高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）同步测试题

3.4函数的应用（一）同步练习人教A版（2019）高中数学必修一

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 如果函数在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，那么称函数是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”若函数是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为   

A.  B.  C.  D.

2. 若函数同时满足：定义域内存在实数x，使得；对于定义域内任意，，当时，恒有；则称函数为“DM函数”下列函数中是“DM函数”的为

A.  B.  C.  D.

3. 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与各自的资金投入，单位：万元满足，设甲大棚的资金投入为单位：万元，每年两个大棚的总收入为单位：万元则总收入的最大值为

A. 229 B. 228 C. 283 D. 282

4. 设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数．若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是   

A.  B.  C.  D. 0

5. 用一段长为50m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙a长当这个矩形菜园ABCD的宽矩形的较短边为时，围成的矩形菜园ABCD的面积最大？

A.
B.
C. 10
D. 15

6. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”若函数的图象存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是

A.  B.  C.  D.

7. 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
   如果不超过200元，则不给予优惠；
   如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
   如果超过500元，其500元内的按第条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
   某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

8. 国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的纳税；超过4000元的按全部稿酬的纳税．已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费扣税前为

A. 2800元 B. 3000元 C. 3800元 D. 3818元

9. 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为 

A. 15 B. 40 C. 25 D. 130

10. 某沙漠地区的某时段气温与时间的函数关系是，则该沙漠地区在该时段的最大温差是

A. 54 B. 58 C. 64 D. 68

11. 某沙漠地区的某时段气温与时间的函数关系是，则该沙漠地区在该时段的最大温差是   

A. 54 B. 58 C. 64 D. 68

12. 为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方法如下：

若某户居民本月交纳的电费为380元，则此户居民本月用电量为     

A. 475度 B. 575度 C. 度 D. 度

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为不超过按起步价付费；超过但不超过时，超过部分按每千米元收费；超过时，超过部分按每千米元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费元，则此次出租车行驶了          km．
14. 函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如：，若，则A中所有元素的和为          ．
15. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”是它的一个均值点，若函数是上的平均值函数，则实数m的取值范围是          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元盒、65元盒、80元盒、90元盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的．

当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付          元；

在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为          ．

17. 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照中华人民共和国个人所得税法向国家缴纳个人所得税简称个税年1月1日起我国正式执行新个税法，个税的部分税率级距进一步优化调整，扩大、、三档低税率的级距，减税向中低收入人群倾斜税率与速算扣除数见如表：

小华的全年应纳税所得额为100000元，则全年应缴个税为元．
还有一种速算个税的办法：全年应纳税所得额对应档的税率对应档的速算扣除数，即小华全年应缴个税为元按照这一算法，当小李的全年应纳税所得额为200000元时，全年应缴个税为          ，表中的          ．

18. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润单位：万元与机器运转时间单位：年的关系为N则当每台机器运转          年时，年平均利润最大，最大值是          万元．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，万元在年产量不小于8万件时，万元每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
    写出年利润万元关于年产量万件的函数解析式；
    注：年利润年销售收入固定成本流动成本
    年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
    
    
    
    
    
    
     
20. 北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
    据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
    为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
    
    
    
    
    
    
     
21. 某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为吨．
    从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？
    若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．
    
    
    
    
    
    
     
22. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现：某珍稀水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入如培育管理、施肥等人工费元．已知这种水果的市场售价大约为15元千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为单位：元．
    求的函数关系式；
    当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
    
    
    
    
    
    
     
23. 对于函数，，，如果存在实数a，b使得，那么称为，的生成函数．
    设，，，，生成函数若不等式在上有解，求实数t的取值范围．
    设函数，，是否能够生成一个函数且同时满足：是偶函数；在区间上的最小值为，若能够生成，则求函数的解析式，否则说明理由．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的性质应用，考查函数的单调性，属于中档题．

由题意，求的增区间，再求的减区间，取其交集可得缓增区间． 

【解答】

解：在区间上是增函数，
，
对于函数，由对勾函数的性质可得该函数在和上是减函数，
故在和上是减函数，
故“缓增区间”I为，
故选D．

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查函数概念与性质的新定义问题，解题时要认真审题，解题的关键是判断出函数所满足的条件．
推导出“DM函数”的定义域内需有正有负，函数值有正有负，函数单调递增，由此即可得到答案．

【解答】

解：由定义域内存在实数x，使得的限制可知，定义域内需有正有负，且函数值有正有负，
由的限制可知，函数单调递增，
对于A，的定义域内有正有负，函数值有正有负，函数单调递增，故A成立；
对于B，不是单调递增函数，故B不成立；
对于C，的值域中没有负数，故C不成立；
对于D，的定义域中没有负数，故D不成立．
故选：A．

