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    人教A版 (2019)4.2 等差数列学案设计

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    这是一份人教A版 (2019)4.2 等差数列学案设计,共21页。学案主要包含了等差数列的基本公式,等差数列的性质等内容,欢迎下载使用。

    4.2 等差数列

                              

    1、等差数列的概念

    (1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.

    数学语言表达式:an+1and(nN*d为常数).

    (2)若aAb成等差数列,则A叫做ab的等差中项,且A.

    2等差数列的通项公式与前n项和公式

    (1)若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为ana1+(n-1)d.

    (2)前n项和公式:Snna1.

    3等差数列的性质

    (1)通项公式的推广:anam(nm)d(nmN*).

    (2)若{an}为等差数列,且klmn(klmnN*),则akalaman.

    (3)若{an}是等差数列,公差为d,则akakmak+2m,…(kmN*)是公差为md的等差数列.

    (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列SmS2mSmS3mS2m,…也是等差数列.

    (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列也为等差数列.

    4、注意:

    (1)已知数列{an}的通项公式是anpnq(其中pq为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.

    (2)在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.

    (3)等差数列{an}的单调性:当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列.

    (4)数列{an}是等差数列SnAn2Bn(AB为常数).

    5、判断等差数列的方法:

    1)定义法:证明为常数;

    2)等差中项法:

    3)通项公式法:

    4)前项和法:

     

     

     

    题型一 等差数列的基本公式

    1 等差数列中,.

    1)求的通项公式;

    2)求.

    【答案】1;(2.

    【分析】

    1)设的公差为,列出关于方程组,解出后可得通项公式;

    (2)仍然成等差数列,由等差数列的前项和公式计算.

    【详解】

    1)设的公差为,则,解得,所以

    (2)由(1)知

     

     

    已知等差数列的前n项和为,且

    1)求数列的通项公式;

    2)求数列的前20项和.

    【答案】1;(2250

    【分析】

    1)由已知利用基本量求数列的通项;

    2)需判断哪些项为非负,哪些为负,然后去绝对值转化为等差数列的和.

    【详解】

    1)设等差数列的公差为d

    则由条件得

    解得

    通项公式,即

    2)令,解

    时,;当时,

     

     

    题型二 等差数列的性质

    2 等差数列中,已知,求   

    A11 B22 C33 D44

    【答案】B

    【分析】

    根据,利用等差数列的性质求得的值,然后由求解.

    【详解】

    等差数列

    故选:B.

     

    已知两个等差数列的前n项和分别是,且,则等于(   

    A2 B C D

    【答案】B

    【分析】

    由题意和等差数列的性质可得:,化简可得.

    【详解】

    由等差数列的性质可知,

    故选:B

     

     

     

    题型 等差数列的前n项和及其判定

    3 已知数列的前n项和为

    (Ⅰ)若为等差数列,求证:

    (Ⅱ)若,求证:为等差数列.

    【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析.

    【分析】

    1)根据为等差数列,利用倒序相加法证明即可;

    2)由前n项和公式有,相加后整理可得为等差数列得证.

    【详解】

    (Ⅰ)证明:已知数列为等差数列,设其公差为d

    则有

    于是,①

    ,②

    +②得:,即

    (Ⅱ)证明:∵,当时,

    ,③

    ,④

    ④-③并整理,得,即

    ∴数列是等差数列.

     

     

    (多选)已知数列为等差数列,则下列说法正确的是(   

    Ad为常数) B数列是等差数列

    C数列是等差数列 D的等差中项

    【答案】ABD

    【分析】

    由等差数列的性质直接判断AD选项,根据等差数列的定义的判断方法判断BC选项.

    【详解】

    A.因为数列是等差数列,所以,即,所以A正确;

    B. 因为数列是等差数列,所以,那么,所以数列是等差数列,故B正确;

    C.,不是常数,所以数列不是等差数列,故C不正确;

    D.根据等差数列的性质可知,所以的等差中项,故D正确.

    故选:ABD

     

     

    题型 n项和的性质

    4 一个等差数列的前项和为,前项和为24,则前项和为(   

    A40 B48 C56 D72

    【答案】B

    【分析】

    记等差数列的前项和为,根据等差数列前项和的性质,得到也成等差数列,由此列出方程,即可得出结果.

    【详解】

    记等差数列的前项和为

    根据题中条件,得到

    由等差数列前项和的性质,得到也成等差数列,

    所以

    ,解得.

    故选:B.

     

     

    设等差数列数列的前项和为,若,则   

    A32 B47 C54 D86

    【答案】D

    【分析】

    由等差数列的性质可得:成等差数列.即可得出结果.

    【详解】

    解:由等差数列的性质可得:成等差数列,

    其首项为2,公差为13,

    故选:D

     

    题型 性质应用

    5 (多选)已知无穷等差数列的前n项和为,且,则(   

    A在数列中,最大

    B在数列中,最大

    C

    D时,

    【答案】AD

    【分析】

    利用等差数列的通项公式可以求,即可求公差,然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.

    【详解】

    因为,所以

    因为,所以

    所以等差数列公差

    所以是递减数列,

    最大,选项A正确;选项不正确;

    所以,故选项C不正确;

    时,,即,故选项D正确;

    故选:AD

     

     

    (多选)是等差数列,是其前项和,且,则下列结论正确的是(  

    A B

    C D的最大值

    【答案】ABD

    【分析】

    ,判断,再依次判断选项.

    【详解】

    因为

    ,所以数列是递减数列,故AB正确;

    ,所以,故C不正确;

    由以上可知数列是单调递减数列,因为可知,的最大值,故D正确.

