数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试一课一练

这是一份数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试一课一练，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

章末综合检测(四)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|log2x＜1}，集合B＝{y|y＝}，则A∩B＝(　　)
A．(－∞，2)　 B．(－∞，2]
C．(0，2) D．[0，＋∞)
解析：选C．A＝{x|log2x＜1}＝(0，2)，B＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，所以A∩B＝(0，2).
2．已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是(　　)
A．(－1，5) B．(－1，4)
C．(0，4) D．(4，0)
解析：选A．当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，此时f(x)＝4＋1＝5，即点P的坐标为(－1，5).
3．函数f(x)＝的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：选A．令t＝x2－1，则y＝，因为y＝为单调递减函数，且函数t＝x2－1在(－∞，0]上单调递减，所以函数f(x)＝的单调递增区间为(－∞，0].
4．设f(x)＝则f(f(11))的值是(　　)
A．1 B．e
C．e2 D．e－1
解析：选B．由分段函数解析式可得f(11)＝log3(11－2)＝log332＝2，则f(f(11))＝f(2)＝e，故选B．
5．若a，b，c满足2a＝3，b＝log25，3c＝2.则(　　)
A．c＜a＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．c＜b＜a
解析：选A．因为2a＝3，21＜3＜22，所以1＜a＜2，因为b＝log25＞log24，所以b＞2.因为3c＝2，30＜2＜31，所以0＜c＜1，所以c＜a＜b.
6．下列函数中，在(－∞，0)上单调递减的是(　　)
A．y＝2 B．y＝
C．y＝log3 D．y＝x2－4x
解析：选D．对于A，当x∈(－∞，0)时，y＝2单调递增，故A错误；对于B，y＝＝＝2－，故y＝在(－∞，－1)和(－1，0)上单调递增，故B错误；对于C，y＝log3在(－∞，0)上单调递增，故C错误；对于D，y＝x2－4x在(－∞，0)上单调递减，故D正确．
7．函数f(x)＝loga(4－3ax)在[1，3]是增函数，则a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．f(x)＝loga(4－3ax)为f(x)＝logat，t＝4－3ax＞0复合而成，因为a＞0，所以t＝4－3ax在[1，3]是减函数，
因此要满足条件，需所以0＜a＜.
8．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2，1] D．[－2，0]
解析：选D．作出y＝|f(x)|的图象如图，由对数函数图象的变化趋势可知，要使ax≤|f(x)|，则a≤0，且ax≤x2－2x(x＜0)，即a≥x－2对任意x＜0恒成立，所以a≥－2.综上，－2≤a≤0.故选D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列各式中一定成立的有(　　)
A．＝n7m B．＝
C．＝(x＋y) D．＝
解析：选BD．＝n7m－7，A错误；＝3＝，B正确；＝(x3＋y3)，C错误；＝＝＝，D正确．故选BD．
10．已知正实数a，b满足ba＝4，且a＋log2b＝3，则a＋b的值可以为(　　)
A．2 B．4
C．5 D．6
解析：选BC．由ba＝4得到a＝logb4＝2logb2，则2logb2＋log2b＝3，即＋log2b＝3，整理得(log2b)2－3log2b＋2＝0，解得log2b＝2或log2b＝1，当log2b＝2时，b＝4，a＝1，则a＋b＝5；当log2b＝1时，b＝2，a＝2.则a＋b＝4.
11．已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(　　)
A．f(4)＝－3
B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点
C．函数y＝f(x)的最小值为－4
D．函数y＝f(x)的最大值为4
解析：选ABC．A正确，f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3；B正确．令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f(x)的图象与x轴有两个交点；C正确，因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x＞0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4；D错误，f(x)没有最大值．
12．已知函数f(x)＝，下面说法正确的有(　　)
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的值域为(－1，1)
D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0恒成立
解析：选AC．对于选项A，f(x)＝，定义域为R，关于原点对称，因为f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称；对于选项B，计算f(1)＝＝，f(－1)＝＝－≠f(1)，故f(x)的图象不关于y轴对称；对于选项C，f(x)＝＝1－，令1＋2x＝t，t∈(1，＋∞)，y＝1－，易知1－∈(－1，1)，故f(x)的值域为(－1，1)；对于选项D，f(x)＝＝1－，令1＋2x＝t，t∈(1，＋∞)，y＝1－，函数t＝1＋2x在R上单调递增，且y＝1－在t∈(1，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性，可知f(x)＝1－在R上单调递增，故∀x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0不成立．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．计算：lg 8－e0＋＋lg 25＝________．
解析：原式＝lg 23－1＋＋lg 52＝2lg 2－1＋3＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＋2＝4，故答案为4.
答案：4
14．已知函数f(x)＝，则f(0)－f(－3)＝________．
解析：f(0)－f(－3)＝20－log2[1－(－3)]＝1－2＝－1.故答案为：－1.