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】

由已知求出函数的解析式，列出不等式组求得函数定义域，通过换元利用二次函数的单调性求最值．
本题考查了函数的应用、二次函数的单调性，考查了换元方法、推理能力与计算能力，属于中档题．

【解答】

解：由题意，，，
则，
依题意得，解得，
故．
令，
则函数化为，
当，即时，．
所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．
故选：D．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题属于新定义题型，综合性较强，考查函数概念的理解和应用．
由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合，通过代入选项求解即可．

【解答】

解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．
通过代入和赋值的方法当，，0时，设为，
此时与x轴正半轴所成的圆心角分别为，，0，
然而此时时，都有2个y与之对应，
而函数的定义要求一个x只能对应一个y，
当，设与x轴正半轴所成的圆心角为，
，此时旋转，满足一个x只会对应一个y，
故选：B．

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，涉及到二次函数的性质，属于基础题．
设出矩形的宽为x米，则即可求出长为，并求出x的范围，然后表示出矩形的面积，利用二次函数的性质即可求解．

【解答】

解：设矩形的宽为x米，矩形的面积为S，
则由题意可得矩形的长为，则，
所以矩形的面积为，
因为，所以当时，
此时靠墙的一边长为25，满足题意，矩形面积取得最大值，
故选：B．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点，进而可解出．
本题考查了函数的性质，基本不等式，新概念的理解，属于拔高题．

【解答】

解：由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点，设的图象与函数，的图象关于原点对称，
令，则，，
，
故原题义等价于方程有零点，
解得，
又因，当且仅当时取等号，
．
故选：B．

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

两次去购物分别付款168元与423元，而423元是优惠后的付款价格，实际标价为元，如果他只去一次购买同样的商品即价值元的商品，按规定进行优惠计算即可．
本题主要考查了根据实际问题选择函数类型，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，求解，属于中档题．

【解答】

解：某人两次去购物，分别付款168元与423元，由于商场的优惠规定，168元的商品未优惠，而423元的商品是按九折优惠后的，则实际商品价格为元，
如果他只去一次购买同样的商品即价值元的商品时，应付款为：
元．
故选：C．

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的实际应用，考查计算能力，属于中档题．
先求出纳税额元与稿费元之间的函数关系，分别求出和的x值，即可得到答案．

【解答】

解：由题意知，纳税额元与稿费元之间的函数关系式为
令，解得，
令，得舍去．
故这个人应得稿费扣税前元，
故选C．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数，在解答的过程当中充分体现了应用题的特性、分段函数的知识以及问题转化的思想，属于基础题．
已知函数值求自变量的问题，分类讨论求解即可．

【解答】

解：令，若，则，不合题意；
若，则，满足题意；
若，则，不合题意．
故拟录用人数为25．
故选：C．

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数的最值的求法和最大温差的理解，属于基础题．
根据函数关系是，求解最大值和最小值之差，可得最大温差．

【解答】

解：由题意，
，
当时，气温最高为43，
当时，气温最低为，
那么最大温差为．
故选：C．

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数在闭区间上的最值，属于拔高题．
由二次函数对称轴与区间的位置关系判断函数的单调性求出最大值，最小值即可得解．

【解答】

解：的对称轴为，
所以在递增，在递减
所以，，
所以在该时段的最大温差是．

故选C

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是分段函数的应用，属于基础题．
设该居民这个月用电为x度，该居民这个月交纳的电费为380元，由题意列出一元一次方程，再解此方程即可得出该居民这个月用电量．

【解答】

解：设该居民这个月用电为x度，
因为不超过230度的部分电费最多为元，
超过230度但不超过400度的部分电费最多为元，
则有，
解得度．
故选D．

13.【答案】9
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的实际应用，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
设出租车行驶时，付费y元，则令即可求解．

【解答】

解：设出租车行驶时，付费y元，
则
由，当时，，
所以令，
解得．
故答案为9．

14.【答案】12
 

【解析】

【分析】

推导出1，2，3，，由此能求出A中所有元素的和．
本题考查集合的新定义问题，考查元素的求法，是中档题．

【解答】

解：函数的函数值表示不超过x的最大整数，
1，2，3，，
则A中所有元素的和为．
故答案为12．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

根据题意，若函数是上的平均值函数，方程，即在内有实数根，若函数在内有零点．首先满足：，解得，或．
，，对称轴：对m分类讨论即可得出．
本题考查了新定义、二次函数的性质、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

