北师大版必修52.1一元二次不等式的做法导学案及答案

§2　一元二次不等式

2.1　一元二次不等式的解法

1．一元二次不等式的有关概念

阅读教材P76例1以上，完成下列问题．

含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式叫作一元二次不等式．

思考：(1)“2x2－3y＋1＞0”是一元二次不等式吗？

[提示]　不是，因为不等式2x2－3y＋1＞0中含有两个未知数x和y.

(2)“3ax2＋3x＋2≤0”是一元二次不等式吗？

[提示]　不一定，当a＝0时，不是一元二次不等式；

当a≠0时，是一元二次不等式．

2．一元二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间的关系

阅读教材P76例1以下至P79小资料以上部分，完成下列问题．

思考：(1)若不等式ax2＋2x＋b＞0的解集为(x1，x2)，那么a的符号如何？

[提示]　a＜0

(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为(x1，x2)，那么函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点是什么？方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是什么？

[提示]　函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点是(x1,0)，(x2,0)，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是x1和x2.

1．下列不等式中是一元二次不等式的是(　　)

A．a2x2＋2≥0　　　　 B．<3

C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0

[答案]　C

2．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么实数a的值是________．

3　[由题知－7，－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两根．∴a＝3.]

3．不等式2x2＋5x－3＞0的解集是________．

　[2x2＋5x－3＝(2x－1)(x＋3)＞0，解得x＞或x＜－3，故解集为.]

4．不等式－6x2－x＋2≥0的解集是________．

　[原不等式等价于6x2＋x－2≤0,6x2＋x－2＝0的两根为x1＝－，x2＝，所以6x2＋x－2≤0的解集为.]

【例1】　解下列不等式：

(1)2x2＋5x－3＜0；

(2)－3x2＋6x≤2；

(3)4x2－4x＋1>0；

(4)－x2＋6x－10＞0.

[解]　(1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝2x2＋5x－3的图像，如图所示，用阴影部分描出原不等式的解，由图可得原不等式的解集为

.

(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝，作出函数y＝3x2－6x＋2的图像，如图所示，

由图可得原不等式的解集为

.

(3)因为Δ＝0，所以方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.作出函数y＝4x2－4x＋1的图像如图所示．

由图可得原不等式的解集为

.

(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，因为Δ＝－4<0，

所以方程x2－6x＋10＝0无实根，所以原不等式的解集为∅.

解一元二次不等式的一般步骤

(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零．

(2)计算对应方程的判别式．

(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．

(4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集．

1．(1)不等式(x＋1)(2－x)≤0的解集为(　　)

A．[－2,1]

B．[－1,2]

C．(－∞，－1]∪[2，＋∞)

D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)

(2)解不等式：－2<x2－3x≤10.

(1)C　[由(x＋1)(2－x)≤0，

得(x＋1)(x－2)≥0，

方程(x＋1)(x－2)＝0的解为x＝－1，x2＝2，函数y＝(x＋1)(x－2)的图像是开口向上的抛物线，与x轴的交点为(－1,0)和(2,0)．

观察图像可得，不等式的解集为{x|x≤－1或x≥2}．]

(2)[解]　原不等式等价于不等式组

不等式①可化为x2－3x＋2>0，解得x>2或x<1.

不等式②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5.

故原不等式的解集为[－2,1)∪(2,5]．

【例2】　若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．

[解]　由题意知所以

代入不等式cx2－bx＋a>0中得

ax2＋ax＋a>0(a<0)．

即x2＋x＋1<0，化简得x2＋5x＋6<0，

所以所求不等式的解集为{x|－3<x<－2}．

三个“二次”问题的解法

(1)已知一元二次方程的根，可以写出相应不等式的解集．反之，已知不等式的解集也可以写出相应二次方程的根，进一步可求得方程中的系数或得到系数之间的关系．

(2)解决此类问题，要注意隐含条件的提取，如本例借助不等式及其解集的对应关系得出“a＜0”这一关键信息，并由此得c＜0，从而解得不等式cx2＋bx＋a＜0.

2．已知不等式ax2＋bx＋2＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值．

[解]　法一：由题意知x1＝1，x2＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根，故，解得a＝1，b＝－3.

法二：由题意知x1＝1，x2＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根，由根与系数的关系得，解得a＝1，b＝－3.

[探究问题]

1．不等式(x－a)(x－a－1)＞0的解集是什么？

[提示]　{x|x＜a或x＞a＋1}．

2．不等式x(ax－1)＜0(其中a≠0)的解集是什么？

[提示]　当a＞0时，解集为；

当a＜0时，解集为.

