中考数学压轴题剖析与精炼（含解析）：10 三角形问题试卷

这是一份中考数学压轴题剖析与精炼（含解析）：10 三角形问题试卷，共65页。
10 三角形问题

【典例分析】
【考点1】三角形基础知识
【例1】若长度分别为的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形三边关系可得5﹣3＜a＜5+3，解不等式即可求解．
【详解】
由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，
即2＜a＜8，
由此可得，符合条件的只有选项C，
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系，能根据三角形的三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
【变式1-1】如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为____cm2.（结果保留一位小数）

【答案】1.9
【解析】
【分析】
过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【详解】
解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．

经过测量，AB=2.2cm，CD=1.7cm，
（cm2）．
故答案为：1.9．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．
【变式1-2】把一块含有角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置(直角顶点在直尺的一条长边上)．若，则_______．

【答案】68
【解析】
【分析】
由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠C=45°，由三角形的外角性质得出∠AGB=68°，再由平行线的性质即可得出∠2的度数．
【详解】
如图，

∵是含有角的直角三角板，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为68．
【点睛】
此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
【考点2】全等三角形的判定与性质的应用
【例2】在中，，，于点．
（1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长；
（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：；
（3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：．

【答案】(1) ；(2)见解析；(3)见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 AD＝BD＝DC＝ ，求出 ∠MBD＝30°，根据勾股定理计算即可；
（2）证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质证明；
（3）过点 M作 ME∥BC交 AB的延长线于 E，证明△BME≌△AMN，根据全等三角形的性质得到 BE＝AN，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．
【详解】
（1）解：，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，，即，
解得，，
；
（2）证明：，，
，
在和中，
，
；
（3）证明：过点作交的延长线于，
，
则，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
．

【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式2-1】（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断．
，，之间的等量关系________；
（2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．

【答案】（1）；（2），理由详见解析.
【解析】
【分析】
（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得，再根据AAS证得≌，于是，进一步即得结论；
（2）延长交的延长线于点，如图②，先根据AAS证明≌，可得，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得，进而得出结论.
【详解】
解：（1）.
理由如下：如图①，∵是的平分线，∴
∵，∴，∴，∴.
∵点是的中点，∴，
又∵，
∴≌（AAS），∴.
∴.
故答案为：.
（2）.
理由如下：如图②，延长交的延长线于点.

∵，∴，
又∵，，
∴≌（AAS），∴，
∵是的平分线，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
【变式2-2】如图，，点在上．

（1）求证：平分；（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题中条件易知：△ABC≌△ADC，可得AC平分∠BAD；
（2）利用（1）的结论，可得△BAE≌△DAE，得出BE=DE．
【详解】
解：（1）在与中，
∴
∴
即平分；
（2）由（1）
在与中，得
∴
∴
【点睛】
熟练运用三角形全等的判定，得出三角形全等，转化边角关系是解题关键．
【考点3】等腰三角形与等边三角形的判定与性质的应用
【例3】如图，在中，.
⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：；
⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若，求的度数.

【答案】（1）见解析；（2）∠B=36°.
【解析】
【分析】
（1）根据垂直平分线的性质，得到PA=PB，再由等腰三角形的性质得到∠PAB=∠B，从而得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，由题意得到等式∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，即可得到答案.
【详解】
（1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上，
所以PA=PB，
所以∠PAB=∠B，
所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.
（2）根据题意，得BQ=BA，
所以∠BAQ=∠BQA，
设∠B=x，
所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，
所以∠BAQ=∠BQA=2x，
在△ABQ中，x+2x+2x=180°，
解得x=36°，即∠B=36°.
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.
【变式3-1】如图，是等边三角形，延长到点，使，连接．若，则的长为_____．

【答案】
【解析】
【分析】
AB=AC=BC=CD，即可求出∠BAD=90°，∠D=30°，解直角三角形即可求得．
【详解】
解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及解直角三角形等，证得△ABD是含30°角的直角三角形是解题的关键．
【变式3-2】如图，把三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B重合，折痕分别为EF，DG，得到，，若，则FG的长为_____．

【答案】．
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得：FG是△ABC的中位线，AC的长即为△BDE的周长.在Rt△BDE中，根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理可分别求出BD与BE的长，从而可得AC的长，再根据三角形的中位线定理即得答案.
【详解】
解：∵把三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B重合，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，根据折叠的性质得出FG是△ABC的中位线，AC的长即为△BDE的周长是解本题的关键.
【考点4】直角三角形的性质
【例4】如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则_____．

【答案】．
【解析】
【分析】
利用基本作图得BD平分，再计算出，所以，利用得到，然后根据三角形面积公式可得到的值．
【详解】
解：由作法得平分，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴.
故答案为．
【点睛】
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
【变式4-1】一张直角三角形纸片，，，，点为边上的任一点，沿过点的直线折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，当是直角三角形时，则的长为_____．
【答案】或
【解析】
【分析】
依据沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，分两种情况讨论：∠DEB=90°或∠BDE=90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD的长
【详解】
分两种情况：
①若，则， ，

