专题07 三角函数 专项练习-2022届高三数学一轮复习（原卷版+解析版）

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专题五 《三角函数》专项练习
一．选择题（共8小题）
1．下面函数中为偶函数的是（　　）
A．y＝x2sinx B．y＝xcosx C．y＝|sinx| D．y＝x﹣cosx
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝x2sinx，其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x）2sin（﹣x）＝﹣x2sinx＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，不符合题意；
对于B，y＝xcosx，其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x）cos（﹣x）＝﹣xcosx＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，不符合题意；
对于C，y＝|sinx|，其定义域为R，有f（﹣x）＝|sin（﹣x）|＝|sinx|＝f（x），即函数f（x）为偶函数，符合题意；
对于D，y＝x﹣cosx，其定义域为R，f（﹣x）＝﹣x﹣cosx，f（﹣x）≠f（x），不是偶函数，不符合题意；
故选：C．
2．已知sinα+3cosα3cosα-sinα=5，则cos2α+12sin2α的值是（　　）
A．35 B．-35 C．﹣3 D．3
【解答】解：由sinα+3cosα3cosα-sinα=5，得tanα+33-tanα=5，解得tanα＝2．
∴cos2α+12sin2α=cos2α+sinαcosαsin2α+cos2α=1+tanαtan2α+1=1+222+1=35．
故选：A．
3．已知sin(π3-α2)=-32，则cos(π6+α2)=（　　）
A．32 B．-32 C．-12 D．12
【解答】解：sin(π3-α2)=-32，
则cos(π6+α2)=cos（π2-π3+α2）
＝sin（π3-α2）=-32，
故选：B．
4．将函数f（x）＝sin（2x+φ）的图象向左平移π8个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（　　）
A．3π4 B．π4 C．0 D．-π4
【解答】解：将函数f（x）＝sin（2x+φ）的图象向左平移π8个单位，
可得到的函数y＝sin[2（x+π8）+φ）]＝sin（2x+π4+φ）的图象，
再根据所得图象关于y轴对称，可得π4+φ＝kπ+π2，即φ＝kπ+π4，k∈z，
则φ的一个可能取值为π4，
故选：B．
5．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．函数f（x）的周期为π
B．函数y＝f（x﹣π）为偶函数
C．函数f（x）在[﹣π，-π4]上单调递增
D．函数f（x）的图象关于点（3π4，0）对称
【解答】解：由图象知A＝2，即f（x）＝2sin（ωx+φ），
由图象知函数的周期满足T2≥5π4，即T≥5π2，故A错误，
∵f（0）＝2sinφ=3，∴sinφ=32，
由图象知图象向左平移超过了T4≥5π8，即φ＞5π8，
即φ=2π3，则f（x）＝2sin（ωx+2π3），
由五点对应法得5π4ω+2π3=3π2，得ω=23，
即f（x）＝2sin（23x+2π3），
则f（x﹣π）＝2sin[23（x﹣π）+2π3]＝2sin23x是奇函数，故B错误，
若﹣1≤x≤1则0≤23x+2π3≤π2，此时f（x）为增函数，故C正确，
若函数关于点（3π4，0）对称，则T4=5π4-3π4=2π4，即T＝2π，如函数的周期T=2π23=3π矛盾，故D错误，
故选：C．
6．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（0＜ω＜4，|φ|＜π2），若f（π6）﹣f（2π3）＝2，则函数f（x）的单调递增区间为（　　）
A．[kπ2+π6，kπ2+5π12]，k∈Z B．[kπ2-π12，kπ2+π6]，k∈Z
C．[kπ+π6，kπ+2π3]，k∈Z D．[kπ-π3，kπ+π6]，k∈Z
【解答】解：已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（0＜ω＜4，|φ|＜π2），若f（π6）﹣f（2π3）＝2，
