2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）专题08 有理数中的新定义问题（解析版）

这是一份2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）专题08 有理数中的新定义问题（解析版），共21页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
专题08 《有理数》中的新定义问题
（满分120分 时间：60分钟） 班级 姓名 得分
一、解答题：
1. 概念学习规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等.类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2 ③，读作“2的圈3次方”，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3) ④，读作“-3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a...÷an个a(a≠0)记作ⓝ，读作“a的圈n次方”． 初步探究
(1)直接写出计算结果：2 ③=          ，(-12) ⑤=           ；                                             
(2)关于除方，下列说法错误的是(     )
A.任何非零数的圈2次方都等于1
B.对于任何正整数n，1ⓝ=1
C.3 ④=4 ③
D.负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢⋅
(3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
(-3)④=          ；5⑥=          ；(-12)10=          ；
(4)想一想：将一个非零有理数a的圈n(n≥3)次方写成幂的形式为          ；
(5)算一算：122+(-13)④×(-2)⑤-(-13)⑥÷33
【答案】(1)2③=12，(-12)⑤=-8．
(2)C．
(3)(-3)④=1(-3)2；5⑥=154；(-12)⑩=1(-12)8．
(4)1an-2．
(5)122÷(-13)④×(-2)⑤-(-13)⑥÷33 
=144÷1(-13)2×1(-2)3-1-134÷33 
=144÷9×(-18)-34÷33
=-2-3
=-5．
【解析】(1)根据定义直接给出结果；
(2)3 ④=4 ③错误，二者不对等；
(3)按照题目引导，写出相应答案；
(4)结合(3)总结出的规律，给出含n的代数式表示规律；
(5)运用(4)中的规律，解答题目。

2. 阅读并解决相应问题

(1)问题发现：
在数轴上，点A表示的数为-2，点B表示的数为3，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n节点”.如图1，若点P表示的数为12，有点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为52+52=5，则称点P为点A、B的“5节点”.填空：
①若点P表示的数为0，则n的值为________；
②数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为A、B的“5节点”，请直接写出整点P所表示的数．
(2)类比探究：
如图2，若点P为数轴上一点，且点P到点A的距离为1，请你求出点P表示的数及n的值，并说明理由．
(3)拓展延伸：
若点P在数轴上运动(不与点A、B重合)，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的23，且此时点P为点A、B的“n的节点”，求点P表示的数及n的值，并说明理由．
【答案】解：(1)问题发现：
①5；
②由图1可知，整点P所表示的数可能为-2、-1、0、1、2、3．
(2)类比探究：
因为AP=1，分两种情况：
①若点P在点A的左边，如图：

则点P表示的数为-3，
所以AP=1，BP=6，
所以n=AP+BP=1+6=7．
②若点P在点A的右边，如图：
则点P表示的数为-1，
所以AP=1，BP=4，
所以n=AP+BP=1+4=5．
(3)拓展延伸：
根据题意，可分三种情况：
①当点P在点A的左边时，因为不能满足BP=23AP，
所以该情况不符合题意，舍去；
②如图，当点P在点A、B之间时，可以满足BP=23AP，
则点P表示的数为1，
所以AP=3，BP=2，
所以n=AP+BP=3+2=5；
③如图，当点P在点B的右边时，可以满足BP=23AP．
则点P表示的数为13，所以AP=15，BP=10，
所以n=AP+BP=15+10=25．
【解析】
【分析】
本题考查数轴及分类讨论的思想方法，熟练掌握数轴的应用是解题的关键．
(1)①由图可知A表示的数为-2，点B表示的数为3，点P在数轴上表示的数为0，则AP=2，BP=3，n=AP+BP=2+3=5；
②由图1可知，整点P所表示的数可能为-2、-1、0、1、2、3．
(2)由题意，分点P在点A的左边和点P在A点右边两种情况分别计算即可；
(3)由题意，分当点P在点A的左边，当点P在点A、B之间，当点P在点B的右边三种情况讨论并计算．
【解答】
解：(1)问题发现：
①因为点A表示的数为-2，点B表示的数为3，
点P在数轴上表示的数为0，所以AP=2，BP=3，
所以n=AP+BP=2+3=5；
②、(2)、(3)见答案．  
3. 知识准备：数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离表示为：AB=|a-b|.
问题探究：数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且a、b，满足|b+2a|+(a-2)2=0．
(1)直接写出：a=________、b=________；
(2)在数轴上有一点P对应的数为x，请问：当点P到A、B两点的距离和为6时，x满足什么条件？请利用数轴进行说明(此时PA+PB最小)．
拓展：当数轴上A、B、C三点对应的数分别为a=2、b=-4、c=8，在数轴上有一点P对应的数为x，当x满足什么条件时，PA+PB+PC的值最小？
应用：国庆期间滕王阁至八一大桥之间是观看“国庆灯光秀”的理想区域，滕王阁与八一大桥相距约5公里．在国庆期间，为了服务广大市民，滕王阁与八一大桥之间每隔1公里安排了便民服务小组(滕王阁与八一大桥不安排)，还需要设置一个便民服务物资站，请问便民服务物资站应该设置在什么地方，使它到各个便民服务小组的距离和最小，最小值是多少公里？

