2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）专题03 有理数中的压轴题（解析版）

这是一份2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）专题03 有理数中的压轴题（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题03  《有理数》中的压轴题（满分120分     时间：60分钟）       班级              姓名               得分           一、单项选择题：设实数a，b，c满足，且，则的最小值为A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】解：，
，c异号，
，
，，
又，
，
又表示到a，，c三点的距离的和，
当x在a，之间时距离最小，
即最小，最小值是a与之间的距离，即．
故选：D．
根据可知，a，c异号，再根据，以及，即可确定a，，c在数轴上的位置，而表示到a，，c三点的距离的和，根据数轴即可确定．
本题考查了绝对值函数的最值问题，解决的关键是根据条件确定a，b，c，之间的大小关系，把求式子的最值的问题转化为距离的问题，有一定难度．
 若，则的取值可能是     ．A.  B. 或 C.  D. 或【答案】D【解析】【分析】
此题主要考查了绝对值的定义及有理数的加法法则．由于m、n为非零的有理数，则有3种情况要考虑到，用到了分类讨论的思想．由于m、n为非零的有理数，根据有理数的分类，m、n的值可以是正数，也可以是负数．那么分三种情况分别讨论：两个数都是正数；两个数都是负数；其中一个数是正数另一个是负数，针对每一种情况，根据绝对值的定义，先去掉绝对值的符号，再计算即可．
【解答】
解：分3种情况：
两个数都是正数；
，
两个数都是负数；
，
其中一个数是正数另一个是负数，
所以，原式．
故选D．  小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将、2、、4、、6、、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为A. 或
B. 或1
C. 或
D. 1或【答案】A【解析】【分析】
由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2，列等式可得结论．
本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是2．
【解答】
解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，
，
横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，
两个圈的和是2，横、竖的和也是2，

则，得，
，得，
，，
当时，，则，
当时，，则，
故选：A．  把前2019个数1，2，3，，2019的每一个数的前面任意填上“”号或“”号，然后将它们相加，则所得之结果为A. 正数 B. 奇数
C. 偶数 D. 有时为奇数；有时为偶数【答案】C【解析】【分析】
此题主要考查正负数在实际生活中的应用，有理数的加法的有关知识，根据在数1，2，3，，2019的每一个数的前面任意填上“”号或“”号，不改变代数和的奇偶性求解即可．
【解答】
 解：在数1，2，3，，2019的每一个数的前面任意填上“”号或“”号，不改变代数和的奇偶性．
则将它们相加所得之结果为偶数．
故选C．  把表示成四个互不相等的整数的积，其中有两个整数是互为相反数，则这种表示法的可能性有    A. 2种 B. 4种 C. 6种 D. 8种【答案】C【解析】【分析】
本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解决问题的关键根据有理数的乘法法则进行解答即可．
【解答】
解：由题意可得：，
，
，
，
，
，
共六种可能，
故选C．  已知有理数a，b，c满足，则的值为A. 0 B. 1 C.  D. 1或【答案】B【解析】【分析】
本题考查了绝对值的意义，明确正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它相反数，0的绝对值是0；根据满足的式子得出a，b，c三个数的正负，从而计算出结果．根据绝对值的意义可知：一个非零数的绝对值除以本身等于1或，由式子对a，b，c的符号进行讨论：三正，三负，两正一负或两负一正，而满足的a，b，c必有两个负数，一个正数，得出，然后根据绝对值的意义计算可得答案．
【解答】
解：由a，b，c都是有理数，且满足，
因此可得： a，b，c中必有两个负数，一个正数，
 ，
，
故选B  有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个内，填入，，，中的某一个可重复使用，然后计算结果，则计算所得结果的最小值为A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．把运算符号添加好，计算即可求出值．
【解答】
解：，此种算法所得到的结果最小。
故选B．  用表示a、b两数中的较小者，用表示a、b两数中的较大者，例如设a、b、c、d是互不相等的自然数，则     ．A. 和都有可能 B.
C.  D. 【答案】A【解析】【分析】
本题考查的是有理数比较大小的法则，利用取特殊值法求出x、y的值是解答此题的关键，取a，b，c，d为4，3，2，1，再根据已知条件即可得出x、y的值，根据有理数比较大小的法则比较出x、y的大小即可．
【解答】
解：取a，b，c，d为4，3，2，1，则，，；
取a，b，c，d为4，2，3，1，则，，．
所以和都有可能．
故选A．  二、填空题若的最小值为3，则a的值为_________．【答案】4或【解析】【分析】
本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题关键因为有最小值，则或，由此可得x的值，然后分类讨论即可得出结论．
【解答】
解：有最小值3，而，，
令或，
或，
当时，，
，
，
解得或；
当时，，
，
，
解得或．
综上所述或．
故答案为4或．  高斯函数x，也称为取整函数，即x表示不超过x的最大整数．例如：，则下列结论：；xx；；xx的值为其中正确的结论有________填序号．【答案】【解析】【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确表示不超过x的最大整数．根据表示不超过x的最大整数，即可解答． 【解答】解：，正确；
，错误，例如：，，；
，正确； 当时，，，
或1，或1或2，
当时，；当时，或0；
所以的值为1、2，故错误．
故答案为．  【阅读】计算的值．令，则，因此，所以，即．依照以上推理，计算：____．【答案】【解析】【试题解析】【分析】
本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂阅读材料．
根据阅读材料进行计算即可求解．
【解答】
解：令，
则，
因此，
所以，
所以

