初中数学苏科版九年级上册第1章 一元二次方程综合与测试同步练习题

这是一份初中数学苏科版九年级上册第1章 一元二次方程综合与测试同步练习题，共12页。试卷主要包含了关于x的一元二次方程，若方程ax2+bx+c＝0，关于x的方程a，香蕉的种植备受当地各农户的青睐，所以求出的k值为－4.等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学期苏科版九年级数学上《第1章 一元二次方程》达标测试卷
（时间：90分钟 满分：120分）

一．选择题(每小题2分 共30分)
1．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　 ）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
2．已知一元二次方程3x2+2x＝0的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，被污染的常数项可以是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则方程的根是（　　）
A．1，﹣2 B．﹣1，0 C．1，0 D．无法确定
4．据统计9月11日我省单日快递量比平时增加40%，到11月13日到达高峰，单日快递量为平时的3倍，设11日到13日单日快递量平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．0.4（1+2x）＝3 B．0.4×2（1+x）＝3
C．1.4（1+x）2＝3 D．0.4+0.4（1+x）+0.4（1+x）2＝3
5．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x﹣m+2）2+b＝0的根是（　　）
A．x1＝7，x2＝﹣4 B．x1＝3，x2＝﹣8 C．x1＝﹣7，x2＝8 D．x1＝﹣7，x2＝4
6．香蕉的种植备受当地各农户的青睐．香蕉种植中，要注意病毒预防，香蕉有一种病叫“香蕉黄叶病”（又称“香蕉巴拿马病”），是一种通过土壤传播的香蕉传染病，染病香蕉逐步枯萎死亡，且因为土壤遗留，发病地区30年以上不能种植香蕉，是香蕉的“不治之症”．如果某农户家的一块香蕉地中有一棵香蕉感染了“巴拿马病毒”，经过两轮传染后有81棵香蕉被传染．请你用学过的知识分析，每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为（　　）
A．8棵 B．9棵 C．10棵 D．11棵
7．若2x2－ax－a是完全平方式，则a的值是( )
A. 0　 B. 8 C. 0或－8　 D. 0或8
8．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0，则m的值为( )
A. 0　 B. 1或2 C. 1　 D. 2
9. 已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为( )
A. 7　 B. 10 C. 11　 D. 10或11
10.若x1是方程ax2﹣4x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣2）2，q＝ac+5，则p与q的大小关系为（　　）
A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定
11．设关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，记S1＝x1+2021x2，S2＝x12+2021x22，…，Sn＝x1n+2021x2n，则aS2022+bS2021+cS2020的值为（　　）
A．0 B．2020 C．2021 D．2022
12．已知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个解，若m＞n，则m的值应在（　　）
A．0和1之间 B．1和1.5之间 C．1.5和2之间 D．2和3之间
13．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（　　）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
14．若a，b，c满足，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是（　　）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无实数根
15.．已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长度是关于x的方程x2﹣13x+36＝0的两个实数根，则此菱形的面积是（　　）
A．18 B．30 C．36 D．不确定
二．填空题(每小题2分 共20分)
16．如果（m+n﹣1）（m+n﹣2）＝2，那么m+n的值为 　　．
17．如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（n﹣m）2021＝　　．
18．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程　 　．
19．已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0恰有一个公共实数根，则的值为　 　．
20．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是　 　．
21．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是　 　．
22．已知有序整数对（m，n），其中|m|≤1，|n|≤2，关于x的方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根，则满足条件的有序整数对有　 　个．
23．若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则的值为　 　．
24．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程，化为一般式为　 　．
25．若分式的值为0，则x的值为 　　　 ．
三． 解答题（70分）
26．(12分)用适当的方法解下列方程：
(1)x2＋3x－4＝0； (2)(x＋1)2＝4x； (3)(x＋4)2＝5(x＋4);





