中考数学压轴题剖析与精炼（含解析）：04 不等式与不等式组学案

04 不等式与不等式组

【考点1】不等式的基本性质

【例1】若，下列不等式不一定成立的是　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故错误；

、不等式的两边都乘以，不等号的方向改变，故错误；

、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故错误；

、如，，，；故正确；

故选：．

点睛：主要考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．

【变式1-1】已知四个实数，，，，若，，则　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，

．

故选：．

点睛：此题主要考查了等式的性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．

【变式1-2】设，则，则的取值范围是　　．

【答案】

【解析】，

，

，

，

即．

故答案为：

点睛：本题主要考查了分式的约分以及不等式的基本性质，熟练掌握分解因式的方法是解答本题的关键．

【考点2】解一元一次不等式（组）

【例2】若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解不等式得：，

不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，

，

，

解得：，

故选：．

点睛：本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于的不等式是解此题的关键．

【变式2-1】不等式的解为　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，

，

，

，

故选：．

点睛：本题考查了解一元一次不等式，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1．

【变式2-2】解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集．

【答案】．

【解析】

解①得，

解②得，

所以不等式组的解集为．

用数轴表示为：

点睛：本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

【考点3】不等式的含参及特殊解问题

【例3】关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解不等式得：，

不等式有两个正整数解，一定是1和2，

根据题意得：，

解得：．

故选：．

点睛：本题考查了不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．

【变式3-1】若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解关于的不等式组得

故选：．

点睛：本题考查不等式的解集，解题的关键是正确理解不等式的解集，本题属于基础题型．

【变式3-2】关于的不等式组的解集是，则的值为　　．

【答案】3

【解析】解不等式，得：，

解不等式，得：，

不等式组的解集为，

，即，

故答案为：3．

点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

【考点4】一元一次不等式的应用问题

【例4】为响应“绿色生活，美丽家园”号召，某社区计划种植甲、乙两种花卉来美化小区环境．若种植甲种花卉，乙种花卉，共需430元；种植甲种花卉，乙种花卉，共需260元．

（1）求：该社区种植甲种花卉和种植乙种花卉各需多少元？

（2）该社区准备种植两种花卉共且费用不超过6300元，那么社区最多能种植乙种花卉多少平方米？

【解析】（1）设该社区种植甲种花卉需元，种植乙种花卉需元，

依题意，得：，

解得：．

答：该社区种植甲种花卉需80元，种植乙种花卉需90元．

（2）设该社区种植乙种花卉，则种植甲种花卉，

依题意，得：，

解得：．

答：该社区最多能种植乙种花卉．

点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

【变式4-1】某市政部门为了保护生态环境，计划购买，两种型号的环保设备．已知购买一套型设备和三套型设备共需230万元，购买三套型设备和两套型设备共需340万元．

（1）求型设备和型设备的单价各是多少万元；

（2）根据需要市政部门采购型和型设备共50套，预算资金不超过3000万元，问最多可购买型设备多少套？

【解析】（1）设型设备的单价是万元，型设备的单价是万元，

依题意，得：，

解得：．

答：型设备的单价是80万元，型设备的单价是50万元．

（2）设购进型设备套，则购进型设备套，

依题意，得：，

解得：．

为整数，

的最大值为16．

答：最多可购买型设备16套．

点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

【变式4-2】为了进一步丰富校园活动，学校准备购买一批足球和篮球，已知购买7个足球和5个篮球的费用相同；购买40个足球和20个篮球共需3400元．

（1）求每个足球和篮球各多少元？

（2）如果学校计划购买足球和篮球共80个，总费用不超过4800元，那么最多能买多少个篮球？

【解析】（1）设每个足球为元，每个篮球为元，

根据题意得：，

解得：．

答：每个足球为50元，每个篮球为70元；

（2）设买篮球个，则买足球个，根据题意得：

，

解得：．

为整数，

最大取40，

答：最多能买40个篮球．

点睛：本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到建立方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键．

【考点5】不等式组的应用问题

【例5】某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共30辆调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨．

