高中物理人教版 (2019)必修 第一册3 匀变速直线运动的位移与时间的关系学案设计

2.3  匀变速直线运动的位移与时间的关系

1．知道匀速直线运动的位移与v-t图线下围成的矩形面积的对应关系。

2．理解匀变速直线运动的位移与v-t图像中四边形面积的对应关系，使学生感受利用极限思想解决物理问题的科学思维方法。

3．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系。

重点：会用x＝v0t +at2/2及图像解决简单问题

难点：微元法推导位移时间关系式

【自主学习】

一、匀速直线运动的位移

1．做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝vt。在它的v-t图象中，如图所示，着色的矩形的边长正好也是v和t，矩形的面积正好也是vt。可见，对于匀速直线运动，物体的位移对应着v-t图象下面的面积。

2．对于匀变速直线运动，它的位移与它的v-t图象，是不是也有类似的关系？

3．思考与讨论

一次课上，老师拿来了一位往届同学所做的“探究小车的运动规律”的测量记录（见下表），表中“速度v”一行是这位同学用某种方法（方法不详）得到的物体在 0，1，2，…，5几个位置的瞬时速度。原始的纸带没有保存。

以下是关于这个问题的讨论。

老师：能不能根据表中的数据，用最简便的方法估算实验中小车从位置0到位置5的位移？

学生A：能。可以用下面的办法估算：

x＝0.38×0.1＋0.63×0.1＋0.88×0.1＋1.11×0.1＋1.38×0.1+1.62×0.1＝…

学生B：这个办法不好。从表中看出，小车的速度在不断增加，0.38只是0时刻的瞬时速度，以后的速度比这个数值大。用这个数值乘以0.1s，得到的位移要比实际位移小。后面的几项也有同样的问题。

学生A：老师要求的是“估算”，这样做是可以的。

老师：你们两个人说得都有道理。这样做的确会带来一定误差，但在时间间隔比较小、精确程度要求比较低的时候，可以这样估算。

要提高估算的精确程度，可以有多种方法。其中一个方法请大家考虑：如果当初实验时，时间间隔不是取0.1s，而是取得更小些，比如0.06s，同样用这个方法计算，误差是不是会小一些？如果取0.04s，0.02s，…误差会怎样？

欢迎大家发表意见。

二、匀变速直线运动的位移

1．下面我们采用这种思想方法，通过v-t图像，研究以初速度v0做匀变速直线运动的物体，在时间t内发生的位移。物体运动的v-t图象如图甲所示。

2．先把物体的运动分成几个小段，例如t/5算一个小段，在v-t图中，每小段起始时刻物体的瞬时速度由相应的纵坐标表示，如图乙所示。我们以每小段起始时刻的速度乘以时间t/5，近似地当做各小段中物体的位移。在v-t图中，各段位移可以用一个又窄又高的小矩形的面积代表。5个小矩形的面积之和近似地代表物体在整个过程中的位移。

3．当然，上面的做法是粗糙的。为了精确一些，可以把运动过程划分为更多的小段，如图丙所示，用所有这些小段的位移之和，近似代表物体在整个过程中的位移。从v-t图上看，就是用更多的但是更窄的小矩形的面积之和代表物体的位移。

4．可以想像，如果把整个运动过程划分得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和就能非常准确地代表物体的位移了。这时，“很多很多”小矩形顶端的“锯齿形”就看不出来了，这些小矩形合在一起成了一个梯形OABC。梯形OABC的面积就代表做匀变速直线运动的物体从0（此时速度是v0）到t（此时速度是v）这段时间间隔的位移。如图丁所示。

5．在图丁中，CB斜线下梯形OABC的面积是

S＝(OC＋AB)×OA

把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成

x＝(v0＋v)t

把前面已经得出的v＝v0＋at代入，得到

x=v0t+at2

这就是表示匀变速直线运动的位移与时间关系的公式。

6．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系。

（1）做匀速直线运动的物体，其位移公式为___________，其v-t图象为__________。在v-t图象中某段时间内位移的大小与____________相等。

（2）匀变速直线运动位移与时间的的关系式为_______；如果初速度为0，这个公式简化为        ；如果加速度为0，这个公式简化为        。

（3）匀变速直线运动的v-t图象是________________，其中图象的倾斜程度表示物体的__________，图象与坐标轴所围面积表示物体的______________。

例题一辆汽车以1m/s2的加速度加速行驶了12s，驶过了180m。汽车开始加速时的速度是多少？

1．一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是(　　)

A．物体的末速度一定与时间成正比

B．物体的位移一定与时间的平方成正比

C．物体的速度在一定时间内发生的变化与这段时间成正比

D．若为匀加速运动，速度和位移都随时间增加；

若为匀减速运动，速度和位移都随时间减小

2．某物体从静止开始作匀加速直线运动，该物体在第1s末，第2s末，第3s末的瞬时速度之比和在第1s内，第2s内，第3s内的位移之比分别为(　　)

