必修 第一册5.5 三角恒等变换第1课时当堂检测题

这是一份必修 第一册5.5 三角恒等变换第1课时当堂检测题，共6页。
[A　基础达标]1．满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是(　　)A．α＝，β＝  B．α＝，β＝C．α＝，β＝  D．α＝，β＝解析：选B．由已知得cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，检验知选B．2．若cos (α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝(　　)A．  B．－C．  D．－解析：选A．原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos (α－β)＝2＋2×＝.3．设α∈，若sin α＝，则cos ＝(　　)A．  B．C．－  D．－解析：选B．因为α∈，sin α＝，所以cos α＝.所以原式＝＝cos α＋sin α＝＋＝.4．若sin αsin β＝1，则cos (α－β)＝(　　)A．0  B．1C．±1  D．－1解析：选B．由sin αsin β＝1可知，sin α＝1，sin β＝1或sin α＝－1，sin β＝－1，此时均有cos α＝cos β＝0，从而cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝0＋1＝1.5．已知锐角α，β满足cos α＝，cos (α＋β)＝－，则cos (2π－β)的值为(　　)A．  B．－C．  D．－解析：选A．因为α，β为锐角，cos α＝，cos (α＋β)＝－.所以sin α＝，sin (α＋β)＝.所以cos (2π－β)＝cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝×＋×＝.6．已知cos ＝，则cos α＋sin α的值为________．解析：因为cos ＝cos cos α＋sin sin α＝cos α＋sin α＝，所以cos α＋sin α＝.答案：7．满足sin x＋cos x＝的角x等于________．解析：sin x＋cos x＝cos x cos ＋sin x sin ＝cos ＝，因为－<x<0，所以x－＝－，即x＝－.答案：－8．在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos (A－B)＝________．解析：因为cos B＝－，且0<B<π，所以<B<π.所以sin B＝＝＝.因为0<A<.所以cos A＝＝＝.所以cos(A－B)＝cos A cos B＋sin A sin B＝×＋×＝－.答案：－9．求下列各式的值．(1)cos 105°；(2)cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°.解：(1)原式＝cos (150°－45°)＝cos 150°cos 45°＋sin 150°sin 45°＝－×＋×＝.(2)原式＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos (75°－15°)＝cos 60°＝.10．若x∈且sin x＝，求2cos ＋2cos x的值．解：因为x∈，sin x＝，所以cos x＝－.所以2cos ＋2cos x＝2＋2cos x＝2＋2cos x＝sin x＋cos x＝－＝.[B　能力提升]11．(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列正确的是(　　)A．cos (β－α)＝  B．cos (β－α)＝－C．β－α＝  D．β－α＝－解析：选AC．由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1.所以－2cos (β－α)＝－1.所以cos (β－α)＝.所以A正确，B错误．因为sin γ＝sin β－sin α>0，所以β>α，所以β－α＝，所以C正确，D错误，故选AC．12．若α∈，β∈，cos ＝，cos ＝，则cos ＝(　　)A．  B．－C．－  D．解析：选D．因为0<α<，cos ＝>0，所以<α＋<，所以sin ＝＝.因为－<β<0，所以0<＋<，因为cos＝，所以sin ＝＝.所以cos＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝×＋×＝.故选D．13．化简：＝________．解析：原式＝＝＝＝＝.答案：14．已知A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，其中α，β为锐角，且|AB|＝.(1)求cos (α－β)的值；(2)若cos α＝，求cos β的值．解：(1)由|AB|＝，得＝，所以2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝.所以cos (α－β)＝.(2)因为cos α＝，cos (α－β)＝，α，β为锐角，所以sin α＝，sin (α－β)＝±.当sin (α－β)＝时，cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝.当sin (α－β)＝－时，cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝0.因为β为锐角，所以cos β＝.[C　拓展探究]15．已知cos (α－β)＝－，cos (α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．解：由α－β∈，cos (α－β)＝－，可知sin (α－β)＝，又因为α＋β∈，cos (α＋β)＝，所以sin (α＋β)＝－.cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)＝×＋×＝－1.因为α－β∈，α＋β∈，所以2β∈.所以2β＝π，故β＝.