新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：1.3　等式、不等式的性质与基本不等式

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1.3　等式、不等式的性质与基本不等式
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法a-b>0⇔a　　　　　b,a-b=0⇔a　　　　　b,a-b1⇔a　　　　　b(a∈R,b>0),ab=1⇔a　　　　　b(a∈R,b≠0),ab0).
2.不等式的性质
(1)对称性:a>b⇔bb,b>c⇒a>c.
(3)可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d.
(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c0,c>d>0⇒ac>bd.
(5)可乘方:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2).
(6)可开方:a>b>0⇒na>nb(n∈N,n≥2).
3.基本不等式:ab≤a+b2
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当　　　　时,等号成立. 
(3)其中a+b2叫做正数a,b的算术平均数,ab叫做正数a,b的几何平均数.
4.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0,则
(1)当积xy等于定值p时,那么当且仅当　　　　时,x+y有最　　　　值2p(简记:积定和最小). 
(2)当和x+y等于定值s时,那么当且仅当　　　　时,xy有最　　　　值s24(简记:和定积最大). 

1.若a>b>0,m>0,则bab-ma-m(b-m>0);ab>a+mb+m;ab0).
2.a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.
3.ab≤a+b22(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.
4.a2+b22≥a+b22(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.
5.ba+ab≥2(a,b同号),当且仅当a=b时,等号成立.

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)a>b⇔ac2>bc2.(　　)
(2)a>b>0,c>d>0⇒ad>bc.(　　)
(3)若ab2.(　　)
(4)两个不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的.(　　)
(5)y=sin x+4sinx(0d,则下列结论中正确的是(　　)
A.ad>bc B.a-c>b-d
C.ac>bd D.a+c>b+d
4.(2020山东潍坊临朐模拟一,3)设p:a,b是正实数,q:a+b>2ab,则(　　)
A.p是q的充分条件但不是必要条件
B.p是q的必要条件但不是充分条件
C.p是q的充要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
5.(2020山东淄博4月模拟,14)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为　　　　. 
关键能力学案突破　

考点
比较两个数(式)的大小

【例1】(1)已知a,b∈(0,1),且a≠b,下列各式中最大的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a2+b2 B.2ab
C.2ab D.a+b
(2)若a=ln33,b=ln44,c=ln55,则(　　)
A.a0,则a4+4b4+1ab的最小值为　　　. 
考向3　求含有等式条件的最值问题
【例5】(1)若x>0,y>0,x+2y=1,则xy2x+y的最大值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.14 B.15 C.19 D.112
(2)(2020天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为　　　　　. 
解题心得1.条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造积或和为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值.求最值时要注意其中变量的条件,有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.
2.多次使用基本不等式求最值时,要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号.
对点训练5(1)(2020江西名校大联考,理11)若x>0,y>-1且满足2x+y=1,则2x2+1x+y2y+1的最小值是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.32+2 C.22 D.12+2
(2)(2020辽宁实验中学五模,文9)已知实数x,y满足x2-xy+y2=1,则x+y的最大值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
考向4　基本不等式的实际应用
【例6】某厂家拟定在2021年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-km+1(k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销量是1万件.已知2021年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;
(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?









解题心得1.利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解.
2.在求所列函数的最值时,当用基本不等式时,若等号取不到,则可利用函数单调性求解.
3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
对点训练6为改善实体店经营状况,某童装专卖店拟举行促销活动,经调查,该品牌童装的年销量x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x=4-32t+1,已知每年该专卖店的固定投入为7万元,每件童装进价为12元,销售价格定为212x+18元.
(1)将该专卖店2020年的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数;
(2)该专卖店2020年的年促销费用投入多少万元时,利润最大?














