新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：4.1　任意角、弧度制及三角函数的概念

这是一份新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：4.1　任意角、弧度制及三角函数的概念，共9页。学案主要包含了第二象限的角.等内容，欢迎下载使用。
第四章　三角函数、解三角形4.1　任意角、弧度制及三角函数的概念必备知识预案自诊　知识梳理1.角的概念的推广(1)角的定义:一条射线绕着它的　　旋转所成的图形. (2)角的分类(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.2.弧度制的定义和公式(1)定义:长度等于　　　　　的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度单位用符号rad表示,读作弧度. (2)公式: 角α的弧度数公式|α|=(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°= rad,②1 rad=°弧长公式弧长l=　　　　 扇形面积公式S=lr=|α|r2 3.任意角的三角函数 三角函数正弦余弦正切定　义设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sin α,即y=sin α把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cos α,即x=cos α把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切,记作tan α,即=tan α(x≠0)各象限符号Ⅰ+++Ⅱ+--Ⅲ--+Ⅳ-+- 1.任意角的三角函数α是一个任意角,终边上任意一点P(不与圆点O重合)的坐标为(x,y),点P与原点的距离为r,则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).2.三角函数值在各象限的符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.3.象限角4.轴线角5.若α∈0,,则sin α<α<tan α.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)小于90°的角是锐角. (　　)(2)若sin α>0,则α是第一、第二象限的角. (　　)(3)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等. (　　)(4)若角α为第一象限角,则sin α+cos α>1;若α∈,则tan α>cos α>sin α. (　　)2.已知扇形的半径为12 cm,弧长为18 cm,则扇形圆心角的弧度数是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A. B. C.π D.π3.sin 2cos 3tan 4的值(　　)A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不存在4.设角α的终边与单位圆相交于点P,-,则sin α-cos α的值是(　　)A.- B.- C. D.5.(2020北京东城一模,12)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点(-1,),则sin α=　　　　　. 关键能力学案突破　考点角的表示及象限的判定 【例1】(1)(2020江西九江一模)若sin α<0,且sin(cos α)>0,则角α是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)终边在直线y=x上的角的集合为　　　　　　　　　. (3)若角θ的终边与角的终边相同,则在[0,2π)内终边与角的终边相同的角为　　　　　. 解题心得1.角的终边在一条直线上比在一条射线上多一种情况.2.判断角β所在的象限,先把β表示为β=2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,再判断角α的象限即可.3.确定角kα,(k≥2,且k∈N*)的终边的位置:先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出kα或的范围,最后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置.对点训练1(1)设集合M=x·180°+45°,k∈Z,N=x·180°+45°,k∈Z,那么(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.M=N B.M⊆NC.N⊆M D.M∩N=N(2)(2020陕西榆林一中检测,3)若角θ满足sin θ>0,tan θ<0,则是(　　)A.第二象限角 B.第一象限角C.第一或第三象限角 D.第一或第二象限角(3)已知角α为第三象限角,则2α的终边所在的位置范围为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 考点三角函数定义的应用 (多考向探究) 考向1　利用定义求三角函数值【例2】(1)(2020山东潍坊一模,3)在平面直角坐标系xOy中,点P(,1),将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量,则点Q的坐标是(　　)A.(-,1) B.(-1,) C.(-,1) D.(-1,)(2)已知角α的终边在直线3x+4y=0上,则5sin α+5cos α+4tan α=　　　　　　　　. 解题心得用三角函数定义求三角函数值的两种情况:(1)已知角α终边上一点P的坐标,则直接用三角函数的定义求解三角函数值;(2)已知角α的终边所在的直线方程,注意终边位置有两个,对应的三角函数值有两组.对点训练2(2020陕西宝鸡一中检测)已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若角α的终边过点P,-,则cos αtan α的值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.- B. C.- D.考向2　利用定义求参数的值【例3】已知角α终边上一点P(m,4),且cos α=m,则m的值为　　　　. 解题心得利用三角函数的定义求参数的值应用的方程思想,由已知条件及三角函数的定义得到关于参数的一个方程,解方程得参数的值.对点训练3已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=-,则m的值为(　　)A.- B. C.- D.考向3　利用定义判定三角函数值的符号【例4】若角α的终边落在直线y=-x上,则　　　0(填“>”“<”或“=”). 解题心得判定三角函数值的符号,先搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正弦、余弦函数值在各象限的正负情况确定.