数学必修 第一册3.3 函数的应用(一)当堂达标检测题

3.1.2函数的单调性同步练习人教版  B(2019)高中数学必修第一册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则

A.  B. 1 C. 17 D. 25

2. 已知函数，且，则 

A.  B.  C.  D.

3. 已知函数是定义在上的减函数，则实数a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

4. 若函数在区间上的最大值为，则实数   

A. 3 B.  C. 2 D. 或3

5. 已知函数在区间上是增函数，那么下列不等式中成立的是 

A.  B.
C.  D.

6. 已知函数，则该函数的单调递增区间为    

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数有最小值，则a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

8. 函数在上是减函数，则

A.  B.  C.  D.

9. 定义在R上的函数对任意两个不相等实数a，b，总有成立，则必有 

A. 在R上是增函数 B. 在R上是减函数
C. 函数是先增加后减少 D. 函数是先减少后增加

10. 已知函数在R上为增函数，若不等式对恒成立，则a的取值范围为   

A.  B.  C.  D.

11. 下列函数中，在区间上单调递增的是

A.  B.
C.  D.

12. 函数在区间上的最大值是5，最小值是1，则m的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 函数在上的最大值是          ．
14. 已知函数，若对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是          ．
15. 函数在上的最大值是          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 函数在区间上的平均变化率为          ，当，时平均变化率的值为          ．
17. 已知函数，当时，           ；若，则           ．
18. 已知函数，则的值域是          ，不等式的解集是          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知函数．
    判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论．
    求该函数在区间上的最大值与最小值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 求证：函数在上是减函数，在上是增函数．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知在定义域上是减函数，且，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知定义在区间上的函数满足，且当时，．

Ⅰ求的值；

Ⅱ 判断的单调性并予以证明；

Ⅲ若解不等式．






 

23. 已知函数

若时，求函数的最值．

若记函数的最小值为，求关于a的解析式．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查二次函数的单调性，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
利用二次函数的性质得，则，从而求出．

【解答】

解：由题意知函数的对称轴方程为，
，
，
．
故选D．

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，是中档题，
令，求出的单调性和奇偶性，问题转化为，从而确定答案即可．

【解答】

解：令，
则，是奇函数，
而函数为单调递增函数，函数为单调递增函数，
故在R上单调递增，
则，
故，
故，，
故选：A．

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】

根据题意，结合函数单调性的定义可得，解可得a的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的单调性的性质，涉及分段函数的性质，属于中档．

【解答】

解：根据题意，函数是定义在上的减函数，
则有，解得：，即a的取值范围为，
故选D．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了复合函数的单调性，属于中档题．
先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可．

【解答】

解：函数，
由复合函数的单调性知，
当时，在上单调递减函数，最大值为
当时，在上单调递增函数，最大值为，即，显然不合题意；
当时，，，不符合题意舍去；
故实数．
故选B．

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查增函数的定义：定义域内的两个变量，则，属于基础题．
根据在上是增函数，所以比较4，，3，，，这几个数的大小即可得到对应函数值的关系．

【解答】

解：在上是增函数，
A.，，所以该选项错误；
B.，，所以该选项错误；
C.，，所以该选项错误；
D.，，所以该选项正确．
故选D．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的单调性与单调区间，复合函数的单调性，属于基础题，
函数是由和函数复合而成，利用复合函数的单调性，可得答案．

【解答】

解：由，
解得或，所以函数的定义域为．
令，则函数是由和复合而成，
在定义域上单调递增，而函数在上是增函数，
根据复合函数单调性可知，函数的单调递增区间为．
故选B．

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数的最值问题，考查了分类讨论思想．
先求出时的最小值，然后对a与1的关系讨论，根据函数的性质即可求解．

【解答】

解：当时，，
此时，
而当时，
时，为常函数，此时在R上满足函数有最小值为，
时，函数此时为单调的一次函数，要满足在R上有最小值，
只需，解得，
综上，满足题意的实数a的取值范围为：，
故选：C．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性，一次函数的单调性的判断，关键在于看一次项系数的正负，属于基础题．
由于x的次数为一次，故函数为单调减函数时，一次项的系数小于0，由此可得解．

【解答】

解：函数在上是减函数，
，
，
故选D．

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查函数单调性的定义，属于基础题．
根据单调性定义确定函数单调性，进而确定选项．

【解答】

解：若则由题意知，一定有成立，
由增函数的定义知，该函数在R上是增函数；
同理若，则一定有成立，即该函数在R上是增函数．
所以函数在R上是增函数．
故选A．

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性、不等式恒成立问题，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于中档题．
根据已知条件将问题转化为只需满足，即对恒成立，再利用二次函数的性质求得值域即可得a的取值范围．

【解答】

解：函数在R上为增函数，
故若不等式对恒成立，
只需满足，即对恒成立．
设，，
因为函数的对称轴为：且开口向上，
所以其值域为，
则，即，
故选D．

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的单调性的判断．
结合一次函数，二次函数及反比例函数的图象及图象变换分别进行判断即可．

