必修 第一册4.4 对数函数精练

这是一份必修 第一册4.4 对数函数精练，共9页。
[A　基础达标]1．在同一直角坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，正确的是(　　)解析：选D．函数y＝ax与y＝logax的单调性相同，由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a，则选项A中0<a<1，选项B中a>1，显然y＝ax的图象不符，排除A，B，故选D．2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)解析：选C．小明匀速运动时，所得图象为一条直线且距离学校越来越近，故排除A．因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D．后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B．故选C．3．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是(　　)A．y＝2x－2 B．y＝C．y＝log2x  D．y＝(x2－1)解析：选D．方法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D．方法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D．4．据统计，某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万、0.4万、0.76万，则该地区这三个月的用工人数y(万人)关于月数x的函数关系式近似是(　　)A．y＝0.2x  B．y＝(x2＋2x)C．y＝  D．y＝0.2＋log16x解析：选C．对于A，当x＝3时，y＝0.6与0.76差距较大，故排除A；对于B，当x＝3时，y＝1.5与0.76差距较大，故排除B；对于D，当x＝3时，y＝0.2＋log163≈0.6与0.76差距较大，故排除D，故选C．5．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　)A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)解析：选B．由函数性质可知，在(4，＋∞)内，指数函数g(x)＝2x增长速度最快，对数函数h(x)＝log2x增长速度最慢，所以g(x)>f(x)>h(x).6．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型．解析：把x＝1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．答案：甲7．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．解析：当x变大时，x比ln x增长要快，所以x2要比x ln x增长得要快．答案：y＝x28．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与④对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与①对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与③对应，D容器慢，与②对应．答案：④　①　③　②9．已知函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数．(1)求y＝f(x)的解析式；(2)若x∈(0，＋∞)，试分别写出使不等式：①log2x<2x<x2；②log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围．解：(1)因为函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数，所以f(x)＝2x.(2)作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x在同一直角坐标系中的图象，可得22＝4，24＝42＝16，下面借助图象解决问题．①因为log2x<2x<x2，所以2<x<4，解集为(2，4)；②因为log2x<x2<2x，所以0<x<2或x>4，解集为(0，2)∪(4，＋∞).10．某公司为了研究年宣传费x(单位：千元)对销售量y(单位：吨)和年利润z(单位：千元)的影响，搜集了近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)的数据：i12345678x3840444648505256y4555616365666768(1)请补齐表格中8组数据的散点图，并判断y＝a＋bx与y＝c＋d中哪一个更适合作为年销售量y关于年宣传费x的函数解析式？(给出判断即可，不必说明理由)(2)若(1)中的a＝7，b＝1.2，c＝4.2，d＝0.07，且产品的年利润z与x，y的关系为z＝200y－x(32≤x≤64)，为使年利润值最大，投入的年宣传费x应为何值？解：(1)补齐的图如图：由图可知，销售量随着宣传费的增加而增加，增长的速度越来越慢，因此选取y＝c＋d更适合作为年销售量y关于年宣传费x的函数解析式．(2)依题意得，z＝200×(4.2＋0.07)－x(32≤x≤64)，化简得z＝840＋14－x(32≤x≤64)，设t＝(4≤t≤8)，则有z＝－t2＋14t＋840，z＝－(t－7)2＋889.故当t＝7即投入的年宣传费x＝49千元时，年利润取到最大值．[B　能力提升]11．一高为h0，满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时，水的体积为V，则函数V＝f(h)的大致图象可能是(　　)解析：选B．水深h越大，水的体积V就越大，当水深为h0时，体积为V0，所以排除A，C．当h∈[0，h0]时，可将水“流出”设想成“流入”，每当h增加1个Δh时，根据鱼缸形状可知，函数V的变化，开始其增量越来越大，经过中截面后增量越来越小，故选B．12．(多选)如图，表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息，其中正确的信息为(　　)A．骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 hB．骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动C．骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者D．骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样解析：选ABC．看时间轴易知A正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是线段，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线段，所以是变速运动．因此B正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故C正确，D错误．13．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．有以下说法：①第4个月时，剩留量就会低于；②每月减少的有害物质质量都相等；③当剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中正确的是________．(填序号)解析：由于函数的图象经过点，故函数的关系式为y＝.当t＝4时，y＝<，故①正确．当t＝1时，y＝，减少；当t＝2时，y＝，减少，故每月减少有害物质质量不相等，故②不正确．分别令y＝，，，解得t1＝log，t2＝log，t3＝log，t1＋t2＝t3，故③正确．答案：①③14．某国2017年至2020年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：年份2017201820192020x(年份代码)0123生产总值y(万亿元)8.206 78.944 29.593 310.239 8(1)画出函数图象，猜想y与x之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；(3)利用关系式预测2034年该国的国内生产总值．解：(1)画出函数图象，如图所示．从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0).把直线经过的两点(0，8.206 7)和(3，10.239 8)代入上式，解得k＝0.677 7，b＝8.206 7.所以函数关系式为y＝0.677 7x＋8.206 7.　(2)由得到的函数关系式计算出2018年和2019年的国内生产总值分别为0．677 7×1＋8.206 7＝8.884 4(万亿元)，0．677 7×2＋8.206 7＝9.562 1(万亿元).与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．(3)2034年，即x＝17时，由(1)得y＝0.677 7×17＋8.206 7＝19.727 6(万亿元)，即预测2034年该国的国内生产总值约为19.727 6万亿元．[C　拓展探究]15．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放k(1≤k≤4，且k∈R)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y＝kf(x)，其中f(x)＝若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次k个单位的洗衣液，2分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k的值．(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．解：(1)f(x)＝由2分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，可得kf(2)＝3，即k＝3，解得k＝1.(2)因为k＝4，所以y＝4f(x)＝当0≤x≤4时，－4≥4，解得－4≤x＜8，所以0≤x≤4；当4＜x≤14时，28－2x≥4，解得x≤12，所以4＜x≤12.综上可得0≤x≤12.所以若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达12分钟．(3)能，理由如下：当x＝12时，由题意知y＝2×＋1×＝5，因为5＞4，所以在第12分钟时洗衣液能起到有效去污的作用．