高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第3课时精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第3课时精练，共7页。
[A　基础达标]1．sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 140°＝(　　)A．－  B．   C．－  D．解析：选B．sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 140°＝sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝sin (20°＋40°)＝sin 60°＝.2．已知cos ＝，x∈(0，π)，则sin x的值为(　　)A．  B．C．  D．解析：选B．由题意得x＋∈，所以sin ＝，所以sin x＝sin ＝sin cos －cos sin ＝×－×＝.3．已知在△ABC中，cos ＝－，则sin ＋cos A＝(　　)A．－  B．   C．－  D．解析：选A．因为cos ＝sin ＝sin ＝－，所以sin ＋cos A＝sin A＋cos A＝＝sin ＝－.4.sin ＋sin 的化简结果是(　　)A．2sin   B．2sin C．2sin   D．2sin 解析：选A．sin ＋sin ＝sin ＋sin 　＝cos ＋sin ＝2＝2＝2sin ＝2sin .5．若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)＝(　　)A．  B．2C．1＋  D．2(tan A＋tan B)解析：选B．由题可得tan (α＋β)＝＝－1，所以tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β.即2＝1－tan α－tan β＋tan αtan β＝(1－tan α)(1－tan β).6．已知cos ＝－，则cos x＋cos ＝________．　解析：cos x＋cos ＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos ＝×＝－1.答案：－17．若tan α，tan β是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，且α，β∈，则α＋β＝________．解析：由tan α，tan β是方程x2＋5x＋6＝0的两个根得tan α＋tan β＝－5，tan αtan β＝6，则两根同号，且都为负数，故α，β∈.所以α＋β∈(－π，0).又tan (α＋β)＝＝1，故α＋β＝－.答案：－8．函数f(x)＝sin ＋cos x的图象的相邻两个对称中心的距离是________．解析：f(x)＝sin cos x－cos ·sin x＋cos x＝cos x－sin x＝sin ，所以函数f(x)的最小正周期为＝6π，所以函数f(x)的图象的相邻两个对称中心的距离是3π.答案：3π9．已知α，β均为锐角，且tan β＝，求tan (α＋β)的值．解：tan β＝＝＝tan ，因为α，β均为锐角，所以－<－α<，0<β<.又y＝tan x在上单调递增，所以β＝－α，即α＋β＝，tan (α＋β)＝1.10．已知tan ＝2，tan (α－β)＝，α∈，β∈.(1)求tan α的值；(2)求2α－β的值．解：(1)tan ＝＝2，得tan α＝.(2)因为tan (2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝＝1，又α∈，β∈，得2α－β∈，所以2α－β＝.[B　能力提升]11．(多选)在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是(　　)A．tan (A＋B)＝－  B．tan A＝tan BC．cos B＝sin A  D．tan A tan B＝解析：选BCD．因为∠C＝120°，所以A＋B＝60°.所以tan (A＋B)＝＝.故A错误．因为tan A＋tan B＝(1－tan A tan B)＝，所以tan A tan B＝①，所以D正确．又因为tan A＋tan B＝②，由①②联立解得tan A＝tan B＝，所以cos B＝sin A．故B，C正确．综上，B，C，D正确．故选BCD．12．若α，β均为锐角，sin α＝，sin (α＋β)＝，则cos β＝(　　)A．  B．C．或  D．－解析：选B．因为α与β均为锐角，且sin α＝>sin (α＋β)＝，所以α＋β为钝角．又由sin (α＋β)＝，得cos (α＋β)＝－.由sin α＝，得cos α＝.所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－×＋×＝.故选B．13．已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，则α＋β＋γ＝________．解析：因为tan (α＋β)＝＝＝，tan (α＋β＋γ)＝＝＝1.因为α，β，γ∈，所以α＋β∈(0，π).又tan (α＋β)＝>0，所以α＋β∈，所以α＋β＋γ∈(0，π)，所以α＋β＋γ＝.答案：14．已知tan α，tan β是方程x2＋p(x＋1)＋1＝0的两个根，α＋β∈(0，π).(1)求α＋β；(2)若cos (θ－α－β)＝，θ∈，求sin θ.解：(1)由根与系数的关系得tan α＋tan β＝－p，tan α·tan β＝p＋1，所以tan (α＋β)＝＝＝1.因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.(2)cos (θ－α－β)＝cos ＝，由θ∈，得θ－∈，所以sin ＝.sin θ＝sin ＝sin cos ＋cos sin ＝×＝.[C　拓展探究]15．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝，(2)tan tan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．解：假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝，(2)tan tan β＝2－同时成立．由(1)得＋β＝，所以tan ＝＝.又tan tan β＝2－，所以tan ＋tan β＝3－，因此tan ，tan β可以看成方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，设方程的两根分别为x1，x2，解得x1＝1，x2＝2－.若tan ＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾，所以tan ＝2－，tan β＝1，所以α＝，β＝，所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.