A．1∶2∶3,1∶2∶3　　　　　

B．1∶2∶3,1∶3∶5

C．1∶3∶5,1∶4∶9

D．1∶3∶5,1∶2∶3

3．做匀变速直线运动的质点，它的位移随时间变化的规律是x＝(24t－1.5t2)m，则质点的速度为零的时刻是(　　)

A．1.5s    B．8s

C．16s    D．24s

4．飞机的起飞过程是从静止出发，在直跑道上加速前进，等达到一定速度时离地．已知飞机加速前进的路程为1600m，所用的时间为40s，假设这段时间内的运动为匀加速运动，用a表示加速度，v表示离地时的速度，则(　　)

A．a＝2m/s2，v＝80m/s　　　

B．a＝1m/s2，v＝40m/s

C．a＝80m/s2，v＝40m/s 

D．a＝1m/s2，v＝80m/s

5．两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶．t＝0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始．它们在四次比赛中的v－t图如图所示．哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆(　　)

1．两个物体由静止开始做匀加速直线运动，在相同时间内位移之比x1:x2＝1:4，则它们的加速度之比a1:a2（   ）

A．1:1    B．1:2    C．1:4    D．1:8

2．某质点的位移随时间的变化关系式为x=4t+2t2，x与t的单位分别是m和s，则质点的初速度与加速度分别是（   ）

A．4m/s与2m/s2           B．0与4m/s2

C．4m/s与4m/s2           D．4m/s与0

3．一辆汽车以3m/s的初速度开始行驶，经过20s，驶过了260m。求汽车运动的加速度是多少?

4．汽车以72km/h的速度行驶，刹车后获得大小为2m/s2的加速度，则刹车后8s内通过的位移为_____m，刹车后10s内通过的位移为_____m，刹车后12s内通过的位移为______m。

5．如图所示是某一质点运动的速度-时间图像，请从图像中找出以下物理量，质点的初速度是________，0-2s内的加速度_________，2-4s的加速度___________，4s-6s的加速度__________，质点离出发点最远的时刻是________，质点6s内的位移是__________。

6．某一做直线运动物体的v-t图象如图所示，根据图象求：

（1）物体距出发点的最远位移

（2）前4s的位移

（3）前4s的路程

7．如图所示为甲、乙两物体从同一地点沿直线向同一方向运动的v-t图象，则（   ）

A．甲、乙两物体在4s末相距最远

B．甲、乙两物体在2.5s末相距最近

C．甲、乙两物体在5s末相遇

D．前4s内甲物体总在乙的前面

8．一辆汽车在教练场上沿着平直道路行驶，以x表示它对于出发点的位移。如图所示为汽车在t=0到t=40s这段时间的x-t图象，通过分析回答以下问题。

（1）汽车最远距离出发点多少米？

（2）汽车在哪段时间没有行驶？

（3）汽车在哪段时间驶离出发点，在哪段时间驶向出发点？

（4）汽车在各段时间间隔内行驶的速度各是多少？

9．以36km/h速度行驶的列车开始下坡，在坡路上的加速度为0.2m/s2，经过30s到达坡底，求坡路的长度和到达坡底时的速度。

10．以18m/s的速度行驶的汽车，制动后做匀减速运动，在3s内前进36m，求汽车的加速度。

11．在平直公路上，一汽车以72km/h的速度做匀速直线运动，从某时刻开始刹车，在阻力作用下，汽车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，问刹车后8s末车离开始刹车点多远?

12．正以30m/s的速率运行中的列车，接到前方小站的请求：在该站停靠1min，接一个垂危病人上车。列车决定先以加速度大小是0.6m/s2匀加速直线运动到小站恰好停止，停车1min后再以1.0m/s2的加速度匀加速直线启动，直到恢复到原来的速度行驶。求该列车由于临时停车，共耽误多少时间。

参考答案：

小试牛刀：

1．答案：C

解析：根据v＝v0＋at和x＝v0t＋at2可知，A、B选项不正确，由a＝可知，C正确．

当物体做匀减速运动时，速度减小但位移可以增大．

2．答案：B

3．答案：B

4．答案：A

解析：由x＝at2得a＝＝m/s2＝2m/s2，由x＝t＝t得v＝＝m/s＝80m/s.

5．答案：AC

解析：根据图线和时间坐标轴所围的“面积”在数值上等于位移的大小可判定A、C选项正确．

当堂检测：

1．C

2．C

3．1m/s2

4．96m，100m，100m

5．2m/s，1m/s2，0，-2m/s2，6s，18m

6．（1）6m；（2）5m；（3）7m

7．CD

8．（1）30m；（2）10s-20s时间段没有行驶；（3）0-10s时间段汽车驶离出发点，20s-40s时间段汽车驶向出发点；（4）v1=3m/s，v2=0，v3=1.5m/s

9．390m，16m/s

10．-4m/s2

11．50m

12．100s