高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数第2课时练习

[A　基础达标]

1．已知函数f(x)＝5－log3x，x∈(3，27]，则f(x)的值域是(　　)

A．(2，4]  B．[2，4) 

C．[－4，4) D．(6，9]

解析：选B．f(x)＝5－log3x在x∈(3，27]上是减函数，所以f(27)≤f(x)＜f(3)，即2≤f(x)＜4.

2．函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上(　　)

A．是增函数  B．是减函数

C．先增后减  D．先减后增

解析：选A．当a＞1时，y＝logat和t＝(a－1)x＋1都是增函数，所以f(x)是增函数；当0＜a＜1时，y＝logat和t＝(a－1)x＋1都是减函数，所以f(x)是增函数．故选A．

3．若ax≥1的解集为{x|x≤0}且函数y＝loga(x2＋2)的最大值为－1，则实数a的值为(　　)

A．2  B．  

C．3  D．

解析：选B．因为ax≥1＝a0的解集为{x|x≤0}，所以0<a<1，所以x2＋2≥2.

又因为函数y＝loga(x2＋2)的最大值为－1，则a＝.

4．若函数f(x)＝|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则b－a的最小值为(　　)

A．  B．3  

C．2  D．

解析：选A．根据题意，画出函数f(x)的图象，令|log2x|＝2可得x＝或x＝4.

由图象可知，当值域为[0，2]时，定义域的最小区间是，则b－a的最小值为1－＝，故选A．

5．(多选)函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，那么(　　)

A．f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值

B．f(x)在(1，＋∞)上单调递减且无最小值

C．f(x)在定义域内是偶函数

D．f(x)的图象关于直线x＝1对称

解析：选AD．由|x－1|＞0，得函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝，则g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，D正确；因为f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，所以a＞1，所以f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上单调递增且无最大值，A正确，B错误；又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，所以C错误．故选AD．

6．已知函数f(x)＝logax(0<a<1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为________．

解析：由题意知，f(x)＝logax(0<a<1)为减函数，则f(x)max＝f(a)＝1，f(x)min＝f(2a)＝1＋loga2，所以1＝3(1＋loga2)，即loga2＝－，解得a＝2，即a＝.

答案：

7．函数f(x)＝log2(4－x2)的单调递增区间是________，值域是________．

解析：由4－x2＞0，得－2＜x＜2，所以函数f(x)＝log2(4－x2)的定义域为(－2，2).所以函数f(x)＝log2(4－x2)的单调增区间为(－2，0).由0＜4－x2≤4，知f(x)∈(－∞，2].

答案：(－2，0)　(－∞，2]

8．若函数f(x)＝x ln (x＋)为偶函数，则a＝________．

解析：由题意，知y＝ln (x＋)是奇函数，所以ln (x＋)＋ln (－x＋)＝ln (a＋x2－x2)＝ln a＝0，解得a＝1.

答案：1

9．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－2.

(1)若f(x)＞0，求x的取值范围；

(2)若x∈(－1，3]，求f(x)的取值范围．

解：(1)函数f(x)＝log2(x＋1)－2，因为f(x)＞0，即log2(x＋1)－2＞0，所以log2(x＋1)＞2，所以x＋1＞4，所以x＞3.

(2)因为x∈(－1，3]，所以x＋1∈(0，4]，所以log2(x＋1)∈(－∞，2]所以log2(x＋1)－2∈(－∞，0]，故f(x)的取值范围为( －∞，0].

10．设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4.

(1)若t＝log2x，求t的取值范围；

(2)求f(x)的最值，并写出取最值时对应的x的值．

解：(1)因为≤x≤4，所以t＝log2x∈[－4，2].

(2)f(x)＝log2(4x)·log2(2x)＝(2＋log2x)(1＋log2x)，由(1)知，f(x)可转化为g(t)＝t2＋3t＋2＝－，所以当t＝－，即log2x＝－，即x＝2＝时，f(x)min＝－；当t＝2，即x＝4时；f(x)max＝12.

