人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用课后练习题

5.7三角函数的应用同步练习人教  A版（2019）高中数学必修一

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 据市场调查，某种商品一年内每月出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动为月份，已加3月份达到最高价9千元，7月份价格最低，为5千元，根据以上条件可确定的解析式为   

A.
B.
C.
D.

2. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在ts时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以t为横坐标，h为纵坐标，下列说法错误的是 

A. 小球在开始振动即时的位置在
B. 小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为2厘米
C. 小球往复运动一次所需时间为
D. 每秒钟小球能往复振动次
 

3. 一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面即OM长，巨轮的半径为30m，，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为，则

A.
B.
C.
D.
 

4. 声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中错误的有   

A. 函数不具有奇偶性；
B. 函数在区间上单调递增；
C. 若某声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音响度大；
D. 若某声音甲对应函数近似为，则声音甲一定比纯音更低沉．

5. 如图，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是

A.
B.
C.
D.

6. 达芬奇的经典之作蒙娜丽莎举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．某业余爱好者对蒙娜丽莎的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：，，其中根据测量得到的结果推算：将蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于

A.  B.  C.  D.

7. 敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为其中，t表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定A和的值分别为       

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

8. 函数的振幅、频率和初相分别为

A. 2，， B. 2，， C. 2，， D. 2，，

9. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．设秒针针尖的位置为，若初始位置为，当秒针针尖从注：此时正常开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为．

A.  B.
C.  D.

10. 如图，一个大风车的半径是8米，每12分钟旋转一周，最低点离地面2米，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离米与时间分钟之间的函数关系是

A.
B.
C.
D.
 

11. 函数的周期，振幅，初相分别是

A.  B.  C.  D.

12. 智能主动降躁耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降躁芯片生成相等的反向的波抵消噪音如图已知某噪音的声波曲线的振幅为1，周期为，初相为0，则通过听感主动降躁芯片生成相等的反向波曲线为   

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用如图假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水简M距离水面的高度单位：米与转动时间单位：秒满足函数关系式，，且时，盛水筒M与水面距离为米，当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为           米

14. 如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深单位：的最大值为          ．

15. 港口水深是港口重要特征之一，表明其自然条件和船舶可能利用的基本界限，如下图是某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深单位：的最大值为          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为，秒针均匀地绕点O旋转，当时间时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离单位：表示成单位：的函数，则          其中；d的最大值为          cm．
17. 声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数，已知函数的图像向右平移个单位后，与纯音的数学模型函数图像重合，则          ，若函数在是减函数，则a的最大值是          
18. 函数的振幅是          ；初相是          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知函数，．

求它的振幅、周期、初相；

当函数y取得最大值时，求自变量x的取值；

该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？






 

20. 如图，某公园摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．
    Ⅰ已知在时刻时点P距离地面的高度，求2018min时点P距离地面的高度；
    Ⅱ当离地面以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园全貌？

21. 已知函数     用五点法在给定的坐标系中作出函数一个周期的图象；
     

求此函数的振幅、周期和初相；

求此函数图象的对称轴方程、对称中心．






 

22. 如图为函数的一个周期的图象．
     

写出的解析式；

若与的图象关于直线对称，写出的解析式；

指出的周期、频率、振幅、初相．






 

23. 如图，某游乐场有一个半径为50米的摩天轮，该摩天轮的圆心O距离地面52米，摩天轮逆时针匀速转动，每转动一圈需要t分钟．若游客从最低点处登上摩天轮，从摩天轮开始转动计时．
    
    
     

Ⅰ求游客与地面的距离米与摩天轮转动时间分的函数关系式；

Ⅱ摩天轮转动一圈的过程中，游客的高度在距地面77米及以上的时间不少于4分钟，求t的最小值．

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题根据一个实际问题的研究，着重考查了由的部分图象确定其解析式的知识点，考查了数学应用能力，属于中档题．
利用正弦函数的最值及已知条件，解之可得，根据函数的周期T，求出，最后用函数取最大值时对应x的值，可得的值，从而可以确定的解析式．