3．方程x2＋ax＋1＝0是否有根？

[提示]　当Δ＝a2－4≥0，即a≥2或a≤－2时，方程x2＋ax＋1＝0有根，

当Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2时，方程x2＋ax＋1＝0无根．

4．不等式x2＋ax＋1＜0的解集是

吗？

[提示]　当Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，不等式的解集是

；

当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，不等式的解集是∅.

【例3】　解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)．

[解]　原不等式可化为(ax＋1)(x－1)＜0，

当a＝0时，x＜1；

当a＞0时，(x－1)＜0，∴－＜x＜1；

当a＝－1时，x≠1；

当－1＜a＜0时，(x－1)＞0，

∴x＞－或x＜1；

当a＜－1时，－＜1，∴x＞1或x＜－.

综上，

当a＝0时，原不等式的解集是{x|x＜1}；

当a＞0时，原不等式的解集是；

当a＝－1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；

当－1＜a＜0时，原不等式的解集是.

1．(变条件)把例3中的不等式换为：ax2－x－1＜0(a∈R)，解此不等式．

[解]　当a＝0时，不等式化为－x－1＜0，解得x＞－1，

当a＞0时，方程ax2－x－1＝0的Δ＝1＋4a＞0，则该方程有两个根，x1＝，x2＝，且x1＜x2，故不等式的解为＜x＜，

当a＜0时，方程ax2－x－1＝0的Δ＝1＋4a，

若Δ＝1＋4a＞0，即－＜a＜0时，方程ax2－x－1＝0

有两个根：x1＝，x2＝，且x1＞x2故不等式的解为x＜或x＞；

若Δ＝1＋4a＝0，即a＝－时，不等式化为x2＋4x＋4＞0，不等式的解为x∈R且x≠－2，

若Δ＝1＋4a＜0，即a＜－时，方程ax2－x－1＝0无解，则不等式ax2－x－1＜0的解集为R.

综上所述：

当a＞0时，原不等式解集为

，

当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＞－1}，

当－＜a＜0时，原不等式的解集为，

当a＝－时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－2}，

当a＜－时，原不等式的解集为R.

2．(变条件)把例3中的不等式换为：x2－(a＋a2)x＋a3＞0，解此不等式．

[解]　原不等式可化为(x－a)(x－a2)＞0，讨论a与a2的大小

(1)当a2＞a即a＞1或a＜0时，x＞a2或x＜a．

(2)当a2＝a即a＝0或a＝1时，x≠a．

(3)当a2＜a即0＜a＜1时，x＞a或x＜a2.

综上，当a＜0或a＞1时，解集为{x|x＞a2或x＜a}，

当a＝0或1时，解集为{x|x≠a}，

当0＜a＜1时，解集为{x|x＞a或x＜a2}．

1．若一元二次不等式中的系数是含有字母的代数式，则需对参数进行分类讨论．一般从以下三个方面进行分类讨论：

(1)以二次项系数与零的大小关系作为分类标准；

(2)以判别式与零的大小关系作为分类标准；

(3)若判别式大于零，但两根的大小不能确定，则再以两根的大小关系作为分类标准．

2．含参数的一元二次不等式的解题步骤为：①将二次项系数转化为正数．②判断相应方程是否有根．③根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异根，为了正确写出解集还要确定两根的大小．

1．解一元二次不等式应注意，当二次项系数为负数时，一般先化成正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．

2．解一元二次不等式要密切联系其所对应的一元二次方程以及二次函数的图像．一元二次方程的根就是二次函数图像与x轴交点的横坐标，对应不等式的解集，而方程的根就是不等式解集区间的端点．

3．解不等式ax2＋bx＋c>0(或ax2＋bx＋c<0)时要注意对参数分类讨论，讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即根的判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论.

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)设一元二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，则一元二次不等式f(x)＞0的解集不可能为{x|x1＜x＜x2}．(　　)

(2)不等式f(x)＝ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则f(x)＝0无零点．(　　)

(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像在x轴上方时点的横坐标x的集合．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√

[提示]　(1)错误．当f(x)二次项系数小于0时，f(x)＞0的解集是{x|x1＜x＜x2}，(2)(3)正确．

2．(2x－1)(3x＋1)>0的解集为(　　)

A． B．

C． D．

A　[由(2x－1)(3x＋1)>0，得x>，或x<－.]

3．若不等式ax2－x＋b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则a＋b＝________.

　[由题意知x1＝2，x2＝3是方程ax2－x＋b＝0的根，

由根与系数的关系得，解得a＝，b＝，故a＋b＝.]

4．解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a≤0.(a∈R)

[解]　不等式x2－(a＋1)x＋a≤0可化为(x－1)(x－a)≤0，

当a＞1时，不等式的解集为{x|1≤x≤a}；

当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}，

当a＜1时，不等式的解集为{x|a≤x≤1}．