便民服务物资站位置代表的数记作m利用图3直接给出结果：m满足的条件：________，最小值为________公里．
【答案】解：问题探究：
(1)2，-4；
(2)如图1，点P到A、B两点的距离和为6时，点P在AB之间(包括A，B两点)，即-4≤x≤2，此时PA+PB最小．

拓展：点P表示的数为2，该最小值为12，
设P到A、B、C的距离和为d，
则d=|x+4|+|x-2|+|x-8|，
①当x≤-4时，d=-x-4+2-x+8-x=-3x+6，
x=-4时，d最小=18；
②当-48时，d=x+4+x-2+x-8=3x-6>18；
综上，当点P表示的数为2时，P到A、B、C的距离和最小，最小值为12．
应用：2≤m≤3，4．
【解析】
【分析】
此题考查数轴，数轴上两点的距离，绝对值的意义，绝对值非负性，偶次方非负性有关知识．
问题探究：
(1)根据非负数的性质可得a和b的值；
(2)根据绝对值的几何意义，可得当点P在AB之间(包括A，B两点)，P到A点与P到B点的距离之和是6，即PA+PB最小；
拓展：
点P在点A和点B(含点A和点B)之间，依此即可求解．
应用：
同理根据拓展的问题，分情况即可求解．
【解答】
解：问题探究：
(1)∵|b+2a|+(a-2)2=0．
∴b+2a=0，a-2=0
∴a=2，b=-4；
故答案为2，-4；
(2)见答案；
拓展：见答案；
应用：如图3，设便民服务物资站为点P，各便民服务小组分别为A，B，C，D，

设P到A、B、C、D的距离和为d，
则d=|m-1|+|m-2|+|m-3|+|m-4|，
①当00)时，最佳值为1，
∴3-10+a3=1，
∴a=4或a=10；
④数列-10，a，3(a>0)时，
∴-10+a2=1或3-10+a3=1，
∴a=8(舍弃)或a=12或a=4或a=10；
⑤数列a，-10，3(a>0)时，
∴|a|=1或-10+a2=1或3-10+a3=1，
∴a=1或a=8或a=12或a=4或a=10；
⑥数列a，3，10(a>0)时，
∴|a|=1或a+32=1或3-10+a3=1，
∴a=1或a=-1(舍)或a=4或a=10；
综上所述：满足条件的a有1，4，10，12．
【解析】
【分析】
本题考查数字的规律，绝对值的性质；理解题意，根据所给数据，正确的进行分类讨论是解题的关键．
(1)分别求出|-8|=8，-8+62=1，-8+6+23=0即可；
(2)分6种情况分别求出最佳值：①数列-6，-3，1时，最佳值为83；②数列-6，1，-3时，最佳值为52；③数列-3，-6，1时，最佳值为83；④数列-3，1，-6时，最佳值为1；⑤数列1，-6，-3时，最佳值为1；⑥数列1，-3，-6时，最佳值为1；
(3)分6种情况分别求出相应的a．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)①数列-6，-3，1时，
|-6|=6，-6-32=92，-6-3+13=83，
∴数列-6，-3，1的最佳值为83；
②数列-6，1，-3时，最佳值为52；
③数列-3，-6，1时，最佳值为83；
④数列-3，1，-6时，最佳值为1；
⑤数列1，-6，-3时，最佳值为1；
⑥数列1，-3，-6时，最佳值为1；
∴这些数列的最佳值的最小值为1；
故答案为1；-3，1，-6；
(3)见答案．  
5. 学习过绝对值之后，我们知道|5-2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.试探究解决以下问题：