则 f（π6）＝1，f（2π3）＝﹣1，即 sin（ω•π6+φ）＝1，sin（ω•2π3+φ）＝﹣1，
∴ω•π6+φ＝2kπ+π2，ω•2π3+φ＝2kπ+3π2，k∈Z，两式相减可得ω＝2，
∴φ=π6，函数f（x）＝sin（2x+π6），
令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2，求得kπ-π3≤x≤kπ+π6，
可得函数f（x）的单调递增区间为[kπ-π3，kπ+π6]，k∈Z．
7．已知函数f（x）＝sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=π4，若不等式asin2x+cosx﹣t≥0对x∈[-π3，π2]恒成立，则t的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，2] C．（1，+∞） D．（0，1）
【解答】解：∵函数f（x）＝sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=π4，
∴f（0）＝f（π2），代值可得a＝1，
∵不等式asin2x+cosx﹣t≥0对x∈[-π3，π2]恒成立，
∴不等式sin2x+cosx﹣t≥0对x∈[-π3，π2]恒成立，
∴不等式t≤sin2x+cosx对x∈[-π3，π2]恒成立，
只需t≤sin2x+cosx在x∈[-π3，π2]的最小值即可，
变形可得y＝sin2x+cosx＝﹣cos2x+cosx+1＝﹣（cosx-12）2+54，
∵x∈[-π3，π2]，∴cosx∈[0，1]，
由二次函数可知当cosx＝0或1时，y取最小值1，
∴t的取值范围为（﹣∞，1]，
故选：A．
8．已知函数f(x)=cos2ωx2+32sinωx-12(ω＞0，x∈R)，若函数在区间（π，2π）内没有零点，则ω的最大值为（　　）
A．512 B．56 C．1112 D．32
【解答】解：f(x)=cos2ωx2+32sinωx-12=cosωx+12+32sinωx-12=sin(ωx+π6)，
∵函数在区间（π，2π）内没有零点，
∴T2≥2π-π=π，
∴ω=2πT≤1，排除选项D；
当ω=1112时，f(x)=sin(1112x+π6)，令1112x+π6=kπ，k∈Z，则函数f（x）的零点为x=1211(kπ-π6)，
当k＝1时，零点为x=1011π；当k＝2时，零点为x＝2π，符合题意．
故选：C．
二．多选题（共4小题）
9．已知函数f(x)=sin(2x-π4)，则下列结论正确结论的是（　　）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）图象关于直线x=π8对称
C．函数f（x）图象关于点(3π8，0)对称
D．函数f（x）在[-π8，3π8]上是单调增函数
【解答】解：已知函数f(x)=sin(2x-π4)，则：
A．函数f（x）的最小正周期为π，故A正确．
B．由于f（π8）＝0，函数f（x）图象关于直线x=π8对称，故B错误．
C．当x=3π8时，f（3π8）＝1．故函数f（x）图象关于点(3π8，0)对称说法错误．
D．．当x∈[-π8，3π8]时，-π2≤2x-π4≤π2，所以函数f（x）在[-π8，3π8]上是单调增函数，故D正确．
故选：AD．
10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2），其图象相邻两条对称轴之间的距离为π4，将函数y＝f（x）的图象向左平移3π16个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f（x）的图象（　　）
A．关于点(-π16，0)对称 B．关于点(π16，0)对称
C．关于直线x=-π16对称 D．关于直线x=-π4对称
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2），
其图象相邻两条对称轴之间的距离为12•2πω=π4，
∴ω＝4．
将函数y＝f（x）的图象向左平移3π16个单位后，可得y＝sin（4x+3π4+φ）的图象．
根据得到的图象关于y轴对称，可得 3π4+φ＝kπ+π2，k∈Z，
∴φ=-π4，函数f（x）＝sin（4x-π4）．
令4x-π4=kπ，求得x=kπ4+π16，可得函数f（x）的图象关于点（kπ4+π16，0），k∈Z 对称，故B正确．
令4x-π4=kπ+π2，求得x=kπ4+3π16，可得函数f（x）的图象关于直线x=kπ4+3π16，k∈Z 对称，故C正确．
