鲁科版（新教材）2022版高考一轮复习第2章相互作用第2讲力的合成和分解（物理 学案）

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第2讲　力的合成和分解一、力的合成1．合力与分力假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力，原来那几个力叫作这个力的分力。2．共点力作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力。如图所示均是共点力。3．力的合成(1)定义：求几个力的合力的过程。(2)运算法则①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。如图甲所示。②三角形定则：把两个矢量首尾相连，从而求出合矢量的方法。如图乙所示。思考辨析1．两个力的合力一定大于任一个分力。 (×) 2．合力及其分力一定是同时作用在物体上的吗？提示：合力与它的分力是等效替代的关系，在进行有关力的计算时，如果已算入了合力，就不能再算入分力。如果已算入了分力，就不能再算入合力。3．多个共点力应怎样合成？提示：根据平行四边形定则先求出任意两个力的合力，再求这个合力与第三个力的合力，以此类推，求完为止。二、力的分解1．力的分解(1)定义：求一个已知力的分力的过程。(2)运算法则：平行四边形定则或三角形定则。2．矢量和标量矢量：既有大小又有方向的量，运算时遵从平行四边形定则。标量：只有大小没有方向的量，运算时按代数法则相加减。思考辨析1．力的分解方法有哪些？提示：(1)按力产生的效果分解；(2)正交分解。2．有大小和方向的物理量一定是矢量吗？提示：不一定，还要看运算遵从的法则，如电流，有大小，有方向，但是电流的运算遵循代数法则，是标量。考点1　力的合成(能力考点)考向1　计算合力大小 典例　(2019·天津高考)2018年10月23日，港珠澳跨海大桥正式通车。为保持以往船行习惯，在航道处建造了单面索(所有钢索均处在同一竖直面内)斜拉桥，其索塔与钢索如图所示。下列说法正确的是(　　)A．增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力B．为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度C．索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下D．为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布本题考查了力的合成与分解的知识，需根据题目正确画出受力分析图，利用平行四边形定则解决实际问题。考查的核心素养是模型建构与科学推理。【自主解答】C　解析：以桥身为研究对象，钢索对桥身的拉力的合力与桥身的重力等大反向，则钢索对索塔向下的压力大小等于桥身的重力，增加钢索的数量，钢索对索塔的向下的压力大小不变，故A错误；由图甲可知2Tcos α＝Mg，当索塔高度降低后，α变大，cos α 变小，则T变大，故B错误；由B的分析可知，当钢索对称分布时，2Tcos α＝Mg，钢索对索塔的合力竖直向下，故C正确；受力分析如图乙所示时，由正弦定理可知，只要满足＝，钢索AC、AB的拉力FAC、FAB进行合成，合力便竖直向下，则钢索不一定要对称分布，故D错误。【技法总结】合力大小的求解方法(1)作图法：作出两分力的图示，再根据平行四边形定则求出合力大小。(2)计算法：根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力。考向2　合力的大小范围典例　(多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内的三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是(　　)A．物体所受静摩擦力可能为2 NB．物体所受静摩擦力可能为4 NC．物体可能仍保持静止D．物体一定被拉动【自主解答】ABC　解析：两个2 N的力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三个力的合力范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判断选项A、B、C正确，D错误。【核心归纳】力的合成中合力的大小范围(1)两个共点力的合成|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。(2)三个共点力的合成①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力合力的最小值为0；如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值等于最大的力减去另外两个力。1．(2020·全国卷Ⅲ)如图所示，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与乙物体相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α＝70°，则β等于(　　)A．45°　　B．55°　　C．60°　　D．70°B　解析：甲物体拴牢在O点，且甲、乙两物体的质量相等，则拉甲、乙两物体的绳的拉力大小相等，O点处于平衡状态，则左侧绳的拉力方向在拉甲、乙两物体绳的角平分线上，如图所示。根据几何关系有 180°＝2β＋α，解得β＝55°。故选B。2．三个共点力的大小分别是F1、F2、F3，关于它们的合力F的大小，下列说法正确的是(　　)A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，则只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为0D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，则只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为0C　解析：合力不一定大于分力，B错误；三个共点力的合力的最小值能否为0，取决于任何一个力是否都在其余两个力的合力范围内，由于三个力的大小未知，所以三个力的合力的最小值不一定为0，A错误；当三个力的大小分别为3a、6a、8a时，其中任何一个力都在其余两个力的合力范围内，故C正确；当三个力的大小分别为3a、6a、2a时，不满足上述情况，故D错误。