【解答】解：由题意得．
周期为．
当时，，即，
，．
．
．
故选A．  

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象，及其各参数的物理意义，考查三角函数模型的应用，属于基础题．
A、把代入已知函数，求得y值即可得初始位置；B、由解析式可得振幅，即为所求；C、求函数周期可得所求；D、由频率的意义可得．

【解答】

解：由题意可得在一个周期的闭区间上的图象如下，

A、由题意可得当时，，
故小球在开始振动时的位置在；
B、由解析式可得振幅；
故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为2厘米；
C、可得函数的周期为，故小球往复运动一次需；
D、可得频率为 ，即每秒钟小球能往复振动次
故选D．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的图象与性质．
由实际问题确定解析式中A的值以及函数的周期，从而求得，再由求得．

【解答】解：设，
易知最大值为60，最小值为0，
所以又以及可得，，
当时，所以；
所以解析式为，
故选B．  

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查新定义知识，考查三角函数的奇偶性，单调性等相关知识，属于中档题．
A.结合奇偶性的定义判断即可，用正弦型函数的单调性作出判断，C可取特值说明，求出和的频率比较即可得结果．

【解答】

解：，
则的定义域为R，
又，
即为奇函数，故A错误
B.时，，，，
故，，，在上均为增函数，
故在区间上单调递增，故B正确
C.的振幅为，
，则，
则的振幅大于，大于的振幅，
故声音甲的响度一定比纯音响度大，故C正确；
D.易知的周期为，则其频率为，
而的周期为，则其频率为，
由，得声音甲比纯音更低沉，故D正确．
故选A．

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
建立适当的直角坐标系，用坐标表示点P，建立高度H与t的函数关系式，从而求出对应的函数值．

【解答】

解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴，建立直角坐标系．

设时，游客甲位于点，以OP为终边的角为，
根据摩天轮转一周大约需要，
可知座舱转动的角速度约为，
由题意可得，．
故选B．

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】

设可得，可求的值，进而得出结论．
本题考查了三角函数在实际生活中的应用，直角三角形的边角关系、圆弧切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

【解答】

解：，，其中．
设．
则，
由题意必为锐角，可得，
设蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．
则，
．
故选：A．
 

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】

由y与t的函数关系以及函数图象求出周期T的值与A的值，再求的值．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．

【解答】

解：由图可知，，
故y与t的函数关系为，且，
所以周期，所以．
故选：D．

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的物理意义的应用，属于基础题．
根据A，和的值的物理意义进行求解即可． 

【解答】

解： 的振幅为2，周期，频率为和初相为．

故选C．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数模型的应用．
易知函数的最小正周期，可求出再利用初始位置的坐标求出，问题得以解决．

【解答】

解：由题意，设，，，
由题意知，函数的最小正周期，
，，
设函数解析式为秒针是顺时针走动．

又时，初始位置为，

，，
．
故选C．

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

由实际问题设出P与地面高度与时间t的关系，，由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出，通过初始位置求出，从而得解．
本题考查通过实际问题得到三角函数的性质，由性质求三角函数的解析式．

【解答】

解：设，，
由题意，，，
则，
，，
可得：，
的初始位置在最低点，时，有：，
即：，
解得：，，
，
与t的函数关系为：，，
故选D．
 

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查中参数的物理意义，解题的关键是理解A，，的意义，属于基础题．
本题的函数解析式已知，由其形式观察出振幅，初相，再由公式求出函数的周期，对照四个选项得出正确选项．

【解答】

解：函数，
振幅是2，初相是，
又x的系数是，
故函数的周期是，
故选：C．

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的图象与性质，考查三角函数的应用，属于基础题．
根据题意可得，根据周期为可求出的值，由此即可求出答案．

【解答】

解：根据题意可得，
由，解得，
所以噪音声波曲线为，
所以通过听感主动降躁芯片生成相等的反向波曲线为．
故选C．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数模型的应用，考查运算求解能力，是中档题．
由已知函数解析式结合时的函数值求得，代入函数解析式，取求得H值得答案．

