不等式恒成立，则实数的取值的集合是          ．2.对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是          ．3.已知不等式对于任意的恒成立，其中是整数，则的取值集合为__________.
【答案或提示】1.【答案】【解析】设，因为恒过点（1,0），所以必有，解之得.2.【答案】【分析】考虑从“形”出发.设，易知，且函数横过点又，故在上增必有过所以，解之得又，所以．3.【答案】【解析】构造“形”易得，即∵是整数∴，或解之得：，或所以，故的取值集合为.