考点2　力的分解(能力考点)考向1　按照力的作用效果分解典例　(2018·天津高考)(多选)明朝谢肇淛《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之，曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力N，则(　　)A．若F一定，θ大时N大B．若F一定，θ小时N大C．若θ一定，F大时N大D．若θ一定，F小时N大【自主解答】BC　解析：选木楔为研究对象，木楔受到的力有：水平向左的力F和两侧给它的与它的斜面垂直的弹力，由于木楔处于平衡状态，所以两侧给木楔的垂直斜面的弹力与F沿两侧分解的推力是相等的，力F的分解如图所示。则F＝N1sin ＋N2sin ＝2N1sin ，又 N＝N1＝N2，故解得N＝，所以F一定时，θ越小，N越大；θ一定时，F越大，N越大，故B、C正确。【技法总结】力的分解技巧(1)在实际问题中进行力的分解时，有实际意义的分解方法是按力的作用效果进行分解，其他的分解方法都是为解题方便而设的。(2)按作用效果分解力的一般思路考向2　正交分解法典例　如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上，使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比  为(　　)　甲　　　　　　　　乙A．cos θ＋μsin θ B．cos θ－μsin θC．1＋μtan θ D．1－μtan θ【自主解答】B　解析：物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力分析如图所示。将物体受到的力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得F1＝mgsin θ＋f1，N1＝mgcos θ，f1＝μN1，F2cos θ＝mgsin θ＋f2，N2＝mgcos θ＋F2sin θ，f2＝μN2，联立解得F1＝mgsin θ＋μmgcos θ，F2＝，故 ＝cos θ－μsin θ，B正确。【技法总结】正交分解法的应用方法(1)建系原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的分力在坐标轴上)；在动力学中，常以加速度的方向和垂直加速度的方向为坐标轴建立坐标系。(2)分解步骤：把物体受到的多个力F1、F2、F3、…依次分解到x轴、y轴上。x轴上的合力：Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…y轴上的合力：Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…合力大小：F＝合力方向：设与x轴夹角为θ，则tan θ＝。考向3　力的分解的定解及极值问题典例　已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为 30 N。则(　　)A．F1的大小是唯一的B．F2的方向是唯一的C．F2有两个可能的方向D．F2可取任意方向【自主解答】C　解析：F1、F2和F的矢量三角形图如图所示，由图可以看出，若F2＝F20＝25 N，F1的大小是唯一的，F2的方向是唯一的。因F＝50 N> F2＝30 N>25 N，所以F1的大小有两个，即F1′ 和F1″，F2的方向有两个，即F2′ 的方向和F2″的方向，故选项A、B、D错误，选项C正确。【技法总结】1．力的分解的定解已知条件示意图解的情况已知两个分力的方向一组解已知两个分力的大小两组解或无解(|F1－F2|>F或F>F1＋F2)已知一个分力的大小和方向一组解已知一个分力的大小和另一个分力的方向甲①当F1＝Fsin θ时，有一组解，如图甲所示，此时F1最小乙②当F1<Fsin θ时，无解，如图乙所示丙③当Fsin θ<F1<F时，有两组解，如图丙所示丁④当F1≥F时，有一组解，如图丁所示2．求某一分力最小值问题的三种情况及其思路(1)已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向，当两个分力垂直时，另一个分力F2取到最小值，如图甲所示，F2的最小值为F2min ＝Fsin α。　　甲　　　　　　　乙(2)已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向，当另一个分力与合力方向垂直时，另一个分力F2取到最小值，如图乙所示，F2的最小值为F2min＝F1sin α。(3)当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2取最小值的条件是：已知大小的分力F1与合力F同方向，F2的最小值为|F－F1|。1．小明想推动家里的衣橱，但使出了很大的力气也没有推动，他便想了个妙招，如图所示，用A、B两块木板，搭成一个底角较小的人字形架，然后往中间一站，衣橱居然被推动了！下列说法正确的是(　　)A．这是不可能的，因为小明根本没有用力去推衣橱B．这是不可能的，因为无论如何小明的力气也没那么大C．这有可能，A板对衣橱的推力有可能大于小明的重力D．这有可能，但A板对衣橱的推力不可能大于小明的重力C　解析：小明的重力可分解为沿两个木板方向的分力，由于两个木板间的夹角接近180°，根据平行四边形定则可知，分力可能远大于小明的重力，选项C正确。2．如图所示，质量为m的木块A放在水平面上质量为M的斜面体B上，现用大小相等、方向相反的两个水平推力F分别作用在A、B上，A、B均保持静止不动。则(　　)A．A与B之间一定存在摩擦力B．B与地面之间一定存在摩擦力C．B对A的支持力大小一定等于mgD．