答案：－1
15．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)x在(0，＋∞)上单调递增，则m值为________．
解析：由题意可知，解得m＝2.
答案：2
16．不等式|log2x－a|＜5对任意x∈[4，16]恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：由|log2x－a|＜5，得log2x－5＜a＜log2x＋5，又由y＝log2x，x∈[4，16]，则y∈[2，4]，则log2x－5的最大值为－1，log2x＋5的最小值为7，所以－1＜a＜7.
答案：(－1，7)
四、解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)计算：
(1)＋－625；
(2)(lg 5)2－(lg 2)2＋lg 4.
解：(1)原式＝4＋64－5＝2＋4－5＝1；
(2)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋lg 4＝lg 5－lg 2＋2lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.
18．(本小题满分12分)已知f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点P(2，4).
(1)求a的值；
(2)已知f(2x)－3f(x)－4＝0，求x.
解：(1)由f(x)＝ax的图象经过点P(2，4)得a2＝4，又a＞0，所以a＝2.
(2)由(1)得f(x)＝2x，由f(2x)－3f(x)－4＝0，得22x－3×2x－4＝0，解得2x＝4或2x＝－1(舍去).由2x＝4，解得x＝2.
19．(本小题满分12分)设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值；
(2)求f(x)在区间[0，]上的最大值．
解：(1)因为f(1)＝2，所以f(1)＝loga2＋loga2＝loga4＝2，所以a＝2.
(2)由得x∈(－1，3)，
所以函数f(x)的定义域为(－1，3)，
f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，
所以当x∈(0，1)时，f(x)是增函数；当x∈时，f(x)是减函数，
所以函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝a·2x－2－x(a∈R).
(1)若函数y＝f(x)的图象关于原点对称，求函数g(x)＝f(x)＋的零点x0；
(2)若函数h(x)＝f(x)＋4x＋2－x在x∈[0，1]的最大值为－2，求实数a的值．
解：(1)因为f(x)的图象关于原点对称，
所以f(－x)＋f(x)＝0.
所以a·2－x－2x＋a·2x－2－x＝0，
所以(a－1)·(2－x＋2x)＝0，所以a＝1.
令g(x)＝2x－2－x＋＝0，
则2·(2x)2＋3·(2x)－2＝0，
所以(2x＋2)·(2·2x－1)＝0，
又2x＞0，所以2·2x－1＝0，
所以x＝－1.
所以函数g(x)的零点为x0＝－1.
(2)h(x)＝a·2x－2－x＋4x＋2－x＝4x＋a·2x，x∈[0，1]，
令2x＝t，t∈[1，2]，
h(x)＝H(t)＝t2＋at，t∈[1，2] ，
对称轴t0＝－，
①当－≤，即a≥－3时，H(t)max＝H(2)＝4＋2a＝－2.
所以a＝－3；
②当－＞，即a＜－3时，H(t)max＝H(1)＝1＋a＝－2.
所以a＝－3(舍去)；
综上实数a的值为－3.
21．(本小题满分12分)新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0，10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t＝k·(万件)，其中k为工厂工人的复工率(k∈[0.5，1])，A公司生产t万件防护服还需投入成本(20＋8x＋50t)(万元).
(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数；
(2)对任意的x∈[0，10](万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01)
解：(1)因为A公司生产t万件防护服还需投入成本(20＋8x＋50t)，政府以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，且提供x(万元)的专项补贴，所以A公司生产防护服的利润y＝x＋80k－[20＋8x＋50k]＝180k－－7x－20.
(2)为使A公司不产生亏损，只需利润y＝180k－－7x－20≥0在x∈[0，10]上恒成立；即180k≥在x∈[0，10]上恒成立；
因为＝＝＝7(x＋2)＋＋20，令t＝x＋2，因为x∈[0，10]，所以t∈[2，12]，
记g(t)＝7t＋＋20，
任取2≤t1＜t2≤12，
则g(t1)－g(t2)＝－
＝7(t1－t2)＋＝(t1－t2).
因为t1－t2＜0，4＜t1t2＜144，所以＜＝3，即7－＞0，
所以(t1－t2)＜0，即g(t1)＜g(t2)，
所以函数g(t)＝7t＋＋20在t∈[2，12]上单调递增；
因此g(t)max＝g(12)＝105，即的最大值为105；
所以只需180k≥105，即k≥0.58.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg (x＋2)－lg (2－x).
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)求不等式f(x)＞1的解集．
解：(1)要使函数f(x)有意义，则，解得－2＜x＜2，故所求函数f(x)的定义域为(－2，2).
(2)由(1)知f(x)的定义域为(－2，2)，设∀x∈(－2，2)，则－x∈(－2，2)，且f(－x)＝lg (－x＋2)－lg (2＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
(3)因为f(x)在定义域(－2，2)内是增函数，且f(x)＞1.所以lg ＞1，即＞10，解得x＞，
所以不等式f(x)＞1的解集是.