2021新高考 数学通关秘籍 专题17 逆用导数的四则运算法则构造函数 同步练习
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这是一份2021新高考 数学通关秘籍 专题17 逆用导数的四则运算法则构造函数 同步练习,共7页。
专题17 逆用导数的四则运算法则构造函数【方法点拨】1.已知中同时出现关于、的不等关系,而所求是抽象形式的不等式,应考虑“逆用导数的四则运算法则”构造函数的单调性,然后再逆用单调性;2. 常见的构造函数:①对于,构造;一般的,对于,构造.②对于,构造;一般的,对于,构造.③对于,构造;一般的,对于,构造.④对于,构造;一般的,对于,构造.⑤对于,即,构造.⑥对于,构造.⑦对于,构造.⑧对于,构造.⑨对于,构造.【典型题示例】例1 (2021·江苏省南通市通州区一诊·15)已知偶函数(x≠0)的导函数为,,当x>0时,,则使成立的x的取值范围是 .(其中e为自然对数的底数)【答案】 【解析】设,则∵x>0时,∴当x>0时,,故在(0,+∞)单增又,所以∵是偶函数 ∴也是偶函数,且在(-∞,0)单减等价于,即由是偶函数且在(0,+∞)单增得,解之得.例2 (多选题)已知定义在上的函数的导函数为,且,,则下列判断中正确的是 A. B. C. D.【分析】结合已知可构造,,结合已知可判断的单调性,结合单调性及不等式的性质即可判断.【解答】解:令,,因为,则,故在,上单调递减,因为,则,结合选项可知,,从而有,即,故错误,因为,结合在在,上单调递减可知,从而有,由可得,故错误;,从而有,且,即.故正确;,从而有即.故正确.故选:.例3 函数的定义域为,,对任意,,则的解集为 .【答案】(,+)【分析】题目应归结为“解抽象函数型不等式”问题,解决方法是“逆用函数的单调性”.题目中哪个条件能让你联想到“函数的单调性”呢?注意到已知中,只需构造函数,使得,不难得到(这里为常数,本题中取),进而利用的单调性,即可找到解题的突破口.【解析】构造函数,则,故单调递增,且.另一方面所求不等式, 就转化为,逆用单调性定义易知,则不等式的解集为. 例4 设f(x)是定义在R上的可导函数,且满足f(x)+xf′(x)>0,则不等式f()>·f()的解集为________.【答案】 [1,2)【解析】设F(x)=xf(x),则由F′(x)=f(x)+xf′(x)>0,可得函数F(x)是R上的增函数.又>0,∴由f()>f()可变形得f()>f(),即F()>F(), ∴解得1≤x<2.【巩固训练】1.函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为______.2.已知定义在R上的奇函数,设其导函数为,当时,恒有,则满足的实数的取值范围是 .3.设是定义在上的可导函数,且,则不等式的解集是( )A. B. C. D. 4.定义在上的可导函数,当时,恒成立,,则的大小关系为( )A. B. C. D.5.定义在上的函数,是它的导函数,且恒有成立.则( )A. B. C. D.6.函数的导函数为,对任意的,都有成立,则( ) A. B.C. D.与的大小不确定7. 设奇函数f(x)定义在(-,0)∪(0,)上其导函数为f(x),且f()=0,当0<x<时,f(x)sinx-f(x)cosx<0,则关于x的不等式f(x)<2f()sinx的解集为 .
【答案或提示】1.【答案】 (0,+∞)【解析】构造函数g(x)=ex·f(x)-ex,因为g′(x)=ex·f(x)+ex·f′(x)-ex=ex[f(x)+f′(x)]-ex>ex-ex=0,所以g(x)=ex·f(x)-ex为R上的增函数.又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1,所以原不等式转化为g(x)>g(0),解得x>0.2.【答案】3.【答案】D【解析】构造函数,于是该函数递减,变形为,于是,得,选D.4.【答案】A【解析】构造函数,当时,,即函数单调递增,则,,则,即,选A.5.【答案】A【解析】由得,构造函数,则,故单调递增,有.故选A.6.【答案】B【解析】令,则,因为,所以在上恒成立.即函数在单调递增.因为,所以即.答案选B.7.【答案】(-,0)∪(,) 【分析】这是一道难度较大的填空题,它主要考查奇函数的单调性在解不等式中的应用,奇函数的图象关于坐标原点中心对称,关于原点对称的区间上具有相同的单调性;在公共定义域上两个奇函数的积与商是偶函数,偶函数的图象关于y轴轴对称,关于原点对称的区间上具有相反的单调性,导数是研究函数单调性的重要工具,大家知道()=,(sinx)=cosx,于是本题的本质是构造来解不等式【解析】设g(x)= ,则g (x)= ()=,所以当0<x<时,g (x)<0,g(x) 在(0,)上单调递减又由于在(0,)上sinx>0,考虑到sin=,所以不等式f(x)<2f()sinx等价于<,即g(x)< g(),所以此时不等式等价于<x<.又因为f(x) 、sinx为奇函数,所以g(x)是偶函数,且在(-,0)上sinx<0,所以函数g(x)在(-,0)是单调递增函数,原不等式等价于g(x)>g(-)=,所以此时不等式等价于-<x<0,综上,原不等式的解集是(-,0)∪(,).
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