2022版江苏高考数学一轮复习讲义：第8章 第5节 第2课时　直线与椭圆 Word版含答案学案

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第2课时　直线与椭圆

考点1　直线与椭圆的位置关系
　研究直线与椭圆位置关系的方法
直线与椭圆位置关系的判定方法，直线与椭圆方程联立，消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程时，设其判别式为Δ，
①Δ＞0⇔直线与椭圆相交．
②Δ＝0⇔直线与椭圆相切．
③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．
　1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m＞1　　　　　　　 B．m＞0
C．0＜m＜5且m≠1 D．m≥1且m≠5
D　[∵直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，
∴要使直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，
只需＋≤1，
即m≥1，
又m≠5，
故m的取值范围为m≥1且m≠5，故选D.]
2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解]　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数； (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
考点2　弦长及中点弦问题
　中点弦问题
　处理中点弦问题常用的求解方法

(1)过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是(　　)
A．4x＋3y－13＝0 B．3x＋4y－13＝0
C．4x－3y＋5＝0 D．3x－4y＋5＝0
(2)[一题多解](2019·惠州模拟)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为 ．
(1)B　(2)＋＝1　[(1)设所求直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由题意得
①－②得＋＝0，
又P(3,1)是AB的中点．
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，
∴kAB＝＝－.
故直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，
即3x＋4y－13＝0，故选B.
(2)法一：(直接法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，∴设椭圆方程为＋＝1(b>0)，由 消去x，
得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知＝1，
∴y1＋y2＝＝2，解得b2＝8.
∴所求椭圆方程为＋＝1.
法二：(点差法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，∴设椭圆的方程为＋＝1(b>0)．
设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②得
＋＝0，
即·＝－，
又∵弦AB的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2，
k＝＝3，代入上式得3×＝－，解得b2＝8，故所求的椭圆方程为＋＝1.]
　“点差法”的优点是设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
提醒：与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式kAB·kOM＝－，
即kAB＝－比较方便快捷，
其中点M的坐标为(x0，y0)．
[教师备选例题]
已知椭圆＋y2＝1.
(1)若过A(2,1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
(2)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程．
[解](1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点为M(x，y)，则x2＋x1＝2x，y2＋y1＝2y，由于点P，Q在椭圆上，则有：

①－②得＝－＝－，
所以－＝，
化简得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆＋y2＝1内部的部分)．
(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－＝－，
因此所求直线方程是y－＝－，
化简得2x＋4y－3＝0.
　1.(2019·江西五市联考)已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b0得－