[B　能力提升]

11．(多选)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(　　)

A．f(4)＝－3

B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点

C．函数y＝f(x)的最小值为－4

D．函数y＝f(x)的最大值为4

解析：选ABC．A正确，f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3；

B正确，令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，

解得x＝或x＝8，即f(x)的图象与x轴有两个交点；

C正确，因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，

所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4；

D错误，f(x)没有最大值．

12．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　)

A．x2＜x3＜x1  B．x1＜x3＜x2

C．x1＜x2＜x3  D．x3＜x2＜x1

解析：选A．分别作出三个函数的大致图象，如图所示．

由图可知，x2＜x3＜x1.

13．若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称P，Q是函数y＝f(x)的一对“友好点对”(点对P，Q与Q，P看作同一对“友好点对”).已知函数f(x)＝若此函数的“友好点对”有且只有一对，则a的取值范围是(　　)

A．∪(1，＋∞) B．(0，1)∪(1，＋∞)

C．  D．(0，1)

解析：选A．当－4≤x＜0时，函数y＝|x＋3|关于原点对称的函数为－y＝|－x＋3|，即y＝－|x－3|(0＜x≤4).函数f(x)的“友好点对”有且只有一对，等价于函数y＝logax(0＜x≤4)与y＝－|x－3|(0＜x≤4)的图象只有一个交点．作出两个函数的图象如图，若a＞1，则y＝logax(0＜x≤4)与y＝－|x－3|(0＜x≤4)的图象只有一个交点，满足条件；当x＝4时，y＝－|4－3|＝－1，若0＜a＜1，要使两个函数的图象只有一个交点，则满足loga4＜－1，得＜a＜1.综上所述，实数a的取值范围是∪(1，＋∞)，故选A．

14．已知函数f(x)＝(2log4x－2).

(1)当x∈[1，16]时，求函数f(x)的取值范围；

(2)求不等式f(x)＞2的解集；

(3)若f(x)＜mlog4x对于x∈[4，16]恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)令t＝log4x，x∈[1，16]，则t∈[0，2]，函数f(x)转化为y＝(2t－2)＝2t2－t－1，t∈[0，2]，则二次函数y＝2t2－t－1在上单调递减，在上单调递增，所以当t＝时，y取到最小值－，当t＝2时，y取到最大值5，故当x∈[1，16]时，函数f(x)的取值范围为.

(2)由题得(2log4x－2)－2＞0，令t＝log4x，则(2t－2)－2＞0，即2t2－t－3＞0，解得t＞或t＜－1.当t＞时，log4x＞，解得x＞8；当t＜－1时，log4x＜－1，解得0＜x＜.故不等式f(x)＞2的解集为.

(3)由于(2log4x－2)＜mlog4x对于x∈[4，16]恒成立，令t＝log4x，x∈[4，16]，则t∈[1，2]，所以(2t－2)＜mt对于t∈[1，2]恒成立，所以m＞2t－－1对于t∈[1，2]恒成立．因为函数y＝－在[1，2]上单调递增，y＝2t也在[1，2]上单调递增，所以函数y＝2t－－1在[1，2]上单调递增，其最大值为，

故当m＞时，f(x)＜mlog4x对于x∈[4，16]恒成立．

所以实数m的取值范围是.

[C　拓展探究]

15．已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a＞0，且a≠1).

(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

解：(1)由题设，3－ax>0对x∈[0，2]恒成立且a>0，a≠1.设g(x)＝3－ax，

则g(x)在[0，2]上为减函数．

所以g(x)min＝g(2)＝3－2a>0，所以a<.

所以实数a的取值范围是(0，1)∪.

(2)假设存在这样的实数a，则由题设知f(1)＝1，　

即loga(3－a)＝1，所以a＝.

此时f(x)＝log.

当x＝2时，f(x)＝log0无意义．故这样的实数a不存在．