【解答】

解：由一次函数的性质可知，在区间上单调递减，故A错误；
由反比例函数的性质可知，在区间上单调递减，故B错误
由二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
由一次函数的性质及图象的变换可知，在上单调递增．
故选：D．

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查二次函数的性质应用，属于基础题．
由函数的解析式可得函数的对称轴为，此时，函数取得最小值为1，当或时，函数值等于5，结合题意求得m的范围． 

【解答】

解：函数的对称轴为，
此时，函数取得最小值为1，
当或时，函数值等于5．
且在区间上的最大值为5，最小值为1，
实数m的取值范围是．
故选B．

13.【答案】6
 

【解析】

【分析】

此题考查二次函数的最值问题，可根据二次函数的性质，结合自变量的取值范围解答．
先求对称轴方程，再根据二次函数的性质，结合x的取值范围求解．

【解答】

解：函数的对称轴方程为．
易知函数的开口向上，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，．
所以函数在上的最大值是6；
故答案为6．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数的应用，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
由已知可得函数在R上为增函数，则分段函数的每一段均为增函数，且在分界点左段函数不大于右段函数的值，进而得到实数a的取值范围．

【解答】

解：对任意，都有成立，则函数在R上为增函数，

故，解得．
故答案为．

15.【答案】6
 

【解析】

【分析】

本题考查二次函数闭区间上的最值的求法，注意对称轴与函数的单调性的应用．
求出函数的对称轴，通过函数的开口方向，利用函数的单调性，求解函数的最大值．

【解答】

解：函数的对称轴为，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以，
故答案为6．

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查函数的平均变化率，属于一般题．

函数在区间上的平均变化率为当，时，代入即可求解．

【解答】

解：函数在区间上的平均变化率为

．
当，时，
函数在区间上的平均变化率为．
故答案为；．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于拔高题．
对于第一空：当时，可得函数的解析式，先由函数的解析式求出的值，进而计算可得答案；
对于第二空：分与两种情况讨论，求出函数的最大值，即可得关于a的方程，求出a的值，综合可得答案．

【解答】

解：根据题意，当时，，
则，则，
函数，
当时，在区间上递增，且有，
在区间上递增，有，
在区间上递减，有，
则的最大值为1，则有，解可得；
当时，在区间上递增，在区间上递减，有，
在区间上递增，有，在区间上递减，有，
又由，则的最大值为，则有，解可得或舍，
此时，
综合可得：，
故答案为：；．

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的值域及不等式求解，属于中档题．
写出分段解析式容易求出其值域，根据其单调性分类讨论即可解不等式．

【解答】

解：
故的值域是，
显然当或时，不等式无解；
当时，等价于，即，
所以此时
当时， ，所以，
等价于，得，
此时
综上所述的解集是
故答案为；．

19.【答案】解：函数在上是增函数，
证明如下：任取，，且，
，
，，
所以，即，
所以函数在上是增函数；
由知函数在上是增函数，
最大值，最小值．
 

【解析】本题主要考查函数的单调性和最大小值，属于中档题．
根据增函数的定义进行判断和证明；
利用的结论，利用函数的单调性，进行求解即可．
 

20.【答案】证明：对于任意的，，且，

有．

因为，所以，，．

所以，即

所以函数在上是增函数．

对于任意的，，且，有

．

因为，所以，，x3x4．

所以，即

所以函数在上是减函数．

【解析】本题考查利用定义来证明函数的单调性问题，是基础题．
根据题意利用定义证明函数的单调性，基本步骤是取值、作差、变形、判正负和下结论即可．
 

21.【答案】解：由题意可知，
解得．
即a的取值范围为．
 

【解析】本题主要考查了利用函数的单调性解函数不等式，属于基础题．
根据函数的单调性以及定义域列出不等式组，求解即可．
 

22.【答案】解：令，代入得，故．

函数在区间上单调递减，证明如下：
任取，且则，由于当时，，

所以，即，因此．

所以函数在区间上单调递减．

由得，
而，
所以．

由函数在区间上单调递减，且，

可得，即，
因此不等式的解集为．

【解析】本题主要考查抽象函数求值和单调性的问题．根据函数单调性解不等式是考查的重点．
令代入可得；
任取，且，  则，，代入即可得证．
先根据，将化为，进而由函数的单调性解不等式．
 

23.【答案】解：当时，，其对称轴为，
由于函数在上递减，在递增，
的最大值为，的最小值为；
由其对称轴为，
当时，即时，在上是递增的，
当时，即时，在上递减，在递增，，
当时，即时，在上递减，
，
综上：．
 

【解析】本题考查了二次函数在指定区间上的最值问题，利用对称轴与区间的关系讨论单调性，再求最值．

根据二次函数的性质即可求出最值．

借助于函数的图象研究单调性，确定最小值，主要是从开口方向、对称轴与区间的关系来确定函数的最小值．