【解答】

解：，，
当时，，则，
，．
故H，
当时，盛水筒M与水面距离为：
．
故答案为：．

14.【答案】8
 

【解析】

【分析】

由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值．
本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．

【解答】

解：由题意可得当取最小值时，
函数取最小值，解得，
，
当取最大值3时，
函数取最大值，
故答案为8．

15.【答案】8m
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．
由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值．

【解答】

解：由图像知．
因为，
所以，解得，
所以这段时间水深的最大值是．
故答案为8m．

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数模型的应用，考查三角函数的最值问题，属于基础题．
由题意可求出，由此可得出，，继而可求出d的最大值．

【解答】

解：由题意，得．

故，．

由，知，

所以当，即时，d取最大值是．
故答案为，10．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了函数的图象和性质，属于中档题．
先根据平移求出的值，然后根据单调性求出a．

【解答】

解：因为函数的图像向右平移个单位后得
，
因为，
所以，
所以，
所以，
由，．
所以，
所以的递减区间为，
函数是减函数，
则a的最大值为．
故答案为．

18.【答案】2       

【解析】

【分析】

根据振幅和初相的定义可得答案．

本题考查了振幅与初相的定义，牢固掌握振幅与初相的定义是解题关键，属于基础题．

【解答】

解：振幅，

令则初相．

故答案为：．

19.【答案】解：振幅，周期，初相．
当，即时，
y取最大值，此时．
把的图象向左平移个单位长度得到的图象，
再把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到的图象，
然后再把图象上所有点的纵坐标缩短到原来的横坐标不变得到的图象，
最后把的图象向上平移个单位长度，
得到的图象．
 

【解析】本题考查的图象和性质，考查三角函数图象的变换．
直接根据定义进行解答；
根据可以求出y的最大值以及对应的x值；
直接利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换求出结果．
 

20.【答案】解：Ⅰ依题意，，，，
；
又，
；
；

，
即2018min时点P所在位置的高度为70m；
Ⅱ由知，
；
依题意：，
，
，
解得，，
即，；
，
转一圈中有时间可以看到公园全貌．
 

【解析】本题考查了型函数解析式的求法与三角不等式的解法问题，属于拔高题．
Ⅰ由题意求出A、h和的值，结合求得的值，写出函数的解析式，计算时点P距离地面的高度即可；
Ⅱ化简，由求出t的取值范围，再由t的区间端点值的差求得一圈中可以看到公园全貌的时间．
 

21.【答案】解  列表：

描点、连线，如图所示：

周期，振幅，初相是．
令，
得，此为对称轴方程．
令得．
对称中心为．
 

【解析】用五点法求出对应的点的坐标，即可在坐标系中作出函数一个周期的图象；
根据三角函数的定义和性质即可求此函数的振幅、周期和初相；
结合三角函数的性质即可求出此函数图象的对称轴方程、对称中心．
本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握五点作图法，以及熟练掌握三角函数的有关概念和性质．
 

22.【答案】解：由图知，，，

．

将点代入得，

．

作出与的图象关于直线对称的图象，可以看出的图象相当于将的图象向右平移2个单位得到的．

．

由知，的周期，

频率，振幅，初相．

【解析】本题考查了由部分函数图像求解析式、正弦型函数图像变换以及三角函数中各量的物理意义．
根据图像写出函数解析式；
根据图像平移可得到答案；
根据函数解析式即可写出的周期、频率、振幅、初相．
 

23.【答案】Ⅰ由题意，设，
则由摩天轮的圆心O距离地面52米，可知，
解之得，每转动一圈需要t分钟，
所以，
当时，，则，
解得，
所以；
Ⅱ由游客的高度在距地面77米可知，
即，
解之得，
即，
令可得，
摩天轮转动一圈的过程中，要使在距地面77米及以上的时间不少于4分钟，
则有，即，
所以t的最小值为12．
 

【解析】本题考查三角函数模型的应用，属于中档题．
Ⅰ设出游客与地面的距离米与摩天轮转动时间分的函数关系式，分别求出A，，，b，即可求出解析式；
Ⅱ由游客的高度在距地面77米可知，可求出，则由时间不少于4分钟，可求出．