(4)(x－3)(x－1)＝3. （4）x2+4x+5＝0 （6）






27．（6分）方程x2+ax+b＝0与x2+bx+a＝0有一个公共根，设它们另两个根为x1，x2；方程x2﹣cx+d＝0与x2﹣dx+c＝0有一个公共根，设它们另两个根为x3，x4．求x1x2x3x4的取值范围（a、b＜0，a≠b，c、d＜0，c≠d）




28．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1•x2＝4，求m的值．




29．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根．
（2）若平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是已知方程的两个实数根．
①若平行四边形ABCD是矩形，且m＝5时．求矩形的面积？
②当m取何值时？平行四边形ABCD是菱形，并求菱形边长？






30．（8分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2和x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．
（1）根据上述定义，一元二次方程2x2+x﹣1＝0　 　（填“是”或“不是”）“倍根方程”．
（2）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝　 　．
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系为　 　．
（4）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值．







31．（8分）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．
（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有　①②　；（只填写序号即可）
①（x﹣1）2＝9；②x2+4x+4＝0；③（x+4）（x﹣2）＝0．
（2）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，且与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，求n的值．










32．(8分)关于x的方程(k2＋2k－2)x2＋(k＋1)x－3＝0(k为常数)．
(1)该方程一定是一元二次方程吗？如果一定是，请说明理由；如果不一定是，请求出当方程不是一元二次方程时k的值．
(2)求k＝1时方程的解．
(3)求出一个k(k≠1)的值，使这个k的值代入原方程后，所得的方程有一个解与(2)中方程的其中一个解相同．(本小题只需要求出一个k的值即可)





33．（6分）我市花果山蜜桔营养丰富、入口甜香．特别是农户与华中农业大学共同培育的新品种“果蜜一号”更是享誉省内外．该品种蜜桔成本价为10元/千克，已知售价不低于成本价，且物价部门规定该蜜桔的售价不高于18元/千克．市场调查发现，蜜桔每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若某蜜桔经销商想要每天获得150元的纯利润，售价应定为多少？


34．（6分）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．


35．（8分）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B同时出发，以顺时针、逆时针的方向沿圆周运动，甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系：l＝t2＋t(t≥0)，乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm.
(1)甲运动4 s后经过的路程是多少？
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？