(1)|x+6|可以理解为______ 与______ 两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
(2)找出所有符合条件的整数x，使|x+1|+|x-2|=3成立；
(3)如图，在一条笔直的高速公路旁边依次有A、B、C三个城市，它们距高速公路起点的距离分别是567 km、689 km、889km.现在需要在该公路旁建一个物流集敢中心P，请直接指出该物流集散中心P应该建设在何处，才能使得P到三个城市的距离之和最小这个最小距离是多少？

【答案】解：(1)x，-6；
(2)|x+1|+|x-2|表示数轴上有理数x所对应的点到1和2所对应的点的距离之和，而1到-2的距离等于3，|x+1|+|x-2|=3，
∴x所对应的点在-1和2之间，含-1和2．
∴这样的整数有-1、0、1、2．
故答案为-1、0、1、2．
(3)如图以高速公路起点为数轴原点建立数轴，

A、B、C三个城市在数轴上表示的输分别是567、689、889．
设点P表示的数为x，则
 PA+PB+PC=|x-567|+|x-689|+|x-889|，
显然，点P应在A、C之间，此时PA+PC=|889-567|=322，
所以当PB最小时，PA+PB+PC最小，
即当点P在B点时，PB-0，PA+PB+PC最小，等于322 km．
【解析】
【分析】
本题考查了绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题，这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便．
(1)|x+6|表示x与-6的差的绝对值，即可求解；
(2)|x+1|+|x-2|=3表示数轴上有理数x所对应的点到-1和2所对应的点的距离之和，而-1到2的距离等于3，所以x所对应的点在-1和2之间，含-1和2，即可求解；
(3高速公路起点为数轴原点建立数轴，点P应在A、C之间，此时PA+PC=|889-567|=322，所以当PB=0，PA+PB+PC最小．
【解答】
解：(1)解：(1)|x+6|可以理解为x与-6两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
故答案为x，-6；
(2)见答案；
(3)见答案．  
6. 数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．
例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”．

(1)若点A表示数-2，点B表示数1，下列各数-1，2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“关联点”的是______；
(2)点A表示数-10，点B表示数15，P为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数．
【答案】C1或C3
【解析】解：(1)∵点A表示数-2，点B表示数1，C1表示的数为-1，∴AC1=1，BC1=2，∴C1是点A、B的“关联点”；
∵点A表示数-2，点B表示数1，C2表示的数为2，∴AC2=4，BC1=1，∴C2不是点A、B的“关联点”；
∵点A表示数-2，点B表示数1，C3表示的数为4，∴AC3=6，BC3=3，∴C3是点A、B的“关联点”；
∵点A表示数-2，点B表示数1，C4表示的数为6，∴AC4=8，BC4=5，∴C4不是点A、B的“关联点”；
故答案为：C1，C3；
(2)①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，设点 P 表示的数为 x
(Ⅰ)当点P在A的左侧时，则有：2PA=PB，即，2(-10-x)=15-x，解得，x=-35；
(Ⅱ)当点P在A、B之间时，有2PA=PB或PA=2PB，即有，2(x+10)=15-x或x+10=2(15-x)，解得，x=-53或x=203；
因此点P表示的数为-35或-53或203；
②若点P在点B的右侧，
(Ⅰ)若点P是点A、B的“关联点”，则有，2PB=PA，即2(x-15)=x+10，解得，x=40；
(Ⅱ)若点B是点A、P的“关联点”，则有，2AB=PB或AB=2PB，即2(15+10)=x-15或15+10=2(x-15)，得，x=65或x=552；
(Ⅲ)若点A是点B、P的“关联点”，则有，2AB=PA，即2(15+10)=x+10，解得，x=40；
因此点P表示的数为40或65或552；
(1)根据题意求得CA与BC的关系，得到答案；
(2)①根据PA=2PB列方程求解；②分当P为A、B关联点、A为P、B关联点、B为A、P关联点、B为P、A关联点四种可能列方程解答．
本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：关联点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的2倍，列式可得结果．

7. 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，点A与原点O两点之间的距离表示为AO，则AO=|a-0|=|a|，类似地，点B与原点O两点之间的距离表示为BO，则BO=|b|，点A与点B两点之间的距离表示为AB=|a-b|.请结合数轴，思考并回答以下问题：
(1)数轴上表示1和-3的两点之间的距离是_____；
(2)数轴上表示m和-1的两点之间的距离是_____；
(3)数轴上表示m和-1的两点之间的距离是3，则有理数m是_____；
(4)若x表示一个有理数，并且x比-3大，x比1小，则|x-1|+|x+3|=_____；
(5)求满足|x-2|+|x+4|=6的所有整数x的和．