故选：BC．
11．已知函数f(x)=sin(3x+φ)(-π2＜φ＜π2)的图象关于直线x=π4对称，则（　　）
A．函数f(x+π12)为奇函数
B．函数f（x）在[π12，π3]上单调递增
C．若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值为π3
D．函数f（x）的图象关于(5π12，0)中心对称
【解答】解：函数f（x）关于直线x=π4对称，
∴3×π4+φ=π2+kπ，k∈Z，
∴φ=-π4+kπ，k∈Z，
∵-π2≤φ≤π2，
∴φ=-π4，
∴f（x）＝sin（3x-π4），
f(x+π12)=sin[3(x+π12)-π4]=sin3x，sin3（﹣x）＝﹣sin3x，定义域为R，关于原点对称，
∴函数f（x+π12）为奇函数，故选项A正确，
∵x∈[π12，π3]，
∴3x-π4∈[0，3π4]，
正弦函数y＝sinx在[0，π2] 上单调递增，在[π2，3π4] 上单调递减，故B选项错误，
∵f（x）max＝1，f（x）min＝﹣1，|f（x1）﹣f（x2）|＝2，
∴f（x1），f（x2） 中一个为最大值，另一个为最小值，
∵f（x）图象的最小正周期T=2π3，
∴|x1﹣x2|的最小值为12×2π3=π3，故C选项正确，
∵f(5π12)=sin(3×5π12-π4)=0，
∴函数f（x）的图象关于(5π12，0)中心对称，故D选项正确．
故选：ACD．
12．函数f（x）＝2sin（ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

A．f（x）＝2sin(13x-π6)
B．若把函数f（x）的图象向左平移π2个单位，则所得图象对应的函数是奇函数
C．若把f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到图象对应的函数在[﹣π，π]上是增函数
D．∀x∈[-π3，π3]，若f(3x)+a≥f(3π2)恒成立，则a的最小值为3
【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，
所以T4=7π2-2π=3π2，
解得T＝6π，
故ω=13．
由于f（2π）＝2，
所以2sin(2π3+φ)=2，
整理得φ＝2kπ-π6（k∈Z），
由于|φ|＜π，
所以φ=-π6．
故f（x）＝2sin(13x-π6)，故A正确；
对于B：函数f（x）的图象向左平移π2个单位，整理得g（x）＝2sin13x，故函数为奇函数，故B正确；
对于C：把f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到图象对应的函数g（x）＝2sin（12x-π6），
由于x∈[﹣π，π]，
故-2π3≤12x-π6≤π3，
故函数不单调，故C错误；
对于D：∀x∈[-π3，π3]，若f(3x)+a≥f(3π2)恒成立，只需满足a≥f(3π2)-f(3x)，∀x∈[-π3，π3]恒成立．
令g（x）=f(3π2)-f(3x)=3-2sin(x-π6)，
由于x∈[-π3，π3]，
所以-π2≤x-π6≤π6，
所以3-1≤g(x)≤3+2
则a的最小值为3+2，故D错误；
故选：AB．

三．填空题（共4小题）
13．已知cos（π3+α）=13，7π6＜α＜5π3，则sin（π3+α）+cos（5π3-α）的值是　-22+13　．
【解答】解：∵cos（π3+α）=13，7π6＜α＜5π3，
∴π3+α∈（3π2，2π），
∴sin（π3+α）=-1-cos2(π3+α)=-223．
则sin（π3+α）+cos（5π3-α）＝sin（π3+α）+cos（π3+α）=2sin（π3+α+π4）=2sin（π3+α）cosπ4-2cos（π3+α）sinπ4
=2•（-223）•22-2•13⋅22=-22+13，
故答案为：-22+13．
14．已知sinαcosα=38，且α∈（0，π2），则cos2αsin(α-π4)的值为 　-142　．
【解答】解：∵sinαcosα=38，
∴（sinα+cosα）2＝sin2α+2sinαcosα+cos2α＝1+2×38=74，
∵α∈（0，π2），
∴sinα＞0，cosα＞0，∴sinα+cosα=72，
∴cos2αsin(α-π4)=cos2α-sin2α22(sinα-cosα)=-2（sinα+cosα）=-2×72=-142．
故答案为：-142．
