高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形同步达标检测题

8.1基本立体图形同步练习人教 A版（2019）高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，则图中三角形正四面体的截面的面积是 

A.
B.
C.
D.

2. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，过直线BD的平面平面AMN，则平面截该正方体所得截面的面积为       

A.
B.
C.
D.

3. 正方体中，分别是的中点，那么正方体的过的截面图形是    

A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形

4. 已知正方体的棱长为2，M为的中点，点N在侧面内，若，则面积的最小值为     

A.  B.  C. 1 D. 5

5. 如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为

A. 梯形
B. 平行四边形
C. 可能是梯形也可能是平行四边形
D. 不确定
 

6. 给出下列命题中正确的是

A. 棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
B. 底面是矩形的平行六面体是长方体
C. 棱柱的底面一定是平行四边形
D. 棱锥的底面一定是三角形

7. 下列命题中正确的是     

A. 三棱柱的侧面为三角形
B. 棱台的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
C. 棱台的底面是两个相似的正方形
D. 棱锥的侧面和底面可以都是三角形

8. 正方体的棱长为2，E是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为     

A.  B.  C.  D. 5

9. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为   

A.  B.  C.  D.

10. 九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是

A. 4
B. 8
C. 12
D. 16

11. 上、下底面面积分别为和，母线长为5的圆台，两底面间的距离为     

A. 4 B.  C.  D.

12. 下列关于棱柱的说法中，错误的是       

A. 三棱柱的底面为三角形
B. 一个棱柱至少有五个面
C. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D. 五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则          ．
    
    
    
    
     

14. 已知直四棱柱的棱长均为2，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为          ．
15. 已知圆台一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为，母线与轴的夹角为，则这个圆台的轴截面的面积等于          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”图半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为则该半正多面体共有          个面，其棱长为          ．

17. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为，高为1，E和F是底面圆周上两点，则圆锥PO的侧面展开图的圆心角为          ；面积的最大值为          ．
18. 圆柱内有一个内接长方体，长方体的体对角线长是，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是，则圆柱的底面半径为          cm，高为          cm．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 如图所示，已知圆锥SO中，底面半径，母线长，M为母线SA上的一个点，且，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点求：
    

绳子的最短长度的平方；

绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；

的最大值．






 

20. 如图所示，在直角三角形ABC中，，，．

若以AC所在直线为轴，将直角三角形ABC旋转一周，试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积；

一只蚂蚁在形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B，求蚂蚁爬行的最短距离．

21. 试从正方体的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．
     

只有一个面是等边三角形的三棱锥．

四个面都是等边三角形的三棱锥．

三棱柱．






 

22. 如图所示，将曲边图形ABCDE绕AE所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单的几何体构成的？其中，曲边DE为四分之一圆周且圆心在AE上．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图所示，今有一正方体木料，其中E，F分别是AB，CB的中点，要过，E，F三点将木料锯开，请你帮助木工师傅想办法，怎样画线才能顺利完成？
    
     

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查正四面体与其外接球的关系、截面面积的求法，属于中档题．
由题意可得球的内接正四面体，画出图形是解题的关键，的面积即为所求截面的面积，可求得，又，由三角形的面积公式即可求解．
【解答】
解：由题意可得球的内接正四面体如图所示，

的面积即为所求截面的面积，
由图可知，
又，
所以的面积为，
故选C．  

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查面面平行和求平行截面的面积，属于基础题．
先证明得到面平面AMN，即平面为平面得四边形BDPQ为梯形，进而求出其面积．

【解答】

解：设，的中点分别为P，Q，连接PQ，PD，NP，QB，．
易知，且平面AMN，平面AMN，
所以平面AMN，
因为，，所以四边形ANPD为平行四边形，
则，且平面AMN，平面AMN，
所以平面AMN，
又BD和DP为平面BDPQ内的两条相交直线，
所以平面平面AMN，
即平面为平面BDPQ．
由，，得四边形BDPQ为梯形，
其高，
所以平面截该正方体所得截面的面积为．
故选B．

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查正方体的截面，考查平面的基本定理，属于中档题．
取的中点M，连接RM，证得P，Q，R，M共面，再取，的中点S，N，连接SR，PS，QN，MN，QR，，，证得P，Q，N，M，R，S共面，即可得出结论．

【解答】

解：如图，

取的中点M，连接RM，
分别是的中点，
在正方体中，，，
，Q，R，M共面，
再取，的中点S，N，连接SR，PS，QN，MN，QR，，，
在正方体中，且，
，Q，N，M，R，S共面，
则六边形QPSRMN即为所求截面，
所以该正方体过的截面图形是六边形，
故选D．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题简单多面体及其结构特征，三角形面积公式的应用，属于中档题．
取的中点为，易知，求出点N的轨迹为线段，易知为直角三角形，得出结果．

