新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：3.1　导数的概念、意义及运算

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第三章　一元函数的导数及其应用3.1　导数的概念、意义及运算必备知识预案自诊　知识梳理1.函数的平均变化率对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到　　　　.这时,x的变化量为　　　　,y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0).我们把比值,即叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率. 2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义:如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称y=f(x)在x=x0处　　　　,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作f'(x0)或y',即f'(x0)=. (2)几何意义:f'(x0)是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率.3.函数f(x)的导函数从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=.4.基本初等函数的导数公式(1)若f(x)=c(c为常数),则f'(x)=0;(2)若f(x)=xa(a∈Q,且a≠0),则f'(x)=axa-1;(3)若f(x)=sin x,则f'(x)=cos x;(4)若f(x)=cos x,则f'(x)=-sin x;(5)若f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f'(x)=axln a;特别地,若f(x)=ex,则f'(x)=ex;(6)若f(x)=logax(a>0,且a≠1),则f'(x)=;特别地,若f(x)=ln x,则f'(x)=.5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'=　　　　　　　　　; (2)[f(x)·g(x)]'=　; (3)'=(g(x)≠0).6.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=　　　　　　　,即y对x的导数等于　　　　　的导数与　　　　　的导数的乘积. 1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率. (　　)(2)求f'(x0)时,可先求f(x0)再求f'(x0). (　　)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. (　　)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. (　　)(5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同. (　　)2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t s后的位移为s=t3-t2+2t,那么速度为零的时刻是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.0 s B.1 s末C.2 s末 D.1 s末和2 s末3.(2020全国1,理6)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为(　　)A.y=-2x-1 B.y=-2x+1C.y=2x-3 D.y=2x+14.(2020山东淄博一模,13)曲线f(x)=+ln在点(1,f(1))处的切线方程是　　　　　　　　　. 5.(2020全国3,文15)设函数f(x)=.若f'(1)=,则a=　　　　　.  关键能力学案突破　考点导数的运算 【例1】分别求下列函数的导数.(1)y=ex·cos x;(2)y=x;(3)y=x-sin cos ;(4)y=ln.        解题心得函数求导应遵循的原则(1)求导之前,应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记混.(3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导.对点训练1求下列函数的导数.(1)y=x2sin x;(2)y=ln x+;(3)y=;(4)y=ln(2x-5).     考点导数几何意义的应用 (多考向探究) 考向1　过函数图象上一点求切线方程【例2】已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.       解题心得求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.对点训练2已知函数f(x)=xln x(x>0),若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为              (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.x+y-1=0 B.x-y-1=0C.x+y+1=0 D.x-y+1=0考向2　已知曲线切线方程(或斜率)求切点【例3】(1)(2020湖北高考模拟,理13)设曲线y=ex+1上点P处的切线平行于直线x-y-1=0,则点P的坐标是　　　　. (2)设a∈R,函数f(x)=ex+的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为　　　　. 解题心得已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.对点训练3设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为　　　　　. 考向3　已知切线方程(或斜率)求参数的值【例4】若曲线f(x)=xln x+2m上点P处的切线方程为x-y=0.(1)求实数m的值;(2)若过点Q(1,t)存在两条直线与曲线y=f(x)相切,求实数t的取值范围.             解题心得已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程.对点训练4(2020天津河北区线上测试,17)已知曲线f(x)=axln x-bx(a,b∈R)在点(e,f(e))处的切线方程为y=3x-e,则a,b的值分别为　　　,　　　.          第三章　一元函数的导数及其应用3.1　导数的概念、意义及运算必备知识·预案自诊知识梳理1.f(x0+Δx)　Δx2.(1)可导5.(1)f'(x)±g'(x)　(2)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)6.y'u·u'x　y对u　u对x考点自诊1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×2.D　∵s=t3-t2+2t,∴v=s'=t2-3t+2.令v=0,则t2-3t+2=0,解得t1=1,t2=2.故选D.3.B　对函数f(x)求导可得f'(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f'(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.4.2x+y-3=0　由已知,f'(x)=-,所以f'(1)=-2.又因为f(1)=1,所以切线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.5.1　对函数f(x)=求导得f'(x)=,由题意得f'(1)=,解得a=1.关键能力·学案突破例1解(1)y'=(ex)'cosx+ex(cosx)'=excosx-exsinx.(2)∵y=x3+1+,∴y'=3x2-.(3)∵y=x-sincos=x-sinx,∴y'='=1-cosx.(4)y=lnln(1+x2),∴y'=(1+x2)'=·2x=. 对点训练1解(1)y'=(x2)'sinx+x2(sinx)'=2xsinx+x2cosx.(2)y'=lnx+'=(lnx)'+'=.(3)y'='==-.(4)令u=2x-5,y=lnu,则y'=(lnu)'u'=·2=,即y'=.例2解(1)∵f'(x)=3x2-8x+5,∴f'(2)=1,又f(2)=-2,∴曲线在点(2,f(2))处的切线方程为y+2=x-2,即x-y-4=0.(2)设曲线与经过点A(2,-2)的切线相切于点P(x0,-4+5x0-4).∵f'(x0)=3-8x0+5,∴切线方程为y-(-2)=(3-8x0+5)(x-2).又切线过点P(x0,-4+5x0-4),∴-4+5x0-2=(3-8x0+5)(x0-2),整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或1,∴经过A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.对点训练2B　f'(x)=lnx+1,x>0,设直线l的方程为y=kx-1,直线l与f(x)的图象的切点为(x0,y0),则解得所以直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.例3(1)(0,2)　(2)ln 2　(1)由题意,得y'=ex,且切线斜率为1,设切点为P(x,y),则ex=1,所以x=0,y=e0+1=2,故切点P的坐标为(0,2).(2)函数f(x)=ex+的导函数是f'(x)=ex-.又因为f'(x)是奇函数,所以f'(x)=-f'(-x),即ex-=-(e-x-a·ex),则ex(1-a)=e-x(a-1),所以(+1)·(1-a)=0,解得a=1.所以f'(x)=ex-.令ex-,解得ex=2或ex=-(舍去),所以x=ln2.对点训练3(1,1)　∵函数y=ex的导函数为y'=ex,∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x0>0).∵函数y=的导函数为y'=-,∴曲线y=(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-.由题意可知,k1k2=-1,即1·=-1,所以=1.又x0>0,∴x0=1.又点P在曲线y=(x>0)上,∴y0=1.故点P的坐标为(1,1).例4解(1)设点P坐标为(n,n).f(x)=xlnx+2m的导数为f'(x)=1+lnx,点P(n,n)处的切线斜率为1+lnn=1,可得n=1,即切点为(1,1),则1=2m,解得m=.(2)f(x)=xlnx+1.设切点为(u,v),则切线的斜率为f'(u)=1+lnu,即有切线的方程为y-ulnu-1=(1+lnu)(x-u).代入点Q(1,t),即有t-ulnu-1=(1+lnu)(1-u).即为t-2=lnu-u,在(0,+∞)上有两实数解,记g(u)=lnu-u,导数为g'(u)=-1.当u>1时,g(u)单调递减,当0<u<1时,g(u)单调递增,可得当u=1时,取得最大值g(1)=-1,即有t-2<-1,解得t<1.故实数t的取值范围为(-∞,1).对点训练41　-1　将点(e,f(e))代入直线y=3x-e的方程得f(e)=3e-e=2e.f(x)=axlnx-bx,则f'(x)=alnx+a-b.由题意得解得