．
故答案为．  观察下列运算过程：计算：．解：设，得：，得：所以，．运用上面的计算方法计算：______________．【答案】【解析】【分析】
本题主要考查的是数字的变化规律，依据材料找出解决问题的方法和步骤是解题的关键．令，然后在等式的两边同时乘以3，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．
【解答】
解：令，
等式两边同时乘以3得：，
两式相减得：，
，
故答案为：．  已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为在B的左侧，且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是______．【答案】【解析】【分析】
本题综合考查了数轴上的点和数之间的对应关系以及对称的性质，若表示的点与8表示的点重合，则对称中心点表示的数是3，根据对应点连线被对称中心点平分，则点A和点B到3的距离都是1007，从而求解．
【解答】
解：表示的点与8表示的点重合，
对称中心点是表示的数是3，
若数轴上A、B两点之间的距离为在B的左侧，
则点A和点B到3的距离都是1007，
则点A表示的数是：，
故答案为．  的末尾数字为______．【答案】9【解析】【分析】
此题考查的目的是理解掌握如何确定相同数字乘积的个位数，关键是找出运算的规律，再利用规律解决问题．
【解答】
解：，，，，，，，
的个位数按2，4，8，6循环，
又
的个位数为8，
，，，，，，，
的个位数按3，9，7，1循环，
又
的个位数为7，
，

故最后是个位为7的数减去个位数是8的数，
所以的末尾数字为9．
故答案为9．  非零整数m，n满足，所有这样的整数组共有____组。【答案】16【解析】【分析】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．已知等式变形，利用绝对值的代数意义判断即可得到结果．【解答】解：已知等式变形得：，
当时，；当时，；当时，；当时，，
此时整数组为，，，，，，，，，，，，，，，，共16组，
故答案为16．  三、解答题 绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：表示5、在数轴上对应的两点之间的距离一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为完成下列题目：

 A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为，B点对应的数为4
、B两点之间的距离为           ．
折叠数轴，使A点与B点重合，则表示的点与表示          的点重合；
若在数轴上存在一点P到A的距离是点P到B的距离的2倍，则点P所表示的数是           ．
 求的最小值为           若满足时，则x的值是          ．【答案】  或10．
 3 或 【解析】【分析】
本题考查数轴与绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用绝对值的知识和分类讨论的方法解答．
根据数轴上A、B两点之间的距离代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离； 
设M点对应的数为2，N点对应的数为，点P表示的数为：x
根据数轴上两点之间的距离公式可求P到M的距离与P到N的距离之和，
满足，点P在MN之间时，最小为4，得的最小值，
满足的x的值分三种情形讨论解决问题； 
【解答】
解：因为A点对应的数为，B点对应的数为4，
所以A、B两点之间的距离为；
折叠数轴，使A点与B点重合，所以折痕处的点表示的数为：，
表示数1的点到A到表示的点的距离为4，，
表示的点与表示5的点重合；
当P在AB之间时，，点P所表示的数是．
当P在B的右侧时，，点P所表示的数是．
故答案为：             2或10．
设M点对应的数为2，N点对应的数为，点P表示的数为：x
M到P的距离与N到P的距离之和可表示为，
所以当点P在MN之间时，最小为4，
的最小值为4，
，
当时，，，
当时，x不存在．
当时，，．
故满足的x的值为或3．
故答案为： 3 或 ．  如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是80，电子青蛙M从点B出发，以每秒2个单位的速度向左运动，同时另一只电子青蛙N从点A出发，以每秒3个单位的速度向右运动，假设运动时间为t秒，

