人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质当堂达标检测题

5.4三角函数的图像和性质同步练习人教  A版（2019）高中数学必修一

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设函数，则下列结论错误的是 

A. 的一个周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为
D. 在单调递减

2. 函数的最大值为   

A.  B. 1 C.  D.

3. 函数在区间内的图象是

A.  B.
C.  D.

4. 函数，若，则的最小值是

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数，，则的值域为   

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数，则

A. 的最小正周期为，最大值为3
B. 的最小正周期为，最大值为4
C. 的最小正周期为，最大值为3
D. 的最小正周期为，最大值为4

7. 函数的最大值为

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

8. 若在上是减函数，则a的最大值是     

A.  B.  C.  D.

9. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是       

A.  B.  C.  D.

10. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

11. 下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是   

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 函数零点的个数为          ．
14. 已知函数为定义在R上的奇函数，对任意都有，当时，，则的值为           ．
15. 若函数，的最大值为2，则常数的一个取值为          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 已知定义在R上的周期函数在长度不小于它的一个最小正周期的闭区间上的图象如图所示，则函数的最小正周期为           ，函数的解析式            ．

17. 设函数，，其，若，，且的最小正周期大于，则          ，          ．
18. 已知函数，则的最小正周期是          ；的对称中心是          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知，，．
    求的最小正周期及单调递减区间；
    求函数在区间上的最大值和最小值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知函数．

求函数的单调区间；

当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．






 

21. 已知函数．

求函数的单调递增区间；

当时，求函数的值域．






 

22. 已知函数．
    求函数的最值及相应的x的值；
    若函数在上单调递增，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知函数．
    Ⅰ求的最小正周期；
    Ⅱ若在区间上的最大值为，求m的最小值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象与性质，考查推理能力，属于基础题．
根据题意，逐项判断即可．

【解答】

解：对于A，函数的周期为，，
当时，周期为，故A正确；
对于B，当时，，
此时函数取得最小值，
所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，因为，
且，
则的一个零点为，故C正确；
对于D，当时，，
此时函数不是单调函数，故D错误，
故选D．

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，考查计算能力，属于基础题．
利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．

【解答】

解：函数


．
故选：A．

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦函数与正切函数在区间上的符号，考查函数图象的作法，属于基础题．
对x分，以及，得到每段上函数的解析式，以及函数值的正负，即可得到函数的图象．

【解答】

解：因为当时，，，
则，且此时，
当时，，
当时，，，
则，且此时，
综上，函数

由上分段画出函数图象如D图示，
故选：D．

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的图象与性质 ，以及运算能力，属于中档题．
运用辅助角公式和二倍角公式，化简，结合正弦函数的最值，即可得到最小值．

【解答】

解：，
函数的最大值为3，最小值为，又，
在，处取到最大值和最小值，
不妨设在处有最大值，
则，即，
处取到最小值，
则，即，
所以，，，
所以当时，的最小值为．
故选A

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查利用三角函数的有界性求解值域，考查正弦函数的图象和性质，考查二倍角公式、诱导公式以及两角和差公式的应用，为中档题．
利用二倍角公式、诱导公式以及两角和差公式将函数化为正弦型函数，结合x的范围，利用正弦函数的性质得结果．

【解答】

解：函数


，

则，
值域为．
故选B．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用．
首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦函数的性质求出结果．

【解答】

解：函数，
，
，
，
，
，
故函数的最小正周期为，
函数的最大值为，
故选：B．

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的最值的求法，注意运用二倍角公式和诱导公式，同时考查可化为二次函数的最值的求法，属于中档题．
运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得，令，可得函数，配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值．

【解答】

解：函数
，
令，
可得函数
，
函数在上单调递增，
即当，，时，函数取得最大值5．
故选B．

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的性质，属于基本知识的考查，是基础题．
应用辅助角公式及两角和差的正弦公式化简，由，，得，，
取，得的一个减区间为，结合已知条件即可求出a的最大值．

【解答】

解：，
由，，
得，，
取，得的一个减区间为，
由在是减函数，
得．
则a的最大值是．
故选：A．

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的单调性，属于中档题．

先求出的单调减区间，为单调减区间的子集，由此求出的取值范围．

【解答】

解：，，
解得，，
所以，，，
由此解得，，
又，
故，，
故答案选：B．

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
由题意利用正弦函数的单调性可得关于的不等式，求解即可．

【解答】

解：，，
，
函数在上单调递减，
周期，解得
的减区间满足：
，
取，得，解之得，
故选：C．

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦函数、余弦函数的周期性及单调性，属于中档题．
根据正弦函数、余弦函数的周期性及单调性依次判断，结合排除法即可求解．

【解答】

解：不是周期函数，可排除D选项；
的周期为，可排除C选项；
在处取得最大值，不可能在区间上单调递增，可排除B．
故选A．

12.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数的图象与性质以及三角恒等变换应用问题，注意两角和差公式以及二倍角公式的灵活应用，是中档题．