教师样卷
一．选择题(每小题2分 共30分)
1．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　 ）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
【答案】D 解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，解得：m＝﹣3，故选：D．
2．已知一元二次方程3x2+2x＝0的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，被污染的常数项可以是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D 解：设常数项为c，由题意可知：△＝4﹣4×3c＝4﹣12c≥0，∴c≤故选：D．
3．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则方程的根是（　　）
A．1，﹣2 B．﹣1，0 C．1，0 D．无法确定
【答案】A 解：当x＝1时，a+b+c＝0，当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝0，所以方程的根分别为1或﹣2．故选：A．
4．据统计11月11日我省单日快递量比平时增加40%，到11月13日到达高峰，单日快递量为平时的3倍，设11日到13日单日快递量平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．0.4（1+2x）＝3 B．0.4×2（1+x）＝3
C．1.4（1+x）2＝3 D．0.4+0.4（1+x）+0.4（1+x）2＝3
【答案】C 解：设11日到13日单日快递量平均增长率为x，，由题意得：1.4（1+x）2＝3．
故选：C．
5．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x﹣m+2）2+b＝0的根是（　　）
A．x1＝7，x2＝﹣4 B．x1＝3，x2＝﹣8 C．x1＝﹣7，x2＝8 D．x1＝﹣7，x2＝4
【答案】D 解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的根是x1＝5，x2＝﹣6，∴关于x的方程a（x﹣m+2）2+b＝0，即a[﹣（x﹣m+2）]2+b＝0，a（﹣x﹣2+m）2+b＝0满足﹣x﹣2＝5或﹣x﹣2＝﹣6，解得x1＝﹣7，x2＝4，故选：D．
6．香蕉的种植备受当地各农户的青睐．香蕉种植中，要注意病毒预防，香蕉有一种病叫“香蕉黄叶病”（又称“香蕉巴拿马病”），是一种通过土壤传播的香蕉传染病，染病香蕉逐步枯萎死亡，且因为土壤遗留，发病地区30年以上不能种植香蕉，是香蕉的“不治之症”．如果某农户家的一块香蕉地中有一棵香蕉感染了“巴拿马病毒”，经过两轮传染后有81棵香蕉被传染．请你用学过的知识分析，每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为（　　）
A．8棵 B．9棵 C．10棵 D．11棵
【答案】A 解：设每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为x棵，依题意得：（1+x）2＝81，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．故选：A．
7．若2x2－ax－a是完全平方式，则a的值是( )
A. 0　 B. 8 C. 0或－8　 D. 0或8
【答案】D【解】　∵2x2－ax－a是完全平方式，∴方程有两个相等的实数根，即(－a)2－4×2×(－a)＝0，解得a＝0或－8.
8．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0，则m的值为( )
A. 0　 B. 1或2 C. 1　 D. 2
【答案】D【解】　∵m2－3m＋2＝0，∴(m－1)(m－2)＝0，解得m＝1或2.当m＝1时，m－1＝0，不合题意，舍去，∴m的值为2.
10. 已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为( )
A. 7　 B. 10 C. 11　 D. 10或11
【答案】D【解】　∵3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，∴9－3(m＋1)＋2m＝0，解得m＝6，∴原方程为x2－7x＋12＝0.设方程的另一个实数根为a，则有3＋a＝7，解得a＝4.∵两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，∴△ABC的周长为10或10.若x1是方程ax2﹣4x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣2）2，q＝ac+5，则p与q的大小关系为（　　）
A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定
【答案】A 解：∵x1是方程ax2﹣4x﹣c＝0（a≠0）的一个根，∴ax12﹣4x1＝c，则p﹣q＝（ax1﹣2）2﹣（ac+5）＝a2x12﹣4ax1+1﹣ac﹣5＝a（ax12﹣4x1）﹣ac﹣5＝ac﹣ac﹣5＝﹣5，∴p﹣q＜0，∴p＜q．故选：A．
11．设关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，记S1＝x1+2021x2，S2＝x12+2021x22，…，Sn＝x1n+2021x2n，则aS2022+bS2021+cS2020的值为（　　）
A．0 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】A 解：∵x1，x2是二次方程ax2+bx+c＝0的两根，∴有：ax12+bx1+c＝0
ax22+bx2+c＝0∴aS2022+bS2021+cS2020＝a（x12022+2021x22022）+b（x12021+2021x22021）+c（x12020+2021x22020）＝x12020（ax12+bx1+c）+2021x22020（ax22+bx2+c）＝0．故选：A．
12．已知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个解，若m＞n，则m的值应在（　　）