连接，则，
，，
设，则，
中，
，
解得，
；
②若，则，，

四边形是正方形，
，，
，
，
设，则，，，
，
解得，
，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】
此题考查折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于画出图形
【变式4-2】勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．
（1）A，B间的距离为______km；
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为______km．

【答案】20 13
【解析】
【分析】
（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；
（2）根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD=x，根据勾股定理即可求出x的值．
【详解】
（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB=12﹣（﹣8）=20；
（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由（1）可知：CE=1﹣（﹣17）=18，AE=12，设CD=x，∴AD=CD=x，由勾股定理可知：x2=（18﹣x）2+122，∴解得：x=13，∴CD=13．
故答案为：（1）20；（2）13．

【点睛】
本题考查了勾股定理，解题的关键是根据A、B、C三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型．
【考点5】相似三角形的判定与性质的应用
【例5】如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N．

（1）求证：；（2）若，求MN的长．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）通过证明，可得，可得结论；
（2）由平行线的性质可证即可证，由和勾股定理可求MC的长，通过证明，可得，即可求MN的长．
【详解】
证明：（1）∵DB平分，
，且，



（2）

，且


，且，
，





且


【点睛】
考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．
【变式5-1】如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,
（1）求证：AC•CD=CP•BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（2）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；
（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．
解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∴AB•CD=CP•BP．
∵AB=AC，
∴AC•CD=CP•BP；
（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．
∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．
∵∠B=∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴．
∵AB=10，BC=12，
∴，
∴BP=．
“点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．
【变式5-2】大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑一紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范（如图①）．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的末端C点处竖立一根标杆CD，此时，小花测得标杆CD的影长CE＝2米，CD＝2米；然后，小风从C点沿BC方向走了5.4米，到达G处，在G处竖立标杆FG，接着沿BG后退到点M处时，恰好看见紫云楼顶端A，标杆顶端F在一条直线上，此时，小花测得GM＝0.6米，小风的眼睛到地面的距离HM＝1.5米，FG＝2米．
如图②，已知AB⊥BM，CD⊥BM，FG⊥BM，HM⊥BM，请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高AB．

【答案】紫云楼的高AB为39米．
【解析】
【分析】
根据已知条件得到AB＝BC，过H作HN⊥AB于N，交FG于P，设AB＝BC＝x，则HN＝BM＝x+5.4+0.6＝x+6，AN＝x﹣1.5，FP＝0.5，PH＝GM＝0.6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵CD⊥BM，FG⊥BM，CE＝2，CD＝2，
∴AB＝BC，
过H作HN⊥AB于N，交FG于P，
设AB＝BC＝x，则HN＝BM＝x+5.4+0.6＝x+6，
AN＝x﹣1.5，FP＝0.5，PH＝GM＝0.6，
∵∠ANH＝∠FPH＝90°，∠AHN＝∠FHP，
∴△ANH∽△FPH，
∴，即，
∴x＝39，
∴紫云楼的高AB为39米．

【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．
【考点6】锐角三角函数及其应用
【例6】三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是_____.

【答案】15﹣5.
【解析】
【分析】
过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案.
【详解】
过点B作BM⊥FD于点M，

在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10，
∵AB∥CF，
∴∠BCM=∠ABC=30°，
∴BM＝BC×sin30°＝＝5，
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5，
故答案是：15﹣5.
【点睛】
本题考查了解直角三角形，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键.
【变式6-1】自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；将斜坡的高度降低米后，斜坡改造为斜坡，其坡度为．求斜坡的长．（结果保留根号）

【答案】斜坡的长是米．
【解析】
【分析】
根据题意和锐角三角函数可以求得的长，进而得到的长，再根据锐角三角函数可以得到的长，最后用勾股定理即可求得的长．
【详解】
∵，，坡度为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，斜坡的坡度为，
∴，
即，
解得，，
∴米，
答：斜坡的长是米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
【变式6-2】如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．
（1）填空：　 　度，　 　度；
（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．

【答案】（1）30，45；（2）（5－5）海里
【解析】
【分析】
（1）由题意得：，，由三角形内角和定理即可得出的度数；
（2）证出是等腰直角三角形，得出，求出，由题意得出，解得即可．
【详解】
解：（1）由题意得：，，
；
故答案为30，45；
（2），
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
解得：，
答：观测站B到AC的距离BP为海里．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．
【达标训练】
1．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
【详解】
三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选C．
【点睛】
本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．
2．已知n正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】D
【解析】
【分析】
分n+8与3n最大两种情况，根据三角形三边关系列出不等式组，解不等式组后求出正整数解即可得答案.
【详解】
∵n+2