人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制一课一练

[A　基础达标]

1．下列角的终边位于第二象限的是(　　)

A．420°　 B．860°

C．1 060°  D．1 260°

解析：选B．420°＝360°＋60°，终边位于第一象限；

860°＝2×360°＋140°，终边位于第二象限；

1 060°＝2×360°＋340°，终边位于第四象限；

1 260°＝3×360°＋180°，终边位于x轴非正半轴．故选B．

2．与1 303°终边相同的角是(　　)

A．763°  B．493°

C．－137°  D．－47°

解析：选C．因为1 303°＝4×360°－137°，

所以与1 303°终边相同的角是－137°.

3．已知集合A＝{α|α＝－36°＋k·90°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B＝(　　)

A．{－36°，54°}  B．{－126°，144°}

C．{－126°，－36°，54°，144°}  D．{－126°，54°}

解析：选C．令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.

4．集合{α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}中角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是(　　)

解析：选C．当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°，n∈Z；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°，n∈Z.故选C．

5．若角α，β的终边相同，则α－β的终边落在(　　)

A．x轴的非负半轴上  B．x轴的非正半轴上

C．x轴上  D．y轴的非负半轴上

解析：选A．因为角α，β的终边相同，故α－β＝k·360°，k∈Z.所以α－β的终边落在x轴的非负半轴上．

6．在0°～360°范围内，与－120°终边相同的角是________．

解析：与－120°终边相同的角为α＝－120°＋k·360°(k∈Z).由0°≤－120°＋k·360°＜360°，k∈Z，得≤k＜.

又因为k∈Z，所以k＝1.

此时α＝－120°＋360°＝240°.

答案：240°

7．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．

解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°，又因为50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.

答案：－1 030°

8．终边在第一或第三象限的角的集合是________．

解析：因为终边在第一象限的角的集合为{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}，终边在第三象限的角的集合为{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}，故终边在第一或第三象限的角的集合为{α|k·180°<α<90°＋k·180°，k∈Z}．

答案：{α|k·180°<α<90°＋k·180°，k∈Z}

9．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：

(1)集合M有几类终边不相同的角？

(2)集合M中大于－360°且小于360°的角有哪几个？

(3)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．

解：(1)集合M的角可以分成四类，即终边分别与－150°角，－60°角，30°角，120°角的终边相同的角．

(2)令－360°<30°＋k·90°<360°，k∈Z，

则－<k<，k∈Z，

所以k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3.

所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个．

分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.

(3)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，

所以β＝120°＋k·360°，k∈Z.

10．已知角β为以O为顶点，x轴为始边，逆时针旋转60°所成的角．

(1)写出角β的集合S；

(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．

解：(1)由题可知，角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．　

(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，

取k＝－2，得β＝－300°，取k＝－1，得β＝－120°，

取k＝0，得β＝60°，取k＝1，得β＝240°，

取k＝2，得β＝420°，取k＝3，得β＝600°.

所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.

[B　能力提升]

11．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　)

A．第一象限角  B．第二象限角

C．第三象限角  D．第四象限角

解析：选AC．因为角2α的终边在x轴的上方，

所以k·360°<2α<180°＋k·360°，k∈Z.则有k·180°<α<k·180°＋90°，k∈Z.

故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α<n·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角；

当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α<n·360°＋270°，n∈Z，α为第三象限角．故选AC．

12．下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是(　　)

A．－37°　 B．143°

C．379°  D．－143°

解析：选D．与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z.当k＝－1时，37°－180°＝－143°，故选D．

13．已知角α满足180°<α<360°，若角5α与α既有相同的始边，又有相同的终边，则角α＝________．

解析：因为5α与α的始边和终边相同，所以这两个角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝k·360°，α＝k·90°.

又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.

答案：270°

14．已知α，β都是锐角且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．

解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，　

因为α，β都是锐角，所以0°＜α＋β＜180°.

取k＝1，得α＋β＝80°.①

因为α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.因为α，β都是锐角，

所以－90°＜α－β＜90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②

由①②，得α＝15°，β＝65°.

[C　拓展探究]

15．如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A(1，0)按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14 s回到A点，并且在第2 s时均位于第二象限，求α，β的值．

解：根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m·360°，m∈Z，14β＝n·360°，n∈Z.

由于两只蚂蚁在第2 s时均位于第二象限，

又由0°<α<β<180°，知0°<2α<2β<360°，

进而知2α，2β都是钝角，即90°<2α<2β<180°，

即45°<α<β<90°，

所以45°<α＝·180°<90°，45°<β＝·180°<90°.

所以<m<，<n<.

因为α<β，所以m<n.又m，n∈Z，

所以m＝2，n＝3，

所以α＝°，β＝°.