A．0和1之间 B．1和1.5之间 C．1.5和2之间 D．2和3之间
【答案】C 解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，∴x＝＝．∵m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个解，且m＞n，∴m＝．∵2＜＜3，∴＝1.5＜m＜＝2．故选：C．
13．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（　　）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
【答案】C 解：∵把x＝﹣1代入ax2+bx﹣1＝0得：a﹣b﹣1＝0，∴a﹣b＝1，∴2020+2a﹣2b＝2020+2（a﹣b）＝2020+2＝2022．故选：C．
14．若a，b，c满足，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是（　　）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无实数根
【答案】C解：当x＝1时，a+b+c＝0，当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为1或﹣1．故选：C．
15.．已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长度是关于x的方程x2﹣13x+36＝0的两个实数根，则此菱形的面积是（　　）
A．18 B．30 C．36 D．不确定
【答案】A解：x2﹣13x+36＝0，（x﹣9）（x﹣4）＝0，∴x﹣9＝0或x﹣4＝0，∴x1＝9，x2＝4，即菱形ABCD的对角线AC，BD的长度为9和4，∴此菱形的面积＝×9×4＝18．故选：A．
二．填空题(每小题2分 共20分)
16．如果（m+n﹣1）（m+n﹣2）＝2，那么m+n的值为 　　．
【答案】0或3解：设m+n＝a，则原方程化为（a﹣1）（a﹣2）＝2，整理，得a2﹣3a＝0，
即a（a﹣3）＝0，a＝0或a﹣3＝0，解得：a＝0或3，即m+n＝0或3，故答案为：0或3．
17．如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（n﹣m）2021＝　　．
【答案】-1解：∵x2+4x＝﹣n，∴x2+4x+4＝4﹣n，即（x+2）2＝4﹣n，又（x+m）2＝3，
∴m＝2，n＝1，则（n﹣m）2020＝（1﹣2）2021＝-1，故答案为：-1．
18．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程　 　．
【答案】x2﹣6x+6＝0 解：根据题意得2×3＝c，1+5＝﹣b，解得b＝﹣6，c＝6，所以正确的一元二次方程为x2﹣6x+6＝0．故答案为x2﹣6x+6＝0．
19．已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0恰有一个公共实数根，则的值为　 　．
【答案】3．解：设公共实数根为t，则at2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+at+b＝0，三式相加得（a+b+c）t2+（a+b+c）t+a+b+c＝0，即（a+b+c）（t2+t+1）＝0，因为t2+t+1＝（t+）2+＞0，所以a+b+c＝0，所以原式＝＝
＝＝＝＝3．故答案为3．
20．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是　 　．
【答案】 2 解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7所以，x12+4x1x2+x22＝（x1+x2）2+2x1x2＝16﹣14＝2故答案为2．
21．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是　 　．
【答案】3＜k≤4 解：由题意，得：x﹣1＝0，x2﹣2x+＝0；设x2﹣2x+＝0的两根分别是m、n（m≥n）；则m+n＝2，mn＝；m﹣n＝＝；根据三角形三边关系定理，得：m﹣n＜1＜m+n，即＜1＜2；∴，解得3＜k≤4．
22．已知有序整数对（m，n），其中|m|≤1，|n|≤2，关于x的方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根，则满足条件的有序整数对有　 　个．
【答案】 3 解：∵有序整数对（m，n），其中|m|≤1，|n|≤2，∴m＝0，±1，n＝0，±1，±2，±3∴有序整数（m，n）共有：3×7＝21（种），∵方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根，则需：△＝n2﹣4m＝0，有（0，0），（1，2），（1，﹣2）三种可能，∴满足条件的有序整数对有3个．故答案为：3．
23．若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则的值为　 　．
【答案】 1 解：∵a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，∴a、b可看作方程x2﹣4x+1＝0的两个实数解，∴a+b＝4，ab＝1，而a2+1＝4a，b2+1＝4b，∴＝+＝×＝×＝1．故答案为1．
24．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程，化为一般式为　 　．
【答案】x2﹣8x+7＝0．解：设剪去的小正方形边长是xcm，则长方形纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，依题意，得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32，即x2﹣8x+7＝0．
故答案为：x2﹣8x+7＝0．
25．若分式的值为0，则x的值为 　　　 ．
【答案】-2．解：　∵分式的值为0，∴x2－4＝0，2x2－5x＋2≠0，解得x＝±2，x≠2且x≠，∴x的值为－2.
四． 解答题（70分）
26．(12分)用适当的方法解下列方程：
(1)x2＋3x－4＝0； (2)(x＋1)2＝4x； (3)(x＋4)2＝5(x＋4);