（1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；

（2）若一辆大型车的运费是900元，一辆中型车的运费为600元，试说明（1）中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？

【解析】（1）设安排辆大型车，则安排辆中型车，

依题意，得：，

解得：．

为整数，

，19，20．

符合题意的运输方案有3种，方案1：安排18辆大型车，12辆中型车；方案2：安排19辆大型车，11辆中型车；方案3：安排20辆大型车，10辆中型车．

（2）方案1所需费用为：（元，

方案2所需费用为：（元，

方案3所需费用为：（元．

，

方案1安排18辆大型车，12辆中型车所需费用最低，最低费用是23400元．

点睛：本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．

【变式5-1】某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．

（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？

（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大概的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？

【解析】（1）设改造1个甲种型号大棚需要万元，改造1个乙种型号大棚需要万元，

依题意，得：，

解得：．

答：改造1个甲种型号大棚需要12万元，改造1个乙种型号大棚需要18万元．

（2）设改造个甲种型号大棚，则改造个乙种型号大棚，

依题意，得：，

解得：．

为整数，

，4，5，

共有3种改造方案，方案1：改造3个甲种型号大棚，5个乙种型号大棚；方案2：改造4个甲种型号大棚，4个乙种型号大棚；方案3：改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚．

方案1所需费用（万元）；

方案2所需费用（万元）；

方案3所需费用（万元）．

，

方案3改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚基地投入资金最少，最少资金是114万元．

点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

【变式5-2】某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有，两种客车可供租用，型客车每辆载客量45人，型客车每辆载客量30人．若租用4辆型客车和3辆型客车共需费用10700元；若租用3辆型客车和4辆型客车共需费用10300元．

（1）求租用，两型客车，每辆费用分别是多少元；

（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？

【解析】（1）设租用，两型客车，每辆费用分别是元、元，

，

解得，，

答：租用，两型客车，每辆费用分别是1700元、1300元；

（2）设租用型客车辆，租用型客车辆，

，

解得，，，，

共有三种租车方案，

方案一：租用型客车2辆，型客车5辆，费用为9900元，

方案二：租用型客车4辆，型客车2辆，费用为9400元，

方案三：租用型客车5辆，型客车1辆，费用为9800元，

由上可得，方案二：租用型客车4辆，型客车2辆最省钱．

点睛：本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质和方程的知识解答．

1．如果，那么下列结论错误的是　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

，

故选：．

点睛：本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．

2．如果，，那么下列不等式成立的是　　

A． B． 

C． D．

【答案】D

【解析】，

，

，

，

故选：．

点睛：本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于中等题型．

3．不等式的解集为　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】移项得：

系数化为1得：．

故选：．

点睛：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．

解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．

4．不等式的非负整数解有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【解析】，

解得：，

则不等式的非负整数解有：0，1，2，3共4个．

故选：．

点睛：此题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确把握非负整数的定义是解题关键．

5．某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工个零件为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知的值至少为　　

A．10 B．9 C．8 D．7

【答案】B

【解析】设原计划天完成，开工天后3人外出培训，

则，

得到．

所以．

整理，得．

．

将其代入化简，得，即，

整理，得．

，

，

．

至少为9．

故选：．

点睛：考查了一元一次不等式的应用，解题的技巧性在于设而不求，难度较大．

6．某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为　　

A．13 B．14 C．15 D．16

【答案】C

【解析】设要答对道．

，

，

，

解得：，

根据必须为整数，故取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题．

故选：．

点睛：此题主要考查了一元一次不等式的应用，得到得分的关系式是解决本题的关键．

7．不等式的解为　　．

【答案】

【解析】，

，

    ．

故答案为：．

点睛：本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

8．若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是　　．

【答案】

【解析】，

①②得，

则，

根据题意得，

解得．

故答案是：．

点睛：本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把当作已知数表示出的值，再得到关于的不等式．

9．已知是不等式的解，不是不等式的解，则实数的取值范围是　　．

【答案】

【解析】是不等式的解，

，

解得：，

不是这个不等式的解，

，

解得：，

，

故答案为：．

点睛：本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集．

10．若为有理数，且的值大于1，则的取值范围为　　．

【答案】

【解析】根据题意知，

解得，

故答案为：且为有理数．

点睛：本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

11．不等式组的解集是　　．

【答案】

【解析】，

由不等式①，得，

由不等式②，得，

故原不等式组的解集是，

故答案为：．

点睛：本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．

12．不等式组的解集是　　．

【答案】

【解析】，

由①得，，

由②得，，

原不等式组的解集为，

故答案为．

点睛：此题考查了不等式组的解法，求不等式组的解集要根据以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

