人教B版 (2019)3.3 函数的应用(一)复习练习题

3.1.3函数的奇偶性同步练习人教 B版（2019）高中数学必修第一册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 二次函数是区间上的偶函数，若函数，则，，的大小关系为 

A.  B.
C.  D.

2. 设奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为

A.  B.
C.  D.

3. 在定义域内既是奇函数又是减函数的是 

A.  B.
C.  D.

4. 已知是定义域为R的奇函数，若为偶函数，，则

A.  B.  C. 0 D. 1

5. 定义域是R的函数满足，当时，若时，有解，则实数t的取值范围是

A.  B. ，
C. ， D. ，

6. 设是定义在R上的奇函数，当时，，则

A.  B.  C. 1 D. 3

7. 已知函数，若，则    ．

A. 1 B.  C. 3 D.

8. 若是偶函数且在上减函数，又，则不等式的解集为 

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

9. 函数与的图象如左图，则函数的图象可能是 

A.  B.
C.  D.

10. 函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为

A.  B. ，或
C.  D. ，或

11. 函数的奇偶性是

A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既不是奇函数也不是偶函数 D. 既是奇函数也是偶函数

12. 已知函数，若，则的值为 

A. 2 B.  C. 1 D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 函数，满足，则的值为          ．
14. 已知函数是定义在R上的奇函数，若时，，则          ．
15. 函数是定义在R上的奇函数，当时，，则在R上的解析式为          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 已知则          ，的最小值为          
17. 函数的图象的对称中心的坐标是          ；对称轴方程是          ．
18. 已知的图像如图，则的图像是          ；的图像是          ；的图像是          ；的图像是          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．
    若，
    求此函数图象的对称中心；
    求的值．
    类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知是定义在R上的奇函数，且．
    求m，n的值；
    用定义证明在上为增函数；
    若对恒成立，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数的图象关于原点对称，且当时，试求在R上的解析式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．
    
    
    
    
    
    
     
22. 设是偶函数，是奇函数，且，求函数与的解析式．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知定义在R上的函数满足：对任意x，，有当时，且 两个条件，
    求证：；
    判断函数的奇偶性；
    解不等式．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的奇偶性的应用，二次函数的图象和性质，属于中档题．
由条件可得，求得，可得，再利用二次函数的图象和性质求得，，的大小关系．

【解答】

解：由于二次函数是区间上的偶函数，
故有，解得或舍去．
，
为二次函数，
它的图象的对称轴为，且图象为开口向上的抛物线．
又，
，
故选C．

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题．
根据函数为奇函数，且在上单调递增，可得在上也单调递增，将不等式分成两类加以分析，再根据函数的单调性及，可以得出相应的解集．

【解答】

解：为奇函数，且在上单调递增，
可得在上也单调递增，
，，
，
即或 
又函数在和上均单调递增，且
解得：
故选：D．

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，属于中档题．
根据函数的奇偶性和单调性逐项判断即可．

【解答】

解：A．在定义域内没有单调性，所以该选项错误；
B.时，，时，，所以该函数在定义域内不是减函数，该选项错误；
C.的定义域为R，令，则，
所以该函数为奇函数；
又
所以该函数在和上都是减函数，且，
所以该函数在定义域R上为减函数，该选项正确；
D.，因为，
所以该函数在定义域R上不是减函数，该选项错误．
故选C．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用函数的奇偶性及周期性求解函数值，体现了转化思想的应用．
由已知，可知关于原点对称，且关于对称，从而可求函数的周期，结合及，即可求解．

【解答】

解：因为是定义域为R的奇函数，且为偶函数，
所以关于原点对称，且关于对称，即，
所以，即，即函数的周期，
因为，
所以


．
故选：B．

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】

由题意可知函数是R上的奇函数，画出函数在上的大致图象，得到当时，，由题意可知，从而求出t的取值范围．
本题主要考查了分段函数的应用，考查了解不等式，是较难题．

【解答】

解：定义域是R的函数满足，
函数是R上的奇函数，
又当时，
利用函数的奇偶性画出函数在上的大致图象，如图所示：，
当时，，
若时，有解，
，即，
解得或，
故选B．

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】

要计算的值，根据是定义在R上的奇函数，我们可以先计算的值，再利用奇函数的性质进行求解，当时，，代入即可得到答案．
本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数的奇偶性的性质是解答本题的关键．

【解答】

解：当时，，
，
又是定义在R上的奇函数

故选：A．
 

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性在求值中的应用，根据奇函数的性质即可求解．

【解答】

解：，
，
故选C．

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
利用是偶函数，，不等式转化为，再利用函数的单调性，即可求得结论．
【解答】
解：是偶函数，，
，

，
，
在上减函数，
，
或，
不等式的解集为或，
故选：C．

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数图象的识别和判断，考查了函数的奇偶性和定义域，属于中档题．
利用函数的奇偶性和定义域进行排除即可．

【解答】

解：由图象可知为偶函数，为奇函数，
所以为奇函数，排除B，
因为函数的定义域为，
所以函数的定义域为，排除C，D，
故选A．

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质求出a，b的关系和符号是解决本题的关键．
根据函数奇偶性和单调性的关系，判断a，b的关系和符号，进而解一元二次不等式即可．