(4)(x－3)(x－1)＝3. （4）x2+4x+5＝0 （6）
解：(1)x2＋3x－4＝0，x＝＝.∴x1＝1，x2＝－4.
(2)(x＋1)2＝4x，整理得x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，∴x1＝x2＝1.
(3)(x＋4)2＝5(x＋4)，整理得(x＋4)(x＋4－5)＝0，即(x＋4)(x－1)＝0，∴x1＝－4，x2＝1.
(4)(x－3)(x－1)＝3，化成一般形式为x2－4x＝0，即x(x－4)＝0.∴x1＝0，x2＝4.
（5）∵x2+4x＝﹣5，∴x2+4x+4＝﹣5+4，即（x+2）2＝﹣1＜0，∴此方程无实数根；
（6）两边都乘以（x﹣3）（x﹣1），得：x（x﹣1）＝（x+1）（x﹣3），解得x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x﹣3）（x﹣1）＝24＞0，∴原分式方程的解为x＝﹣3．
27．（6分）方程x2+ax+b＝0与x2+bx+a＝0有一个公共根，设它们另两个根为x1，x2；方程x2﹣cx+d＝0与x2﹣dx+c＝0有一个公共根，设它们另两个根为x3，x4．求x1x2x3x4的取值范围（a、b＜0，a≠b，c、d＜0，c≠d）
解：∵x2+ax+b＝0与x2+bx+a＝0有一个公共根，∴x2+ax+b＝x2+bx+a，∴（a﹣b）x＝a﹣b，
∵a≠b，∴x＝1，∴x1＝b，x2＝a，∴a+b＝﹣1，∴x1+x2＝﹣1，∵x2﹣cx+d＝0与x2﹣dx+c＝0有一个公共根，∴x2﹣cx+d＝x2﹣dx+c，∴﹣（d﹣c）x＝d﹣c，∵c≠d，∴x＝﹣1，
∴x3＝﹣d，x4＝﹣c，∴d+c＝﹣1，∴x3+x4＝1，∵a、b＜0，c、d＜0，
∴（﹣x1）+（﹣x2）≥2，x3+x4≥2，∴0＜x1x2≤，0＜x3x4≤，
∴0＜x1x2x3x4≤．
28．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1•x2＝4，求m的值．
解：（1）根据题意得△＝4m2﹣4（m2+m）≥0，解得m≤0；
（2） 根据题意得x1+x2＝2m，x1x2＝m2+m，∵x1+x2+x1•x2＝4，∴2m+m2+m＝4，整理得m2+3m﹣4＝0，解得m1＝﹣4，m2＝1，∵m≤0，∴m的值为﹣4．
29．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根．
（2）若平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是已知方程的两个实数根．
①若平行四边形ABCD是矩形，且m＝5时．求矩形的面积？
②当m取何值时？平行四边形ABCD是菱形，并求菱形边长？
【答案】（1）证明：∵△＝m2﹣4（m﹣1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：①当m＝5时，x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1，x2＝4，即AB、AD的长为1、4，∴矩形的面积＝1×4＝4；②∵平行四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴△＝0，即（m﹣2）2＝0，解得m＝2，方程化为x2﹣2x+1＝0，解得x1＝x2＝1，∴菱形的边长为1．
30．（6分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2和x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．
（1）根据上述定义，一元二次方程2x2+x﹣1＝0　 　（填“是”或“不是”）“倍根方程”．
（2）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝　 　．
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系为　 　．
（4）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值．
解：（1）2x2+x﹣1＝0，（2x﹣1）（x+1）＝0，解得x1＝和x2＝﹣1，故一元二次方程2x2+x﹣1＝0 不是（填“是”或“不是”）“倍根方程”．（2）由题意可知：x＝m与x＝2m是方程x2﹣3x+c＝0的解，∴m2﹣3m+c＝0，4m2﹣6m+c＝0，∴m＝1，c＝2；（3）设x＝m与x＝2m是方程ax2+bx+c＝0的解，∴2m+m＝﹣，2m2＝，∴消去m得：2b2＝9ac，
（4）由（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，且该方程的两根分别为x＝2和x＝，∴＝4或＝1，当n＝4m时，原式＝（m﹣n）（4m﹣n）＝0当n＝m时，
原式＝（m﹣n）（4m﹣n）＝0．故答案为：不是；2；2b2＝9ac．
31．（8分）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．
（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有　①②　；（只填写序号即可）
①（x﹣1）2＝9；②x2+4x+4＝0；③（x+4）（x﹣2）＝0．
（2）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，且与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，求n的值．
解：（1）①（x﹣1）2＝9解得：x1＝4，x2＝﹣2，②x2+4x+4＝0，解得：x1＝x2＝﹣2，③（x+4）（x﹣2）＝0，解得x1＝﹣4，x2＝2所以，属于“同伴方程”的有①②故答案是：①②；
（2）一元二次方程x2﹣2x＝0的解为x1＝0，x2＝2，当相同的根是x＝0时，则m﹣1＝0，解得m＝1；当相同的根是x＝2时，则4+6+m﹣1＝0，解得m＝﹣9；综上，m的值为1或﹣9；（3）∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x2＝1，x2＝﹣1；∵（x+2）（x﹣n）＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝n，∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，∴n＝1或﹣1．
32．(8分)关于x的方程(k2＋2k－2)x2＋(k＋1)x－3＝0(k为常数)．
(1)该方程一定是一元二次方程吗？如果一定是，请说明理由；如果不一定是，请求出当方程不是一元二次方程时k的值．
(2)求k＝1时方程的解．
(3)求出一个k(k≠1)的值，使这个k的值代入原方程后，所得的方程有一个解与(2)中方程的其中一个解相同．(本小题只需要求出一个k的值即可)
解：(1)不一定是．
当k2＋2k－2＝0时该方程不是一元二次方程，
解得k1＝－1＋，k2＝－1－.
(2)把k＝1代入原方程得x2＋2x－3＝0，解得x1＝1，x2＝－3.
(3)把x＝1代入原方程得k2＋2k－2＋k＋1－3＝0，整理得k2＋3k－4＝0，(k＋4)(k－1)＝0，解得k＝－4，或k＝1(舍去)．所以求出的k值为－4.
33．（6分）我市花果山蜜桔营养丰富、入口甜香．特别是农户与华中农业大学共同培育的新品种“果蜜一号”更是享誉省内外．该品种蜜桔成本价为10元/千克，已知售价不低于成本价，且物价部门规定该蜜桔的售价不高于18元/千克．市场调查发现，蜜桔每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若某蜜桔经销商想要每天获得150元的纯利润，售价应定为多少？