【解答】

解：根据题意，若函数是上的平均值函数，
则方程，即在内有实数根，
若函数在内有零点．
则，解得，或．
，，．
对称轴：．
时，，，，因此此时函数在内一定有零点．满足条件．
时，，由于，因此函数在内不可能有零点，舍去．
综上可得：实数m的取值范围是．
故答案为：．

16.【答案】130

15

【解析】

【分析】

本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题．
由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值；
在促销活动中，设订单总金额为m元，讨论m的范围，可得，解不等式，结合恒成立思想，可得x的最大值．

【解答】

解：当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得元，
即有顾客需要支付元；
在促销活动中，设订单总金额为m元，
当时，显然符合题意；
当时，
可得，
即有，
可得，
则x的最大值为15元．
故答案为：130；15．

17.【答案】23080

52920

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数在生产生活中的实际运用问题，也考查了运算求解能力和应用意识，是中档题．
根据全年应纳税所得额对应档的税率对应档的速算扣除数，计算小李的全年应纳税所得额为200000元时应缴个税值；
计算全年应纳税所得额为500000元时应缴个税数，列方程求出N的值．

【解答】

解：根据速算个税的办法：全年应纳税所得额对应档的税率对应档的速算扣除数，
可得小李的全年应纳税所得额为200000元时，
应缴个税为元；
当全年应纳税所得额为500000元时，即全年应缴个税为
，
解得元．
故答案为：23080；52920．

18.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值．
先确定年平均利润函数，然后利用基本不等式求函数的最值，即可得到结论．

【解答】

解：根据题意，年平均利润为，
，，当且仅当时，取等号，
当时，年平均利润最大，最大值是万元．
故答案为5；8．

19.【答案】解：因为每件产品售价为5元，则万件商品销售收入为5x万元，依题意得：
当时，，
当时，，
．
当时，，此时，当时，取得最大值9；
当时，，
此时，当即时，取得最大值15；
，
年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元．
 

【解析】本题考查运用分段函数模型解决实际问题，属于中档题．
根据年利润年销售收入固定成本流动成本，分和两种情况得到与x的分段函数关系式；
当时，根据二次函数求最大值的方法来求的最大值，当时，利用基本不等式来求的最大值，最后综合即可．
 

20.【答案】解：设商品每件定价为t元，依题意得，
整理得 ，解得．
所以要使销售的总收入不低于原收入，商品每件定价最多为40元．
依题意知当时，不等式有解，
等价于时，有解．
由于 ，当且仅当，即时等号成立，所以．
当该商品改革后的销售量a至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
 

【解析】本题考查函数模型的应用，考查基本不等式的应用，解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义．
设商品每件定价为t元，可得提高价格后的销售量，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得商品每件最高定价；
依题意，时，不等式有解，等价于时，有解，利用基本不等式，可以求得结论．
 

21.【答案】解：设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，

则，，

令，则，即，，
所以，

所以当，即时，，

即从供水开始到第6小时时，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是40吨．

由及题意得，
即，又，

解得，即，．

因为，所以每天约有8小时出现供水紧张现象．

【解析】本题主要考查函数模型的选择与应用，考查二次函数的最值，考查解一元二次不等式，属于一般题．
根据题意先设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨写出蓄水池中的存水量的函数表达式，再利用换元法求此函数的最小值即得；
先由题意得：时，就会出现供水紧张由此建立关于x的不等关系，最后解此不等式即得一天中会有多少小时出现这种供水紧张的现象．
 

22.【答案】解：．
由得

， 

当时，；

当时， ，

当且仅当时，即时等号成立．

因为，所以当时，．

故当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元．
 

【解析】本题考查了分段函数模型的应用和基本不等式在实际中的应用．
用销售额减去成本投入得出利润的解析式；
分别讨论函数在各段的最大值，比较最大值即可得到答案．
 

23.【答案】解：由题意可得，，，，，
所以，
不等式在上有解，
等价于在上有解，
令，则，
由在上单调递减，
所以当时，y取得最大值，
故．
设，
则．
由，得，
整理得，
即，
即对任意x恒成立，
所以．
所以
．
设，，
令，
则，
由对勾函数的性质可知y在单调递减，上单调递增，
在单调递增，
，
且当时取到“”．
，
又在区间的最小值为，
，且，此时，．
所以．
 

【解析】根据题意新定义得到的解析式，然后将问题转化为在上有解，利用换元法转化为二次函数求解最值即可；
利用待定系数法设，利用，得到对任意x恒成立，从而得到，再利用换元法以及双勾函数的性质进行分析求解，即可得到答案．
本题考查了函数的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．