    故选:ABD

     

     

     

     

    题型 裂项相消法

    6 是数列的前n项和,,且.

    1)求数列的通项公式;

    2)设,求.

    【答案】1;(2.

    【分析】

    1)运用数列的递推式:时,时,,化简整理,结合等差数列的定义和通项公式,可得所求;

    2,然后利用分组求和法可求出答案.

    【详解】

    1)由,且

    可得时,,可得

    时,,又

    相减可得

    即为

    可得,则数列为首项和公差均为2的等差数列,

    2

    所以

     

     

     

     

    设数列满足.

    1)求证:数列是等差数列;

    2)设,求数列的前n项和.

    【答案】1)证明见解析;(2.

    【分析】

    1)根据递推公式,得到,即可证明数列是等差数列;

    2)先由(1)求出,即,运用裂项求和法可求出数列的和.

    【详解】

    1)证明:因为

    所以,为常数.

    因为,所以,所以数列是以-1为首项,为公差的等差数列.

    2)由(1)知,所以

    所以

    所以

    所以数列的前n项和.

     

    1、是等差数列的前n项和,若,则   

    A22 B26 C30 D34

    【答案】C

    【分析】

    由等差数列中,连续下标等间距的前n项和之差成等差数列知成等差数列,结合等差中项性质即可求.

    【详解】

    由等差数列的前n项和性质知:成等差数列,

    ∴由等差中项的性质:,又

    故选:C

    2、(多选)是等差数列,是其前项的和,且,则下列结论正确的是(   

    A B

    C D均为的最大值

    【答案】BD

    【分析】

    设等差数列的公差为,依次分析选项即可求解.

    【详解】

    根据题意,设等差数列的公差为,依次分析选项:

    是等差数列,若,则,故B正确;

    又由,则有,故A错误;

    C选项,,即,可得

    又由,则,必有,显然C选项是错误的.

    ,∴均为的最大值,故D正确;

    故选:BD.

     

    3、(多选)设是等差数列,公差为d,前项和为,若,则下列结论正确的是(   

    A B C D

    【答案】ABD

    【分析】

    结合等差数列的性质、前项和公式,及题中的条件,可选出答案.

    【详解】

    ,可得,故B正确;

    ,可得

    ,可得

    所以,故等差数列是递减数列,即,故A正确;

    ,所以,故C不正确;

    又因为等差数列是单调递减数列,且,所以

    所以,故D正确.

    故选:ABD.

     

    4、已知等差数列{an}满足a1=1a2=2,则{ an }的前5项和S5= __________.

    【答案】15

    【分析】

    由题意可得等差数列通项公式,结合可得前n项和公式,进而求即可.

    【详解】

    由等差数列{an}满足a1=1a2=2,知:公差

    {an}是首项为1,公差为1的等差数列,故通项公式为

    ∴由等差数列前n项和公式

    即可得

    故答案为:15.

    5、等差数列的前项和为,已知,则__.

    【答案】33.

    【分析】

    根据等差数列的求和公式和等差数列的性质即可求出.

    【详解】

    因为等差数列的前项和为

    故答案为:33.

    6、在等差数列中,是数列项的和,若取得最大值,则________

    【答案】

    【分析】

    求出公差,与通项公式,由可得使取得最大值时的值.

    【详解】

    设公差为,则,解得

    ,即

    取得最大值时,

    故答案为:9.

    7、等差数列中,,则________

    【答案】38

    【分析】

    直接根据等差数列的性质求解即可.

    【详解】

    因为等差数列中,,所以

    故答案为:38.

    8、设等差数列的前项和为,则_______

    【答案】

    【分析】

    可得然后再根据等差数列的前n项和公式求解可得答案.

    【详解】

    因为

    所以

    所以

    故答案为:15.

    9、等差数列的公差不为零,其前项和为,若,则的值_____________.

    【答案】20

    【分析】

    ,可得,化为:.再利用通项公式求和公式代入化简即可得出

    【详解】

    解:,化为:

    故答案为:

    10、已知数列的前项和为,若,则________

    【答案】

    【分析】

    已知的关系式,利用即可求的通项公式.

    【详解】

    由已知条件,知:
     

    时,

    时,

    当n=1时不满足上式,

    故答案为:.

    11、已知等差数列的前项和为,且,则取得最大值时_______.

    【答案】14

    【分析】

    设等差数列的公差为,由已知条件可求得数列的首项和公差,得到数列的通项公式,然后由等差数列的性质可得.

    【详解】

    设等差数列的公差为,由已知条件可得

    解得,故,故当时,;当时,

    所以当时,取最大值.

    故答案为:14

    12、已知等差数列中,是方程的两根,则_______.

    【答案】

    【分析】

    由韦达定理得,再根据等差数列的性质得.

    【详解】

    解:根据题意,由韦达定理得:

    根据等差数列角标和的性质得:

    所以.

    故答案为:.

    13、已知等差数列中,的前n项和,若,则的值是___________.

    【答案】2

    【分析】

    直接利用等差数列求和公式化简得到,代入数据计算得到答案.

    【详解】

    .

    故答案为:2.

     

    15、设等差数列的前n项的和为,且,求:

    1)求的通项公式

    2)求数列的前n项和.

    【答案】1;(2.

    【分析】

    1)根据条件列式方程组求首项和公差,再求通项公式;(2)由通项公式得到数列的正负项的分界,再分情况讨论数列的前项和.

    【详解】

    设等差数列的首项和公差分别为

    ,解得:

    所以数列的通项公式

    2,所以

    时,

    此时,

    时,

    此时

    综上可知数列的前项和为

     

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