13．定义：表示不大于的最大整数，例如：，．

有以下结论：

①     ；②；③；④存在唯一非零实数，使得．

其中正确的是　    　．（写出所有正确结论的序号）

【答案】①②③．

【解析】①，故①正确；

②，故②正确；

③，故③正确；

④当时，；当时，；原题说法是错误的．

故答案为：①②③．

点睛：本题考查新定义，解答本题的关键是明确题目中的新定义，可以判断出各个小题中的结论是否正确．

14．如果不等式组的解集是，则的取值范围是　　．

【答案】

【解析】解这个不等式组为，

则，

解这个不等式得

故答案．

点睛：此题实质是解一元一次不等式组．解答时要遵循以下原则：同大取教大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

15．已知不等式组的解集为，则的取值范围是　　．

【答案】

【解析】

由①得；

由②得．

不等式组的解集为，

，

解得．

故答案为．

点睛：本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于的不等式，难度适中．

16．若关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是　　．

【答案】

【解析】解不等式，得：，

解不等式，得：，

不等式组的解集为，

，

故答案为：．

点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

17．解不等式组：．

【解析】解不等式，得：，

解不等式，得：，

则不等式组的解集为．

点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

18．解不等式组：

【答案】．

【解析】解①得，

解②得，

所以不等式组的解集为．

点睛：本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

19.学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生化妆．其中5名男生和3名女生共需化妆费190元；3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同．

（1）求每位男生和女生的化妆费分别为多少元；

（2）如果学校提供的化妆总费用为2000元，根据活动需要至少应有42名女生化妆，那么男生最多有多少人化妆．

【解析】（1）设每位男生的化妆费是元，每位女生的化妆费是元，

依题意得：．

解得：．

答：每位男生的化妆费是20元，每位女生的化妆费是30元；

（2）设男生有人化妆，

依题意得：．

解得．

即的最大值是37．

答：男生最多有37人化妆．

点睛：考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系．

20．某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．

（1）求该车间的日废水处理量；

（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．

【答案】该厂一天产生的工业废水量的范围为．

【解析】（1）（元，，

．

依题意，得：，

解得：．

答：该车间的日废水处理量为20吨．

（2）设一天产生工业废水吨，

当时，，

解得：；

当时，，

解得：．

综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为．

点睛：本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

21．某文具店最近有，两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周款销售数量是15本，款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周款销售数量是20本，款销售数量是10本，销售总价是280元．

（1）求，两款毕业纪念册的销售单价；

（2）若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本款毕业纪念册．

【解析】（1）设款毕业纪念册的销售为元，款毕业纪念册的销售为元，根据题意可得：

，

解得：，

答：款毕业纪念册的销售为10元，款毕业纪念册的销售为8元；

（2）设能够买本款毕业纪念册，则购买款毕业纪念册本，根据题意可得：

，

解得：，

则最多能够买24本款毕业纪念册．

点睛：此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．

22．为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：

学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．

（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？

（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为　8　辆；

（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？

【解析】（1）设参加此次研学活动的老师有人，学生有人，

依题意，得：，

解得：．

答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．

（2）（辆（人，（辆，

租车总辆数为8辆．

故答案为：8．

（3）设租35座客车辆，则需租30座的客车辆，

依题意，得：，

解得：．

为正整数，

，3，4，5，

共有4种租车方案．

设租车总费用为元，则，

，

的值随值的增大而增大，

当时，取得最小值，最小值为2720．

学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．

点睛：本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据师生人数，确定租车辆数；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．