解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），∵该函数图象过点（10，40）、（18，24），∴，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+60（10≤x≤18）．
（2）根据题意得：（x﹣10）（﹣2x+60）＝150，整理得：x2﹣40x+375＝0，解得：x1＝15，x2＝25（不合题意，舍去）．
答：售价应定为15元/千克．
34．（6分）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，
依题意得：7.5﹣x≤2x，解得x≥2.5．即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%设m%＝a，方程可化为：1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7化简得：32a2+54a﹣35＝0解得a＝0.5或a＝﹣（舍）
∴m＝50答：m的值为50．
35．（8分）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B同时出发，以顺时针、逆时针的方向沿圆周运动，甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系：l＝t2＋t(t≥0)，乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm.
(1)甲运动4 s后经过的路程是多少？
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？

【解】　(1)当t＝4 s时，l＝t2＋t＝8＋6＝14(cm)．答：甲运动4 s后经过的路程是14 cm.
(2)由图可知，甲、乙第一次相遇时走过的路程为半圆，即21 cm，甲走过的路程为t2＋t，乙走过的路程为4t，则t2＋t＋4t＝21，解得t1＝3，t2＝－14(不合题意，舍去)．
答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 s.
(3)由图可知，甲、乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆，即3×21＝63(cm)，
则t2＋t＋4t＝63，解得t1＝7，t2＝－18(不合题意，舍去)．答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7 s.