【答案】解：(1)4；
(2)|m+1|；
(3)2或-4；
(4)4；
(5)|x-2|+|x+4|=6的几何意义是数轴上表示x的点到表示2与-4的点的距离之和为6，
所以-4⩽x⩽2，
又因为x为整数，
所以x=-4,-3,-2,-1,0,1,2，
则-4+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2=-7
【解析】本题主要考查了数轴，根据题意，结合数轴，代入计算即可得到答案．

8. 对于各位数字均不相同的三位自然数m=abc，交换百位数字和个位数字后得到m1=cba，记Fm=m-m199，若Fm能被5整除，则称m为“五好数”.例如：621是“五好数”，因为F621=621-12699=5，5能被5整除，所以621是“五好数”；743不是“五好数”，因为F743=743-34799=4，4不能被5整除，所以743不是“五好数”．
(1)    判断409、678是否是“五好数”？并说明理由；
(2)   m是“五好数”，若a>c且满足a-b+b-c能被7整除，求出所有符合题意的m值．
【答案】解：(1)F(m)=m-m199=100a+10b+c-100c-10b-a99=a-c，
∵F(409)=4-9=5，5能被5整除，
∴409是“五好数”；
∵F(678)=6-8=2，2不能被5整除，
∴678不是“五好数”；
(2)∵m是五好数，
∴a-c是5的倍数，
∵1≤a≤9，1≤c≤9，且a>c，
∴1≤∣a-c∣≤8，即a-c=5，
∴a=6c=1,a=7c=2,a=8c=3,a=9c=4．
∵a-b+b-c能被7整除，1⩽a-b⩽9，1⩽b-c⩽9，
∴2⩽a-b+b-c⩽18，
∴a-b+b-c=7或14．
当a=6c=1时，6-b+b-1=7或14，
则b=0或7，m=601或671；
当a=7c=2时，7-b+b-2=7或14，
则b=1或8，m=712或782；
当a=8c=3时，8-b+b-3=7或14，
则b=2或9，m=823或893；
当a=9c=4时，9-b+b-4=7或14，
则b=3，m=934，
综上，符合题意的m分别为601，671，712，782，823，893，934．
【解析】本题考查新定义，掌握新定义的运算法则是解题关键．
(1)先得出F(m)=m-m199=100a+10b+c-100c-10b-a99=a-c，然后将409和678代入得到的结果中分析是否能被5整除即可；
(2)先根据m是五好数，得出a和c的取值情况，进而根据a-b+b-c能被7整除，得出a-b+b-c=7或14，然后分别得出不同a和c的取值时对应的b的值，进而得出m．

9. 观察下列两个等式：2-13=2×13+1，5-23=5×23+1，
给出定义如下：
我们称使等式a-b=ab+1成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”．
(1)通过计算判断数对“-2，1”“4，35”是不是“共生有理数对”;
(2)若“6，a”是“共生有理数对”，求a的值;
(3)若“m，n”是“共生有理数对”，则“-n，-m”          (填“是”或“不是”)“共生有理数对”，并说明理由．
【答案】解：(1)因为-2-1=-3，-2×1+1=-1，
所以-2-1≠-2×1+1，
所以“-2，1”不是“共生有理数对”;
因为4-35=325，4×35+1=325，
所以“4，35”是“共生有理数对”．
(2)由题意得：
6-a=6a+1，
解得a=57．
(3)是．
理由：-n-(-m)=-n+m，
-n⋅(-m)+1=mn+1，
因为“m，n”是“共生有理数对”，
所以m-n=mn+1，
所以-n-(-m)=mn+1，
所以“-n，-m”是“共生有理数对”．
【解析】略

10. 材料阅读：把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1,2，-3}、-2,7,34,19，我们称之为集合，其中的每个数称为该集合的元素.如果一个集合的所有元素均为有理数且满足当有理数a是集合的元素时，2015-a也是这个集合的元素，那么我们称这个集合为好的集合.例如集合{2015,0}就是一个好的集合.问题解答：
(1)集合{2015}          好的集合，集合{-1,2016}          好的集合(两空均填“是”或“不是”)．
(2)若一个好的集合中最大的一个元素为4001，则该集合是否存在最小的元素⋅如果存在，请直接写出答案，否则，说明理由．
(3)若一个好的集合的所有元素之和为整数M，且22161