【解答】

解：，
函数为偶函数，
，即，
得，即，则，
则，
在单调递增，
，
由得，
即，
得，得或，
即不等式的解集为，或，
故选：D．

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】

先求出函数的定义域关于原点对称，可得，再由，可得是奇函数．
本题主要考查判断函数的奇偶性的方法，注意应先考查函数的定义域是否关于原点对称，再看与的关系，从而根据函数的奇偶性的定义，做出判断．当函数的定义域不关于原点对称时，此函数一定是非奇非偶函数，属于基础题．

【解答】

解：函数，，解得，且．
故函数的定义域为，关于原点对称，
．
又，故是奇函数．
故选：A．

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查利用函数的奇偶性求函数值，推导出函数的奇偶性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
判断出函数是奇函数，从而根据的值可求出的值．

【解答】

解：函数的定义域为R，
，

函数为奇函数，
则．

故选：B．

13.【答案】10
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数值的求解，属于基础题．
运用，当时整体求解．

【解答】

解：函数，
，
，，
故答案为10．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的奇偶性，属于基础题．
由奇函数的定义可得 ，代入可得结果．

【解答】

解：因为函数是定义在R上的奇函数，且时，， 
所以．
故答案为．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了利用函数奇偶性求函数解析式的问题，属于一般题利用已知条件：当时， x和函数是定义在R上的奇函数，化简即可获得时的解析式，进而即可得到结果．

【解答】

解：由题意可知：
函数是定义在R上的奇函数，

当时，任设，

则，

又因为：当时，， 

所以：，

又因为函数是定义在R上的奇函数，
，
，
所以函数在上的解析式为：，
因此函数在R上的解析式为．
故答案为．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质和函数的单调性，属中档题．
由分段函数的特点易得的值；由二次函数和对勾函数的单调性即可得到答案．

【解答】

解： 因为，
所以；
由题易知，函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以的最小值为，
故答案为；．

17.【答案】

或

【解析】

【分析】

本题考查反比例型函数图象的对称中心和对称轴方程的求解，属于中档题．

将函数解析式变形为，在函数的图象上进行平移变换可得出函数的图象，再结合函数的对称中心和对称轴方程可得出函数图象的对称中心和对称轴方程．

【解答】

解：，

由于函数图象的对称中心为坐标原点，对称轴方程为，

将函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到函数的图象，

所以，函数的图象的对称中心的坐标是，对称轴方程为或，即或．

故答案为：；或．

18.【答案】   

【解析】

【分析】

本题考查的是图像的对称变换，属于中档题．

根据、、、与的图像的关系选择即可．

【解答】

解：因为的图像与的图像关于y轴对称，故的图像是

因为的图像与的图像关于x轴对称，故的图像是

当时，的图像与的图像相同，然后是偶函数，故的图像是

保留图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分翻折到x轴上方，得到的图像就是的图像，故的图像是

故答案为：，，，．

19.【答案】解：函数图象的对称中心为，
因为为奇函数，
故，
故，
则，
即，
整理得，
故，解得，，
所以函数图象的对称中心为．
因为函数图象的对称中心为，
所以，
故



．
推论：函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数．
 

【解析】设的对称中心为，利用题中给出的信息可得为奇函数，从而得到，展开整理得到关于a和b方程，求解即可；
利用中的结论，可得，然后将根据进行变形，即可得到答案．
直接类比写出一个推论即可．
本题考查了函数奇偶性的应用、对称性的应用，解题的关键是正确理解题意，属于拔高题．
 

20.【答案】解：是定义在R上的奇函数，可得，即，解得，
又，即，解得，
故；
证明：由得，
设，
，
由，可得，，即，
则，
即，即，
所以在上为增函数；
若对恒成立，即为，
由在递增，可得的最大值为，
则，即，
则a的取值范围是．
 

【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明、应用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
由是定义在R上的奇函数，可得，可得m，再由，解得n；
运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；
由题意可得，由的单调性可得最大值，解不等式可得所求范围．
 

21.【答案】解：的图象关于原点对称，
是奇函数，
．
又在R上，
，解得．
设，则，
当时，，
，
，
．
图象如图所示，

由图象可知，函数的单调增区间为，；单调减区间为，．
 

【解析】本题考查函数解析式的确定，考查数形结合的数学思想，属于中档题．
确定函数为奇函数，设，则，利用函数解析式，可得结论，从而可得函数的图象，即可求得函数的单调区间．
 

22.【答案】解：依题意知，
又
所以即
由与解得：
 

【解析】本题考查了函数的奇偶性，考查了方程思想，解答此题的关键是借助于函数的奇偶性得到关于和的另外一个方程，是求函数解析式的一种方法．

题目给出了两函数解析式的和，可借助于和的奇偶性，得到关于和的另一方程，联立方程组求解即可．

23.【答案】证明：令，

解：令


函数是奇函数
解：在R上任取则，

当时，，
，即，
为R上的减函数
，
又， 
，
即，
，即
不等式的解集为：．
 

【解析】赋值法，令可证得；
令代入式子化简，结合函数奇偶性的定义，可得是奇函数；
在R上任取，由主条件构造，由时可证得函数的单调性，然后化简不等式，利用单调性去掉“f”，从而可求出不等式的解集．
本题考查抽象函数的性质，涉及函数奇偶性、单调性的判断，以及解抽象不等式，解此类题目，注意赋值法的运用，属于中档题．