新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：4.3　三角函数的图象与性质

这是一份新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：4.3　三角函数的图象与性质，共12页。
4.3　三角函数的图象与性质
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点:(0,0),π2,1,(π,0),3π2,-1,(2π,0).
(2)余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点:(0,1),π2,0,(π,-1),3π2,0,(2π,1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图象





续　表
函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
定义域
R
R
　　　　 
值域
　　　 
　　　 
R
周期性
2π
　　　 
　　　 
奇偶性
　　　 
　　　 
奇函数
单调递
增区间
2kπ-π2,
2kπ+π2(k∈Z)
　　　 
kπ-π2,
kπ+π2(k∈Z)


续　表
函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
单调递
减区间
2kπ+π2,
2kπ+3π2(k∈Z)
　　　 

对称
中心
(kπ,0)(k∈Z)
kπ+π2,0
(k∈Z)
kπ2,0(k∈Z)
对称轴
x=kπ
(k∈Z)
(x=kπ)


3.三角函数的周期
函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(x∈R,其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期均为T=2πω;函数y=Atan(ωx+φ)x∈R,且ωx+φ≠π2+kπ,k∈Z,其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0的周期为T=πω.

1.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期;正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.
2.辅助角公式:asin x+bcos x=a2+b2sin(x+φ),其中tan φ=ba.


考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)y=cos x在第一、第二象限内是单调递减的.(　　)
(2)若y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值是k+1.(　　)
(3)若非零实数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.(　　)
(4)函数y=sin x图象的对称轴方程为x=2kπ+π2(k∈Z).(　　)
(5)函数y=tan x在整个定义域上是增函数.(　　)
2.(2020北京房山二模,3)函数f(x)=sin πxcos πx的最小正周期为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.π D.2π
3.(2020山东淄博一模,5)函数f(x)=sin(x+θ)在[0,π]上单调递增,则θ的值可以是(　　)
A.0 B.π2 C.π D.3π2
4.函数f(x)=sin2x-π4在区间0,π2上的最小值为(　　)
A.-1 B.-22 C.22 D.0
5.函数y=tanx2+π3的单调递增区间是　　　　,最小正周期是　　　　. 
关键能力学案突破　

考点
三角函数的定义域

【例1】(1)函数y=1tanx-1的定义域为　　　　. 
(2)函数y=lg(sin x)+cosx-12的定义域为　　　. 
解题心得三角函数与基本初等函数的组合或复合,其定义域是使各部分式子有意义的实数的集合的交集.
对点训练1函数y=lg(sin 2x)+9-x2的定义域为　　　　　　　　　　　　　. 

考点
三角函数的值域、最大(小)值

【例2】(1)函数f(x)=3sin2x-π6在区间0,π2上的值域为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-32,32 B.-32,3
C.-332,332 D.-332,3
(2)函数f(x)=sin2x+3cos x-34x∈0,π2的最大值是　　　　. 
解题心得求三角函数值域、最大(小)值的方法:
(1)利用sinx和cosx的值域直接求.
(2)形如y=asinx+bcosx的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式求值域;形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最大(小)值).
(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.
对点训练2(1)(2020河北衡水调研)已知函数f(x)=sinx+π6,其中x∈-π3,a,若f(x)的值域是-12,1,则实数a的取值范围是　　　　　　. 
(2)函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为　　　　　　　　. 

考点
三角函数的性质(多考向探究)

考向1　三角函数的单调性及其应用
【例3】(1)已知函数f(x)=3sin ωx+cos ωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)的单调递增区间是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.kπ-π12,kπ+5π12,k∈Z
B.kπ+5π12,kπ+11π12,k∈Z
C.kπ-π3,kπ+π6,k∈Z
D.kπ+π6,kπ+2π3,k∈Z
(2)(2020湖南湘潭三模,文10)已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在x∈[a,2](a0)的形式,然后求y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把(ωx+φ)看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可,注意要把ω化为正数.
2.已知函数在某区间上单调求参数ω的范围的解法:先确定出已知函数的单调区间,再利用已知的单调区间为函数的单调区间的子集的关系求解.
对点训练3(1)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间0,π3上单调递增,在区间π3,π2上单调递减,则ω等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.23 B.32 C.2 D.3
(2)函数f(x)=sin-2x+π3的单调递减区间为　　　　　　. 
考向2　三角函数的周期及其应用
【例4】(1)

(2020全国1,理7,文7)设函数f(x)=cosωx+π6在[-π,π]的图象大致如右图,则f(x)的最小正周期为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.10π9 B.7π6 C.4π3 D.3π2
(2)若函数f(x)=2tankx+π3的最小正周期T满足10)图象的对称轴及对称中心,要把(ωx+φ)看作一个整体,若求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=π2+kπ(k∈Z),求x;若求f(x)的对称中心,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x;对于f(x)=Acos(ωx+φ),若求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x;若求f(x)的对称中心,只需令ωx+φ=π2+kπ(k∈Z),求x.
对点训练5(1)(2020湖北武汉调研)设函数f(x)=sin12x+θ-3cos12x+θ|θ|0,|φ|