2021新高考 数学通关秘籍 专题29 数列通项结构的应用 同步练习

专题29  数列通项结构的应用

【方法点拨】

1.数列{an}是等差数列⇔an＝pn＋q(p，q为常数).

2. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).

3. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则也是等差数列，且其首项为a1，公差为{an}公差的.

4.两个等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn之间的关系为.

5.两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若，则.

【典型题示例】

例1     是公差为2的等差数列的前n项和，若数列也是等差数列，则________.

【答案】或3

【分析】用特殊值法，也可直接抓住等差数列的结构特征解题.

【解析一】（特殊值法）由题意，

∵数列是等差数列

∴，，

解得或，

时，，时，，均为的一次函数，数列是等差数列，

故的值为－1或3.

【解析一】（特殊值法）由题意，

∵数列是等差数列

∴必为关于的一次式，即是完全平方式

∴

解之得或（下同解法一）．

例2    已知是首项为2，公比为的等比数列，且的前项和为，若也为等比数列，则           ．

【答案】2

【解析】因为是首项为2，公比为的等比数列．

所以．

为等比数列，则也为等比数列．

所以，即．

点评：等比数列通项的结构特征是：.

例3     已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是             .

【答案】5

【解析】根据等差数列前项和的公式不难得到：       （﹡）

（﹡）式是一个关于的一次齐次分式，遇到此类问题的最基本的求解策略是“部分分式”——即将该分式逆用通分，将它转化为分子为常数，只有分母中含有变量

因为

所以，要求使得为整数的正整数，只需为的不小于的正约数

所以

例4    已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，－＝6，

则S2 020等于________.

【答案】2 020

【解析】由等差数列的性质可得也为等差数列，设其公差为d，

则－＝6d＝6，∴d＝1，且首项为＝－2 014.

故＝＋2 015d＝－2 014＋2 015＝1，

∴S2 020＝1×2 020＝2 020.

【巩固训练】

1.记等差数列{an}的前n项和为，已知，且数列也为等差数列，则=            . 

2. 已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22，数列{bn}满足bn＝（其中c≠0），若{bn}为等差数列，则c的值等于________.

3. 设等比数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有，则的值为________.

4. 设，分别是等差数列，的前项和，已知，，则       ．

5.已知是等差数列的前项和，若，，则数列的前20项和为    ．            

6. 已知数列的{an}的前n项和Sn，若{an}和都是等差数列，则的最小值是     .

【答案或提示】

1.【答案】50

【解析】设该等差数列的公差为，

则由等差数列求和公式得.

又因为数列为等差数列，，故.

所以.

2.【答案】－

【解析】　设等差数列{an}的公差为d，且d＞0，由等差数列的性质，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，

所以a3，a4是关于x 的方程x2－22x＋117＝0的解，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d＝4，故通项为an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.

所以bn＝＝.

法一　（特殊值法）所以b1＝，b2＝，b3＝(c≠0).

令2b2＝b1＋b3，解得c＝－.

当c＝－时，bn＝＝2n，

当n≥2时，bn－bn－1＝2.

故当c＝－时，数列{bn}为等差数列.

法二　由bn＝＝＝，

∵c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n.

∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，

∴数列{bn}是公差为2的等差数列.

即存在一个非零常数c＝－，使数列{bn}也为等差数列.

3.【答案】9

【解析】联想等比数列的前n项和的结构特征，可知：，，且 ,所以.

4.【答案】

5.【答案】55

【解析】由等差数列的性质得也是等差数列，设，其公差为d

且，，所以，

所以的前20项和即为的前20项和，故为.

6.【答案】21

【解析】设该等差数列的公差为，

则由等差数列求和公式得.

又因为数列为等差数列，，故.

所以，当且仅当时，“=”成立.

所以的最小值是21.