15．如图是函数f（x）＝Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|≤π2）图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），有f（x1+x2）=3，则φ的值为　π3　．

【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|≤π2）图象的一部分，
可得A＝2，周期为2π2=π，∴b﹣a=π2．
由f（x1）＝f（x2），可得函数的图象关于直线x=x1+x22=a+b2对称，故a+b＝x1 +x2 ．
由五点法作图可得2a+φ＝0，2b+φ＝π，∴a+b=π2-φ．
结合f（a+b）＝f（π2-φ）＝2sin（π﹣2φ+φ）＝2sinφ＝f（x1 +x2 ）=3，可得sinφ=32，
∴φ=π3，
故答案为：π3．
16．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点M(5π12，0)成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为(2π3，-3)．则对于下列判断
①函数y=f(x-π3)为偶函数．
②直线x=π2是函数f（x）的一条对称轴．
③函数y＝1与y=f(x)(-π12≤x≤35π12)的图象的所有交点的横坐标之和为7π．
其中正确的判断序号为　①③　．
【解答】解：函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点M(5π12，0)成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为(2π3，-3)．
所以f（x）min＝﹣3．
由于T4=2π3-5π12=π4，解得T＝π．
所以A＝3，ω=2ππ=2，
由于函数的图象关于（5π12，0）对称，
所以2×5π12+φ＝kπ（k∈Z），
整理得φ=kπ-5π6（k∈Z），
由于0＜φ＜π，
所以，当k＝1时，φ=π6．
所以f（x）＝3sin（2x+π6）．
对于①：f（x-π3）＝3sin（2x-2π3+π6）＝3sin（2x-π2）＝﹣3cos2x，故函数y=f(x-π3)为偶函数，故①正确．
对于②：当x=π2时，f（π2）＝3sin（π+π6）=-32，故②错误．
对于③：利用函数的单调性，
当2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2（k∈Z）时，解得kπ-π3≤x≤kπ+π6（k∈Z）；
当2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2（k∈Z）时，解得kπ+π6≤x≤kπ+2π3（k∈Z）．
所以函数的单调递增区间为：[kπ-π3，kπ+π6]（k∈Z）；
函数的单调递减区间为[kπ+π6，kπ+2π3]（k∈Z）；
由于-π12≤x≤35π12，
所以（2π3，7π6），（5π3，13π6），（8π3，35π12）单调递增，
同理（π6，2π3），（7π6，5π3），（13π6，8π3）单调递减．
由于函数y＝1与函数y=f(x)(-π12≤x≤35π12)，的图象的交点的个数为6个，并且两两对称，他们的对称轴分别为x=π6，x=7π6，x=13π6，
所以所有的横坐标之和为2×π6+2×7π6+2×13π6=7π．故③正确．
故答案为：①③
四．解答题（共4小题）
17．在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的纵坐标分别为55，31010
（1）求α﹣β；
（2）求cos（2α﹣β）的值．
【解答】解：（1）由题意得，sinα=55，sinβ=31010⋯2
∵sin2α+cos2α＝1，∴cos2α＝1﹣sin2α=2025，
又α是锐角，则cosα=255，…3
同理可求，cosβ=1010；…4
∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴-π2＜α-β＜π2，…5
且sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ
=55×1010-255×31010=-22⋯7
∴α﹣β=-π4；…8
（2）由（1）得cos（α﹣β）＝cos（-π4）=22⋯9
∴cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]