1.3　等式、不等式的性质
与基本不等式
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)>　=　　=　
0,所以M>N.故选A.
3.D　因为a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,根据不等式的同向可加性,得a+c>b+d,故选D.
4.D　由a,b是正实数,不一定得到a+b>2ab,如a=b=1;反之,由a+b>2ab,不一定得到a,b是正实数,如a=1,b=0.所以p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.故选D.
5.14　2a+18b=2a+2-3b≥22a-3b=22-6=2×2-3=2-2=14.当且仅当2a=2-3b,即a=-3,b=1时,等号成立.
关键能力·学案突破
例1(1)D　(2)B　(1)∵a,b∈(0,1),且a≠b,则显然有a+b>2ab,a2+b2>2ab.下面比较a2+b2与a+b的大小.由于a,b∈(0,1),∴a2e时,f'(x)alnb⇒ab>ba.
例2(1)D　(2)C　(1)(方法1)根据数轴可得c0,所以函数y=4x2-x+1x=4x+1x-1≥24x·1x-1=3.
当且仅当4x=1x,即x=12时,等号成立,即函数y取得最小值3.故选B.
(2)不等式1sin2θ+4cos2θ≥2x-1恒成立,即2x-1≤1sin2θ+4cos2θmin,
因为1sin2θ+4cos2θ=1sin2θ+4cos2θ·(sin2θ+cos2θ)=1+4+cos2θsin2θ+4sin2θcos2θ≥5+2cos2θsin2θ×4sin2θcos2θ=9,
当且仅当cos2θ=2sin2θ=23时取得等号.则2x-1≤9,解得x≤5,故x的取值范围为(-∞,5].
对点训练4(1)9　(2)4　(1)令x+1=t,则t≥1,y=(x+5)(x+2)x+1=(t+4)(t+1)t=t2+5t+4t=t+4t+5≥4+5=9,当且仅当t=4t,即t=2,x=1时,等号成立,故最小值为9.
(2)∵a,b∈R,且ab>0,
∴a4+4b4+1ab≥4a2b2+1ab=4ab+1ab≥4,
当且仅当a2=2b2,4ab=1ab,即a2=22,b2=24,ab=12时,等号成立,故最小值为4.
例5(1)C　(2)4　(1)由题意知xy2x+y=12y+1x,又x>0,y>0,x+2y=1,
∴2y+1x=2y+1x(x+2y)=2xy+2yx+5≥22xy·2yx+5=4+5=9.
当且仅当2xy=2yx,即x=y=13时,等号成立,所以xy2x+y的最大值为19.故选C.
(2)∵ab=1,∴b=1a.
∴12a+12b+8a+b=12a+a2+8a+1a=121a+a+8a+1a.
令1a+a=t>0,则原式=t2+8t≥2t2·8t=4.
当且仅当t2=16,即t=4时,等号成立,此时1a+a=4.故原式=12×4+84=4.
对点训练5(1)B　(2)B　(1)2x2+1x+y2y+1=2x+1x+y+1y+1-1=1x+1y+1,
因为2x+y+1=2,
所以12(2x+y+1)1x+1y+1=123+y+1x+2xy+1≥12(3+22),
当且仅当y+1x=2xy+1,2x+y=1时取等号,即x=2-2,y=22-3时取得最小值32+2.故选B.
(2)∵实数x,y满足x2-xy+y2=1,
∴(x+y)2=3xy+1≤3x+y22+1,
化为(x+y)2≤4,可得x+y≤2,
当且仅当x=y=1时取等号.
则x+y的最大值为2.
例6解(1)由题意知,当m=0时,x=1(万件),所以1=3-k,解得k=2,所以x=3-2m+1,每件产品的销售价格为1.58+16xx元,
所以2021年的利润y=1.5×8+16xx×x-8-16x-m=-16m+1+(m+1)+29(m≥0).
(2)因为m≥0时,16m+1+(m+1)≥216=8,所以y≤-8+29=21,
当且仅当16m+1=m+1,即m=3时,ymax=21(万元).
故该厂家2021年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为21万元.
对点训练6解(1)由题意可得:x=4-32t+1,所以y=212x+18x-(7+12x)-t=72+6x-t=72+64-32t+1-t=552-182t+1-t(t≥0).
(2)由(1)可知:y=552-182t+1-t=28-9t+12+t+12,因为9t+12+t+12≥29t+12×(t+12)=6,
当且仅当t=2.5时等号成立.则y=28-9t+12+t+12≤28-6=22,
即t=2.5时,y取最大值22.
即该专卖店2020年的年促销费用投入2.5万元时,利润最大,为22万元.