地面对B的支持力大小一定等于 (m＋M)gD　解析：木块A在斜面上处于静止状态，对木块A进行受力分析，如图甲所示，若Fx＝Gx，则f＝0；若Fx≠Gx，则f≠0，故A错误；由图甲知N＝Fy＋Gy，则N与GA的大小关系不确定，C错误；对A、B整体进行受力分析，如图乙所示，水平方向上与地面间无摩擦力，竖直方向上N地＝GA＋GB＝(m＋M)g，故B错误，D正确。　甲　　　　　　　　乙3．(2021·盐城模拟)如图所示，用一根长为l的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球A，为使细绳与竖直方向成30°角且绷紧，小球A处于静止状态，对小球施加的最小的力是(　　)A．mg B．mgC．mg D．mgC　解析：将小球的重力进行分解，如图所示，其中一个分力等于施加的力的大小。当施加的力与OA垂直时最小，Fmin＝mgsin 30°＝mg，C正确。模型一　绳上的“死结”与“活结”模型典例　(多选)如图所示，物体A被绕过小滑轮P的细线所悬挂，物体B放在粗糙的水平桌面上；小滑轮P被一根细线系于天花板上的O点；O′是三根线的结点，bO′水平拉着物体B，cO′沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于静止状态。若悬挂小滑轮的细线OP上的张力是20 N，取 g＝10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)A．弹簧的弹力为10 NB．物体A的质量为2 kgC．桌面对物体B的摩擦力为10 ND．OP与竖直方向的夹角为60°【自主解答】ABC　解析：分别以物体A、B和结点O′及小滑轮P为研究对象进行受力分析，对物体A有mAg＝FO′a，对小滑轮P有2FO′acos 30°＝FOP，联立解得 mA＝2 kg，FO′a＝20 N，选项B正确；同一根细线上的张力相同，故OP的延长线为滑轮两侧细线张角的角平分线，由此可知OP与竖直方向的夹角为30°，选项D错误；对结点O′，有FO′asin 30°＝F弹，FO′acos 30°＝FO′b，对物体B有f ＝FO′b，联立解得弹簧的弹力F弹＝10 N，物体B所受的摩擦力f＝10 N，选项A、C正确。【核心归纳】绳上“死结”与“活结”的特点(1)“死结”可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因“结”而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。(2)“活结”可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。“活结”一般由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上“活结”两侧的绳子是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上的弹力大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线。变式　(2021·湖南模考)如图所示，一根质量为m的匀质绳子，两端分别固定在同一高度的两个钉子上，中点悬挂一质量为M的物体，系统平衡时，绳子中点两侧的切线与竖直方向的夹角均为α，钉子处绳子的切线方向与竖直方向的夹角为β，则(　　)A．＝ B． ＝C．＝ D． ＝C　解析：如图所示，圆弧的圆心为O，悬挂小物块的点为c，由于ab＝R，则 △aOb为等边三角形，同一条细线上的拉力大小相等，绳上的张力T＝mg，ca、cb两段绳上的合力沿Oc方向，则Oc为∠acb的角平分线，由几何关系知，∠acb＝120°，细线的拉力的合力与物块的重力大小相等，则每段细线上的拉力T＝G＝mg，所以小物块的质量为m，故C正确。模型二　“动杆”与“定杆”模型典例　如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮悬挂一质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°角，在轻杆的G点用细绳GF拉住一质量为M2的物体，求：(1)细绳AC段的张力TAC与细绳EG段的张力TEG之比；(2)轻杆BC对C端的支持力；(3)轻杆HG对G端的支持力。【自主解答】解析：题图甲和题图乙中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析，如图甲和乙所示，根据平衡条件可求解。(1)图甲中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力 TAC＝TCD＝M1g图乙中由 TEGsin 30°＝M2g，得 TEG＝2M2g所以 ＝。(2)图甲中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡条件有NC＝TAC＝M1g，方向与水平方向成30°角，指向右上方。(3)图乙中，根据平衡条件有 TEGsin 30°＝M2gTEGcos 30°＝NG所以NG＝M2gcot 30°＝M2g，方向水平向右。答案：(1)M1∶2M2　(2)M1g，方向与水平方向成30°角，指向右上方　(3)M2g，方向水平向右【核心归纳】“动杆”与“定杆”的受力特点(1)动杆：对一端有光滑转轴O的静止轻杆而言，轻杆受力平衡时，轻杆的另一端受到的力一定沿轻杆的方向，如图甲所示，轻杆OB静止时，轻绳ABC对轻杆OB的作用力一定要沿BO方向，否则轻杆将会绕光滑转轴O发生转动，与已知轻杆静止产生矛盾。　　甲　　　　　乙(2)定杆：图乙中，轻杆是插入墙中的，这时A′B′C′对轻杆O′B′的作用力就不一定沿B′O′方向。变式　(2020·太原模拟)如图甲所示，AO为弹性良好的橡皮筋(弹力与伸长量成正比)，BO为可绕B点自由转动的轻质细杆，A、B两点的高度差为h。当O点不挂重物时，BO杆水平，橡皮筋恰好处于原长且与细杆的夹角α＝30°；在O点挂上一质量为m的重物，橡皮筋长度变为L(如图乙所示)，则可知橡皮筋的劲度系数为(　　)A． B．C． D．A　解析：由题图甲可知，橡皮筋的原长L0＝＝＝2h，挂上重物后，以O点为研究对象进行受力分析，如图所示。则由几何关系可知 ＝，解得橡皮筋的弹力 F＝，由胡克定律可知F＝k(L－L0)，联立解得 k＝，故选A。