＝cos（α﹣β）cosα﹣sin（α﹣β）sinα
=22×255-(-22)×55=31010．…12
18．已知函数f(x)=1+cos(2x+3π2)-3cos(π-2x)．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若关于x的方程f（x）﹣m＝2在x∈[0，π2]上有两个不同的解，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）f(x)=1+cos(2x+3π2)-3cos(π-2x)
=1+sin2x+3cos2x=1+2(12sin2x+32cos2x)
=1+2sin(2x+π3)，
∵2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，
解得kπ-5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，
∴函数 的单调递增区间为[kπ-5π12，kπ+π12]．k∈Z；
（2）由f（x）﹣m＝2得f（x）＝m+2，
当x∈[0，π2]时，2x+π3∈[π3，4π3]，
由图象得f（0）＝1+2sinπ3=1+3，
函数f（x）的最大值为1+2＝3，
∴要使方程f（x）﹣m＝2在x∈[0，π2]上有两个不同的解，
则f（x）＝m+2在x∈[0，π2]上有两个不同的解，
即函数f（x）和y＝m+2在x∈[0，π2]上有两个不同的交点，
∴1+3≤m+2＜3，
即3-1≤m＜1．

19．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示．
（1）求A，ω和φ的值；
（2）求函数y＝f（x）在[1，2]上的单调递减区间；
（3）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上恰有2020个零点，求b﹣a的取值范围．

【解答】解：（1）由题可得A＝1，T＝2（43-13）＝2，则ω=2πT=π，
当x=56时，f（x）取得最大值，则56π+φ=π2+2kπ（k∈Z），
所以φ=-π3+2kπ（k∈Z），
又因为|φ|＜π2，故φ=-π3；
（2）由（1）可知f（x）＝sin（πx-π3），
令π2+2kπ≤πx-π3≤3π2+2kπ，k∈Z，
则56+2k≤x≤116+2k，k∈Z，
故f（x）的单调递减区间为[56+2k，116+2k]（k∈Z），
则f（x）在[1，2]上的单调递减区间为[1，116]；
（3）令f（x）＝sin（πx-π3）＝0，则πx-π3=kπ，解得x＝k+13，k∈Z，
所以f（x）在[13，73）上有两个零点，因为f（x）周期为2，
若函数y＝f（x）在区间[a，b]上恰有2020个零点，
则1009×2+1≤b﹣a＜1010×2，
解得b﹣a的取值范围为[2019，2020）．
20．已知函数f（x）＝4sin（ωx-π4）•cosωx在x=π4处取得最值，其中ω∈（0，2）．
（1）求函数f（x）的最小正周期：
（2）将函数f（x）的图象向左平移π36个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象．若α为锐角．g（α）=43-2，求cosα
【解答】解：（1）化简可得f（x）＝4sin（ωx-π4）•cosωx
＝4（22sinωx-22sinωx）cosωx
＝22sinωxcosωx﹣22cos2ωx
=2sin2ωx-2cos2ωx-2
＝2sin（2ωx-π4）-2，
∵函数f（x）在x=π4处取得最值，
∴2ω×π4-π4=kπ+π2，解得ω＝2k+32，k∈Z，
又∵ω∈（0，2），∴ω=32，
∴f（x）＝2sin（3x-π4）-2，
∴最小正周期T=2π3；
（2）将函数f（x）的图象向左平移π36个单位得到y＝2sin[3（x+π36）-π4]-2=2sin（3x-π6）-2的图象，
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）＝2sin（x-π6）-2的图象．
∵α为锐角，g（α）＝2sin（α-π6）-2=43-2，∴sin（α-π6）=23，
∴cos（α-π6）=1-sin2(α-π6)=53，
∴cosα＝cos[（α-π6）+π6]=32cos（α-π6）-12sin（α-π6）
=32×53-12×23=15-26
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