【解答】

解：取的中点为，易知，
点P为AD的中点，则在正方形中，
即，所以，点N的轨迹为线段，
易知为直角三角形，当时，NA取最小值，
此时面积最小，最小值为．
故选B．

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查长方体的结构特征以及面面平行的性质，属于基础题．
根据长方体的结构特征以及面面平行的性质得到，，故为平行四边形．

【解答】

解：长方体的前后两个平行的侧面同时和该截面所在平面相交，则交线平行，
即，
长方体的左右两个平行的侧面同时和该截面所在的平面相交，则交线平行，
即，
故四边形EFGH为平行四边形．
故选B．

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】

利用棱柱、长方体、平行六面体、棱锥的结构特征求解．
本题考查命题真假的判断，是基础题．

【解答】解：平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成两个棱柱，故A正确；
三棱柱的底面是三角形，故C错误；
底面是矩形的平行六面体的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故B错误；
四棱锥的底面是四边形，故D错误．
故选：A．  

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查简单多面体棱柱、棱锥、棱台及其结构特征，为基础题．
根据题意一一判断即可．

【解答】

解：三棱柱的侧面都是平行四边形，故A错；
由棱台的定义可知B错；
棱台的底面只需是两个相似的多边形即可，故C错；
对于三棱锥，每一个面都可以作为底面，其余的为侧面，此时，侧面和底面都是三角形，故D正确．
故选D．

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查简单多面体棱柱、棱锥、棱台及其结构特征，平面的基本性质及应用，属于基础题．
由题意，根据正方体的结构特征和平面的基本性质可得截面是菱形，计算可得结论．

【解答】

解：如图所示，设F为的中点，连接，
设G为的中点，连接，

由且，得四边形ABGE是平行四边形，
则且，

又且，得且，
则共面，

故平面截该正方体所得的截面为．

又，，，，

故截面的面积为．
故选：B．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．
本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题．

【解答】

解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为，
则依题意有：
因此有负值舍去；
故选：C．

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了新定义，考查了棱柱的结构特征，考查线面垂直的运用，属于中档题．
根据新定义和正六棱柱的性质可得答案．

【解答】

解：根据正六边形的性质，

当为底面矩形，有、、、，4个满足题意，
当为底面矩形，有、、、，4个满足题意，
当为底面矩形，有、、、，个满足题意，
当为底面矩形，有、、、，个满足题意，
故共有16个阳马满足题意．
故选：D．

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查圆台的结构特征，属于中档题．
根据已知条件和圆台的结构特征作出相关图形，再求解即可．

【解答】

解：如图：

过点A作下底面于点C，连接BC，则AC即为两底面间的距离，
因为圆台的上、下底面面积分别为和，母线长为5，
所以上底面半径为6，下底面半径为7，，
则，
在直角中，由勾股定理得，
所以两底面间的距离为，
故选D．

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查几何体的结构特征，考查棱柱的概念，属于基础题．
直接利用空间几何体的概念进行判断即可．

【解答】

解：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，底面是三角形的棱柱叫做三棱柱，显然A正确；
底面边数最少的棱柱是三棱柱有五个面， B正确；
若斜棱柱的底面是正方形，有一对侧面垂直于底面，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，C错误；
根据五棱柱的定义，显然D正确；
故选C．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

根据条件可知D、E、F三点重合，分别求得BC、CF、BF即可．
本题考查三棱锥展开图，涉及余弦定理的应用，属于中档题．

【解答】

解：由已知得，，
因为D、E、F三点重合，所以，，
则在中，由余弦定理可得，
所以，
则在中，由余弦定理得，
故答案为：．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查空间中球与平面的交线问题，注意球心到面的距离和形成的交线位置与所对应的圆弧和圆心角，属于难题．
由已知得点到面的距离即为点到的距离，即为，则根据勾股定理可得截面的圆半径为 ，球与侧面所形成的交线为一段圆弧，其圆心角为，则根据弧长公式即可得解．

【解答】

解：直四棱柱棱长为2，底面是边长为2的菱形，侧面是边长为2的正方形，
又， 可得 ，
点到面的距离即为点到的距离，即为，

则根据勾股定理可得截面的圆半径为 ，
而，且，
则球与侧面所形成的交线为一段圆弧，其圆心角为 ，
故形成的交线长为 ．

故答案为．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了圆台的结构特征与应用问题，是中档题．
根据题意求出圆台的上、下底面半径，再计算轴截面的面积．