 经过_______ 秒，M、N在C点相遇，此时C表示的数是_________ ；当电子青蛙N到达B点时，电子青蛙M在什么位置？用M所表示的数回答当t为何值时，它们相距30个单位．【答案】解：、B两点在数轴上分别表示和80，，
点P运动到B点时，，解得，，经过20，M、N在C点相遇，此时C表示的数是40，故答案为20，40；秒，，故电子青蛙M在位置；若相遇前相距30个单位，则，
解得，
若相遇后相距30个单位，则，
解得，
综上所述，当t为14秒或26秒时，它们相距30个单位．【解析】本题考查了数轴，主要利用了数轴上两点间的距离的求解，相遇问题的等量关系，难点在于要分情况讨论．根据数轴上两点间的距离等于两点所表示的数的差的绝对值求出AB，然后根据时间路程速度计算即可得解；
根据追及问题列方程求出t，再求解即可；
分相遇前和相遇后相距30个单位两种情况讨论求解．
 给定一列数，我们把这列数的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，依此类推，第n个数记为是正整数。如下面这列数2，4，6，8，10中，，，，，规定运算，即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数如果在上面的一列数中，．已知一列数1，，3，，5，，7，，9，，则          ，          ．已知这列数1，，3，，5，，7，，9，，，按照规律可以无限写下去，则          ．          ．在的条件下是否存在正整数n使等式成立？如果有，写出n的值；如果没有，说明理由．【答案】，  ；
  3，  ；
在的条件下存在正整数n使等式：成立，
当n为奇数时，
：，
解得，，
当n为偶数时，
：，解得，．【解析】【分析】
本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法，发现题目中数字的变化规律，利用分类讨论的数学思想解答．
根据题意和题目中的数据可以解答本题；
根据题意和题目中的数据可以解答本题；
根据题意和数字的变化规律，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】
解：由题意可得，
，
：

，
故答案为：3，；
由题意可得，
a3，
：

 

，
故答案为：3，；
见答案．  已知在纸面上有一数轴，折叠纸面．
若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数______表示的点重合
若表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：
数7对应的点与数______对应的点重合；
若数轴上A、B两点之间的距离为点A在B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
点C在数轴上，将它向右移动4个单位，再向左2个单位后，若新位置与原位置到原点的距离相等，则C原来表示的数是多少？请列式计算，说明理由．【答案】2  【解析】解：折叠后1表示的点与表示的点重合，
对折的中心所表示的数为0，
到原点0的距离为2，
只有2到原点0的距离为2，
故答案为：2．
折叠后表示的点与4表示的点重合
折叠中心表示的数为，
设这个数为m，则有：，
解得：，
故答案为：．
设A表示的数为a，B表示的数为b，由题意得，
且，
解得，，，
答：A点表示的数是，B点表示的数是．
设点C原位置表示的数为c，则点C的新位置表示的数为，根据题意得，
，
解得，，
答：C原来表示的数是．
由折叠后1表示的点与表示的点重合，可知折叠中心为0，进而得出答案为2，
由的方法可知折叠中心表示的数为1，根据数轴上两点之间的距离的计算方法，列方程求解即可，设两个未知数，列方程组求解，
由题意得点C的新位置在原位置的右边，又关于原点对称，且新位置与原位置的距离为2，列方程可求．
考查数轴、中心对称、轴对称的性质，以及一元一次方程组的应用，根据折叠后两点到折叠中心的距离相等列方程是解决问题的关键．
 平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请思考下列问题：平移运动把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_________ A.        B．C.        D．一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依次规律跳，当它跳2019次时，落在数轴上的点表示的数是________．翻折变换若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示_______的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为在B的左侧，且折痕与折痕相同，且A、B两点经折叠后重合，则A点表示________B点表示____________．若数轴上折叠后重合的两点分别表示数a，b，则折叠中间点表示的数为__________用含有a，b的式子表示【答案】解：；；
；；1010；．【解析】【分析】
本题主要考查数轴，根据题意得：先向负方向移动3个单位长度表示为，向正方向移动2个单位长度表示为，然后求和即可求得答案．
【解答】
解：根据题意得：．
故选D；
【分析】
本题主要考查平移运动，数字变化规律，数轴的有关知识，第1次向左跳1个单位为，紧接着第2次向右跳2个单位为1，第3次向左跳3个单位为，第4次向右跳4个单位时2，，依次规律跳，即可求解它跳2019次时落在数轴上的点表示的数．
【解答】
解：第1次向左跳1个单位为，紧接着第2次向右跳2个单位为1，第3次向左跳3个单位为，第4次向右跳4个单位时2，，依此规律跳，则它跳2019次时落在数轴上的点表示的数为．
故答案为；
【分析】
本题主要考查数轴及翻折问题，两点间的距离．
根据与3重合，得到1为对称轴，即可求解对应的点；
根据轴对称的性质及两点间的距离即可确定出A与B表示的数；
根据轴对称的性质及两点间的距离即可确定折叠中间点表示的数．
【解答】
解：根据题意得：若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则对称轴为1，则表示的点与表示2019的点重合；
故答案为2019；
若数轴上 B两点之间的距离为在B的左侧，且 B两点经折叠后重合，而对称轴为1，则A表示的数为，B表示的数为1010，
故答案为；1010；
由题意得数轴上折叠后重合的两点分别表示数a，b，则折叠中间点表示的数为．
故答案为．