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    2021新高考 数学通关秘籍 专题17 逆用导数的四则运算法则构造函数 同步练习

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    2021新高考 数学通关秘籍 专题17 逆用导数的四则运算法则构造函数 同步练习

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    专题17  逆用导数的四则运算法则构造函数【方法点拨】1.已知中同时出现关于的不等关系,而所求是抽象形式的不等式,应考虑逆用导数的四则运算法则构造函数的单调性,然后再逆用单调性;2. 常见的构造函数:对于,构造;一般的,对于构造对于,构造;一般的,对于构造对于,构造;一般的,对于构造对于,构造;一般的,对于构造对于,即,构造对于,构造对于,构造.对于,构造.对于,构造.【典型题示例】1    2021·江苏省南通市通州区一诊·15)已知偶函数(x≠0)的导函数为,当x0时,,则使成立的x的取值范围是       .(其中e为自然对数的底数)【答案】 【解析】设,则x0时,x0时,,故在(0+∞)单增,所以是偶函数    也是偶函数,且在(-0)单减等价于,即是偶函数且在(0+∞)单增,解之得.2    (多选题)已知定义在上的函数的导函数为,且,则下列判断中正确的是  A B C D【分析】结合已知可构造,结合已知可判断的单调性,结合单调性及不等式的性质即可判断.【解答】解:令因为上单调递减,因为,则结合选项可知,,从而有,即,故错误,因为,结合在在上单调递减可知,从而有可得,故错误;,从而有,且,即.故正确;,从而有.故正确.故选:3    函数的定义域为,对任意,则的解集为              .【答案】+【分析】题目应归结为解抽象函数型不等式问题,解决方法是逆用函数的单调性”.题目中哪个条件能让你联想到函数的单调性呢?注意到已知中,只需构造函数,使得,不难得到(这里为常数,本题中取),进而利用的单调性,即可找到解题的突破口.【解析】构造函数,则,故单调递增,且.另一方面所求不等式 就转化为,逆用单调性定义易知,则不等式的解集为. 4   f(x)是定义在R上的可导函数,且满足f(x)xf′(x)>0,则不等式f()>·f()的解集为________【答案】 [1,2)【解析】F(x)xf(x),则由F′(x)f(x)xf′(x)>0,可得函数F(x)R上的增函数.>0f()>f()可变形得f()>f(),即F()>F() 解得1x<2.【巩固训练】1.函数f(x)的定义域是Rf(0)2,对任意xRf(x)f′(x)>1,则不等式ex·f(x)>ex1的解集为______2.已知定义在R上的奇函数,设其导函数为,当时,恒有,则满足的实数的取值范围是     3.是定义在上的可导函数,且,则不等式的解集是(     A.           B.          C.                    D. 4定义上的可导函数,当时,恒成立,,则的大小关系为(      A     B     C      D5.定义在上的函数是它的导函数,且恒有成立.则(   A            B  C           D6.函数的导函数为,对任意的,都有成立,则(       A.              B.C.              D.的大小不确定7. 设奇函数f(x)定义在(0)(0)上其导函数为f(x)f()0,当0x时,f(x)sinxf(x)cosx0,则关于x的不等式f(x)2f()sinx的解集为          
    【答案或提示】1.【答案】 (0,+∞)【解析】构造函数g(x)ex·f(x)ex因为g′(x)ex·f(x)ex·f′(x)exex[f(x)f′(x)]ex>exex0所以g(x)ex·f(x)exR上的增函数.又因为g(0)e0·f(0)e01,所以原不等式转化为g(x)>g(0),解得x>0.2.【答案】3.【答案】D【解析】构造函数,于是该函数递减,变形为,于是,得,选D.4【答案】A解析】构造函数时,,即函数单调递增,,即,选A5.【答案】A【解析】由构造函数,则,故单调递增,.故选A6.【答案】B【解析】令,,因为,所以在恒成立.即函数单调递增.因为,所以.答案选B7.【答案】(0)() 【分析】这是一道难度较大的填空题,它主要考查奇函数的单调性在解不等式中的应用,奇函数的图象关于坐标原点中心对称,关于原点对称的区间上具有相同的单调性;在公共定义域上两个奇函数的积与商是偶函数,偶函数的图象关于y轴轴对称,关于原点对称的区间上具有相反的单调性,导数是研究函数单调性的重要工具,大家知道()(sinx)cosx,于是本题的本质是构造来解不等式【解析】设g(x)= ,则g (x)= ()所以当0x时,g (x)<0g(x) (0)上单调递减又由于在(0)sinx0,考虑到sin,所以不等式f(x)2f()sinx等价于,即g(x)< g(),所以此时不等式等价于x.又因为f(x) sinx为奇函数,所以g(x)是偶函数,且在(0)sinx0,所以函数g(x)(0)是单调递增函数,原不等式等价于g(x)g()=,所以此时不等式等价于-x0综上,原不等式的解集是(0)()

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