如果不知角所在象限,需要分类讨论求解.对点训练4若θ是第二象限角,则　　　0.(填“>”“<”或“=”) 考点扇形弧长、面积公式的应用 【例5】(1)(2020山东历城二中模拟四,4)如图2,在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD,用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1,扇形OAB的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇面的形状较为美观,则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A. B.C.3- D.-2(2)已知扇形的周长为c,则当扇形的圆心角(正角)α=　　　弧度时,其面积最大,最大面积是　　　　. 解题心得求扇形面积的最值常用的思想方法是转化法.一般从扇形面积公式出发,在弧度制下先使问题转化为关于α的函数,再利用基本不等式或二次函数求最值.对点训练5(1)一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的弧长,则扇形的圆心角(正角)是　　　　弧度,扇形的面积是　　　　. (2)已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10,则弦AB所对的圆心角α的大小为　　　,α所在的扇形弧长l为　　　　,弧所在的弓形的面积S为　　　　　. 【典例】如图,在平面直角坐标系xOy中,某单位圆的圆心的初始位置在点(0,1)处,此时圆上一点P的位置在点(0,0)处,圆在x轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为　　　　　　　. 审题要点(1)已知条件:滚动后的圆心坐标为(2,1)和圆的半径长为1;(2)隐含条件:点P转动的弧长是2;(3)等量关系:P转动的弧长等于弧长所对的圆心角;(4)解题思路:求点P坐标可借助已知坐标(2,1),通过构造直角三角形,并在直角三角形中利用三角函数定义求出.答案(2-sin 2,1-cos 2)解析如图,作CQ∥x轴,PQ⊥CQ,Q为垂足.根据题意得劣弧的长为2,故∠DCP=2.则在△PCQ中,∠PCQ=2-,|CQ|=cos=sin2,|PQ|=sin=-cos2,所以点P的横坐标为2-|CQ|=2-sin2,点P的纵坐标为1+|PQ|=1-cos2,所以点P的坐标为(2-sin2,1-cos2).故=(2-sin2,1-cos2).反思提升1.解决本例应抓住在旋转过程中角的变化,结合弧长公式、解直角三角形等知识来解决.2.审题的关键是在明确已知条件的基础上,寻找出隐含条件;解题的关键是依据已知量寻求未知量,通过未知量的转化探索解题突破口.       第四章　三角函数、解三角形4.1　任意角、弧度制及三角函数的概念必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)端点　(2)正角　负角　零角　象限角2.(1)半径长　(2)|α|r考点自诊1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2.B　由题意知l=|α|r,∴|α|=.3.A　∵sin2>0,cos3<0,tan4>0,∴sin2cos3tan4<0.4.A　由题意知sinα=-,cosα=,所以sinα-cosα=-=-.故选A.5.1　由题意,α+为第二象限角.tanα+==-,所以α+,此时α=,故sinα=1.关键能力·学案突破例1(1)D　(2)α+kπ,k∈Z(3)　(1)∵-1≤cosα≤1,且sin(cosα)>0,∴0<cosα≤1,又sinα<0,∴角α为第四象限角,故选D.(2)∵在(0,2π)内终边在直线y=x上的角是,与角终边相同的角分别为2kπ+,2kπ+=(2k+1)π+,k∈Z,∴终边在直线y=x上的角的集合为.(3)∵θ=+2kπ(k∈Z),∴(k∈Z).依题意,0≤<2π,k∈Z,解得-≤k<,k∈Z.∴k=0,1,2,即在[0,2π)内终边与相同的角为.对点训练1(1)B　(2)C　(3)第一或第二象限或y轴的非负半轴　(1)由于M中,x=·180°+45°=k·90°+45°=(2k+1)45°,2k+1是奇数;而N中,x=·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)45°,k+1是整数,因此必有M⊆N.(2)由sinθ>0,tanθ<0,知θ为第二象限角,∴2kπ+<θ<2kπ+π(k∈Z),∴kπ+<kπ+(k∈Z),∴为第一或第三象限角.(3)由α是第三象限角,得π+2kπ<α<+2kπ(k∈Z),则2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z).故角2α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴.例2(1)D　(2)-2或-4　(1)设向量与x轴的夹角为α,向量与x轴的夹角为β,点Q的坐标为(x,y).由三角函数的定义得tanα=,所以α=.由题意β=,|OP|=2,所以sinβ=sin,得y=;cosβ=cos,得x=-1.故选D.(2)设α终边上任意一点为P(-4a,3a),r=|5a|.当a>0时,r=5a,sinα=,cosα=-,tanα=-,5sinα+5cosα+4tanα=3-4-3=-4;当a<0时,r=-5a,sinα=-,cosα=,tanα=-,5sinα+5cosα+4tanα=-3+4-3=-2.综上可知,5sinα+5cosα+4tanα=-4或5sinα+5cosα+4tanα=-2.对点训练2A　由三角函数的定义知cosα=,tanα==-,故cosαtanα=×-=-.例30或±　由三角函数定义,cosα=m,解得,m=0或m=±.故m的值为0或±.对点训练3B　∵r=,∴cosα==-,∴,且m>0,∴m=.例4=　因为角α的终边落在直线y=-x上,所以角α的终边位于第二或第四象限.当角α的终边位于第二象限时,=0;当角α的终边位于第四象限时,=0.所以=0.对点训练4<　∵θ是第二象限角,∴-1<cosθ<0,0<sinθ<1.∴sin(cosθ)<0,cos(sinθ)>0.∴<0.例5(1)B　(2)2　　(1)设∠AOB=θ,半圆O的半径为r,扇形OCD的半径为r1,依题意,有,即,故=2,得.(2)设扇形的半径为r,弧长为l,面积为S.(方法1)∵c=2r+l,∴r=(l<c),∴S=rl=×l=-l-2+,∴当l=时,Smax=,r=,此时α==2.(方法2)S=rl=(c-l)l≤2=,当且仅当c-l=l,即l=时等号成立,此时Smax=,r=,α==2.对点训练5(1)π-2　(π-2)r2　(2)　50　(1)设扇形的圆心角为θ,则扇形的周长是2r+rθ.由题意知2r+rθ=πr,∴θ=π-2.∴扇形的面积S=r2θ=(π-2)r2.(2)在△AOB中,AB=OA=OB=10,故△AOB为等边三角形.因此弦AB所对的圆心角α的大小为.故α所在的扇形弧长为l=×10=,S弓=S扇-S△AOB=×10-×102×sinπ-=50.