【解答】

解：设圆台的下底面半径为R，上底面半径为r，
由，得，
由圆台的高为，
母线与轴的夹角为，如图所示：

则，即，
解得，
所以，
所以圆台的轴截面的面积为
故答案为．

16.【答案】26

【解析】

【分析】

本题考查了几何体的内接多面体，属中档题．
中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有个面，下层也有个面，故共有26个面；中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的倍等于正方体的棱长．

【解答】

解：该半正多面体中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，
故该半正多面体共有个面；
设其棱长为x，因为每个顶点都在棱长为1的正方体上，
则，解得．
故答案为26；．

17.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查圆锥的结构特征及展开图，考查扇形圆心角求法，属基础题．
设侧面展开图的圆心角为，根据，即可求得侧面展开图的圆心角设圆锥PO经过PO，PE的截面为，求得得的顶角为，进而求得面积的最大值．

【解答】

解：由题意得圆锥的母线长为，
设侧面展开图的圆心角为，则如图，

PE和PF都是圆锥PO的母线，则，
设圆锥PO经过PO，PE的截面为，
在直角三角形POE中，，可得的顶角为，
所以面积的最大值为．
故答案为 ，2．

18.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查简单组合体及其结构特征、圆柱的侧面积，属于中档题．
根据题意得出，即可求出结果．

【解答】

解：设圆柱底面半径为r cm，高为h cm，如图所示，

则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，
则：
所以
即圆柱的底面半径为，高为．
故答案为5；10．

19.【答案】解：将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，
且弧的长度L就是圆O的周长，


．
．
由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，
其值为．
．
绳子最短时，在展开图中作，垂足为R，
则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，
在中，
，
，
即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为．
是增函数，
的最大值为．
 

【解析】本题在圆锥的表面拉一根绳子，求绳子长度的最小值．着重考查了圆锥的侧面展开、勾股定理与三角形面积公式等知识，属于中档题．
算出侧面展开扇形圆心角，因此将圆锥侧面展开，可得绳子的最短长度为中斜边AM的长，由此利用勾股定理即可算出的表达式；
由平面几何性质，可得绳子最短时定点S到绳子的最短距离等于的斜边上的高，利用三角形面积等积变换求解，可得这个最短距离的表达式；
由于在区间上是一个增函数，可得当时，的最大值等于32．
 

20.【答案】解：在中，，
则，
所以，
故以AC为轴，将直角三角形ABC旋转一周时，
所得几何体为底面半径为，高为的圆锥，如图1所示，
因为，所以，
故AB，
故该圆锥母线长为，
故其表面积为．
 

沿该圆锥的母线AB将该圆锥剪开，
作出该圆锥的侧面展开图，
其中点与点B在剪开前重合，
连接，如图2所示，
则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短距离，
设，则，
即，解得，
而，
在中，由余弦定理可得
，
所以

，
即蚂蚁爬行的最短距离为．
 

【解析】本题主要考查空间几何体的结构、余弦定理的应用以及空间几何体的表面积与体积，以及旋转体上最短距离问题，属于中档题．
求出AC的长度后，根据旋转的性质知所得几何体为圆锥，且底面半径为，高为，求出该圆锥的母线AB的长度后，即可求出其表面积．
作出该圆锥的侧面展开图后，根据两点之间线段最短可求出蚂蚁爬行的最短距离．
 

21.【答案】解：如图所示，三棱锥．

如图所示，三棱锥．

如图所示，三棱柱．

 

【解析】本题主要考查空间几何体的几何特征及柱体锥体的定义，属于基础题．
根据三棱锥的定义及正方体的性质可得；
根据三棱锥的定义及正方体的性质可得；
根据三棱柱的定义及正方体的性质可得．
 

22.【答案】解：由题意，将直线段AB，BC，CD及曲线段DE分别绕AE所在的直线旋转，
如图所示，它们分别旋转得圆锥、圆台、圆柱以及半球．

所以：将曲边图形ABCDE绕AE所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由圆锥、圆台、圆柱以及半球构成的．
 

【解析】本题考查旋转体圆柱、圆锥、圆台、球及其结构特征，属于中档题．
根据题意，即可得解．
 

23.【答案】解：画法：连接EF，交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点O，
连接交于点M，连接交于点N；
连接MF，NE．
则，MF，FE，EN，即为木工师傅所要画的线．
如图所示：

 

【解析】本题主要考查几何体中的截面问题，考查了学生的分析能力与空间想象能力，属基础题．
根据题意作延长线依次连接正方体棱长上的点即可得木工师傅所要锯的截面．