化函数为正弦型函数，由在上单调递减，利用正弦函数的单调性列出不等式组，求出的取值范围．

【解答】

解：函数


，
由函数在上单调递减，
且，
得
解得，
又，，
实数的取值范围是．
故选A．

13.【答案】4
 

【解析】

【分析】

本题主要考查余弦函数，对数函数的图象，函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
在同一直角坐标系中作出和的图象，由图可得当时，和的图象有4个交点，由此可得函数零点的个数．

【解答】

解：在同一直角坐标系中画出函数，的图象，如图所示：

函数的零点，即方程的实数根，
，，
结合图可知当时，函数和的图象的交点个数为4，

即的零点有4个．
故答案为4．

14.【答案】2
 

【解析】

【分析】

本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性与周期性，属于基础题．
根据题意，分析可得，则函数是周期为6的周期函数，则有，结合函数的解析式可得答案．

【解答】

解：根据题意，对任意都有，
则，
则函数是周期为6的周期函数，
则，
当时，，则，
故，
故答案为：2．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查三角恒等变换，辅助角公式，三角函数最值，以及考查运算能力，属于中档题．
由两角和差公式，及辅助角公式化简得，其中，，结合题意可得，解得，即可得出答案．

【解答】

解：


，
其中，，
所以最大值为，
所以，
即，所以，
所以，，
，当时，．
故答案为：．

16.【答案】2 
 

【解析】

【分析】

根据题意，观察函数的图象可得其最小正周期；结合函数的图象，
分析与两种情况讨论，分别求出函数的解析式，综合可得答案．
本题考查分段函数的性质，涉及函数的周期与解析式的分析，属于一般题．

【解答】

解：根据题意，由函数的图象，的最小正周期为2，
在区间上，，
当时，，则有，
故在区间上，，
在区间上，，
当时，，，
则在区间上，，
故
故答案为：2，

17.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查三角函数的周期性及其求法，属于中档题．
由题意求得T，再由周期公式求得，最后由求得值．
【解答】
解： ，，且的最小正周期大于，
的最小正周期为，
，
．
又，

即，

即，，

得，．

又，
取，得．
故答案为 ．

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查的图象与性质，属于基础题．
对于函数对称中心的求法类比的对称中心来求解，利用，，求得的对称中心．

【解答】

解：由，所以的最小正周期为；
令，，
解得，
所以函数的对称中心是．
故答案为；．

19.【答案】解：，，
由
，
的最小正周期，
由，
得：，
的单调递减区间为，；
由可得：
当时，函数取得最小值为
当时，函数取得最大值为
故得函数在区间上的最大值为3，最小值为0．
 

【解析】本题考查三角函数化简及三角函数的图象与性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
由，根据向量的数量积的运用可得的解析式，化简，利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
在上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出的最大值和最小值．
 

20.【答案】解：

，
令，
得，
令，
得，
故函数的增区间为，
减区间为；
当时，，
可得，
所以，
不等式可化为，
有．
即恒成立，
只需，
又，
所以，
当时，取得最大值为，
所以，
故实数m的取值范围为．
 

【解析】本题考查了三角函数的单调性以及最值问题，涉及到不等式的恒成立问题，属于基础题．
化简函数的解析式，利用正弦函数的单调性整体代换即可求解；
分离出m，由恒成立问题转化为求最值问题即可求解．
 

21.【答案】解：由题意，可知：
，
因为，
令，得．
所以函数的单调递增区间为；
因为，
所以，
所以，
所以的值域为．
 

【解析】本题主要考查函数定义域与值域和函数的单调性与单调区间及两角和与差的三角函数公式，属于基础题．
化简函数，所以可得函数的单调递增区间；
因为，所以可得到，即可得到的值域，则的值域可求．
 

22.【答案】解：
，
当时，函数取得最大值，此时，，
当时，函数取得最小值，此时，．
因为，则，
解得：，
令，得，可得在单调递增，
若上单调递增，则，
所以a的取值范围是．
 

【解析】利用辅助角公式进行化简，结合最值性质进行求解即可．
求出函数的单调递增区间，结合函数的单调性建立不等式关系进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合函数单调性和最值的性质是解决本题的关键，是中档题．
 

23.【答案】解：Ⅰ函数
，
的最小正周期为；
Ⅱ若在区间上的最大值为，
可得，且当时，取得最大值，
即有，解得，
则m的最小值为．
 

【解析】本题考查三角函数的图象与性质，注意运用二倍角公式和三角函数的周期公式、最值，考查运算能力，属于基础题．
Ⅰ运用二倍角公式的降幂公式和两角差的正弦公式化简函数为，利用周期公式即可得解；
Ⅱ求得的范围，结合正弦函数的图象可得，即可得到所求最小值．