初中数学人教版九年级上册23.2.1 中心对称精品巩固练习

这是一份初中数学人教版九年级上册23.2.1 中心对称精品巩固练习，文件包含第7天图形的旋转与中心对称原卷版docx、第7天图形的旋转与中心对称解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
第7天 图形的旋转与中心对称
【知识回顾】
1．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等．　　
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　
③旋转前、后的图形全等．
（2）旋转三要素：
①旋转中心；
②旋转方向；
③旋转角度．　
【技巧方法】
三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
3．中心对称
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
4．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
5．关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
6．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．

一．选择题（共10小题）
1．（2020·广西灵山期末）下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：A、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
B、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
C、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
D、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，符合题意．
故选D．
2．（2020·湖南岳阳期末）如图，将绕点逆时针旋转70°到的位置，若，则（　　）

A．45° B．40° C．35° D．30°
【答案】D
【解析】
解：∵绕点逆时针旋转70°到的位置，
∴，
而，
∴
故选D．
3．（2020·陕西师大附中一模）直线l1：y＝﹣x＋1与直线l2关于点（1，0）成中心对称，下列说法不正确的是（　　）
A．将l1向下平移1个单位得到l2
B．将l1向左平移1个单位得到l2
C．将l1向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到l2
D．将l1向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到l2
【答案】B
【解析】
解：设直线l2的点（x，y），则（2﹣x，﹣y）在直线l1：y＝﹣x＋1上，
∴﹣y＝﹣（2﹣x）＋1，
∴直线l2的解析式为：y＝﹣x，
A、将l1向下平移1个单位得到y＝﹣x，故此选项正确；
B、将l1向左平移1个单位得到y＝﹣x＋，故此选项错误；
C、将l1向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到y＝﹣x，故此选项正确；
D、将l1向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到y＝﹣x，故此选项正确；
故选：B．
4．（2020·山西阳城·期末）下列说法错误的是（ ）
A．点和点表示同一个点 B．点与点关于原点对称
C．坐标轴上的点的横坐标与纵坐标至少有一个为0 D．第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数
【答案】A
【解析】
解： A、点（2，3）和点（3，2）表示不同的点，故符合题意；
B、点（4，-1）与点（-4，1）关于原点对称，故不符合题意；
C、坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0，故不符合题意；
D、第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．（2020·黑龙江拜泉期末）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，此项错误
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，此项错误
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，此项错误
D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此项正确
故选：D．
6．（2020·山东中区期中）将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（1，﹣2）
【答案】C
【解析】
根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加．上下平移只改变点的纵坐标，下减上加，因此，将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′的坐标为（－1，2）．关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点A′(－1，2)关于y轴对称的点的坐标是（1，2）．
故选C．
7．（2020·江苏一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，使点B的对应点E落在AC上，连接CD，则∠CDE的度数不可能为（　　）

A．15° B．20° C．30° D．45°
【答案】D
【解析】
解：∵∠ABC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，
∴∠CAD＝∠CAB，CA＝AD，∠B＝∠AED＝90°，
∴∠ACD＝，
∴∠CDE＝90°﹣∠ACD＝，
∵∠CAD＜90°，
∴∠CDE不可能为45°，
故选：D．
8．（2020·山西泽州期末）如图所示，在中，，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为( )

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵，
∴∠C′AB=90°，
∵∠CAB=70°，
∴∠C′AC=∠C′AB-∠CAB=20°，
∵∠BAB′与∠C′AC都是旋转角，
∴∠BAB′=∠C′AC=20°，
故选B.
9．（2020·湖南隆回二模）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，
∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=,
∴选项A、C不一定正确
∴∠A =∠EBC
∴选项D正确．
∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于，
∴选项B不一定正确；
故选D．
10．（2020·山东东阿期末）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（　　）

A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④
【答案】C
【解析】
解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB，
∴△ABF≌△ACD，
∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正确，
∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正确
无法判断BE＝CD，故①错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二．填空题（共5小题）
11．（2019·广东郁南月考）点关于原点对称的点的坐标是___________．
【答案】
【解析】
解：∵，
∴点关于原点对称的点的坐标是
故答案为：
12．（2020·黑龙江甘南期末）点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝_____．
【答案】1.
【解析】
根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
∴a=4且b=-3，
∴a+b=1．
13．（2020·黑龙江拜泉期末）如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为__________．

【答案】3
【解析】
由旋转的性质可得：AD=AB，

∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，
∵AB=4，BC=7，
∴CD=BC−BD=7−4=3.
故答案为3.
14．（2020·山东青岛期末）将△ABC在平面内绕点A旋转40°到△AB'C'的位置，使CC'∥AB．则∠CAB'的度数为_____．

【答案】30°．
【解析】
∵将△ABC在平面内绕点A旋转40°到△AB'C'的位置，
∴∠CAC'=∠BAB'=40°，AC=AC'，
∴∠ACC'==70°，
∵CC'∥AB，
∴∠C'CA=∠CAB=70°，
∴∠CAB'=∠CAB﹣∠BAB'=30°，
故答案为：30°．
15．（2020·四川锦江）如图，中，，，将绕点旋转得到，且点的对应点刚好落在上，连接．则__________．

【答案】15°
【解析】
△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=60°，
∵将绕点旋转得到，且点的对应点刚好落在上，
∴ =∠ABC=30°，=∠BAC=60°，AB=，
∴=75°，
∴=75°-60°=15°，
故答案为：15°．
三．解析题（共5小题）
16．（2019·广东郁南月考）如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC内一点，将△PAB绕A逆时针旋转90°得△DAC．
（1）试判断△PAD的形状并说明理由；
（2）连接PC，若∠APB=135°，PA=1，PB=3，求PC的长．

【答案】（1）△PAD为等腰直角三角形，理由见解析；（2）CP= .
【解析】
（1）△PAD为等腰直角三角形．理由如下：
将△PAB绕A逆时针旋转90°得△DAC
∠DAP=90° ，PA=DA
△PAD为等腰直角三角形
(2)由旋转知
∠CDA=∠APB=135°，∠ADP=45°，CD=PB=3，
∠CDP=135°-∠ADP=90°
∴CD⊥PD
∴PD=AP+AD=2
在Rt△PDC中
CP=
17．（2020·江苏兴化期中）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点．
（1）当∠BEA＝55°时，求∠HAD的度数；
（2）设∠BEA＝α，试用含α的代数式表示∠DFA的大小；
（3）点E运动的过程中，试探究∠BEA与∠FEA有怎样的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）10°；（2）；（3）∠BEA＝∠FEA，理由见解析
【解析】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBA＝∠BAD＝90°，
∴∠EAB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠HAD＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣35°＝10°；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBA＝∠BAD＝∠ADF＝90°，
∴∠EAB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣α，
∴∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠EAB＝，
∴∠DFA＝90°﹣∠DAF＝＝135°﹣α；
（3）∠BEA＝∠FEA，理由如下：

延长CB至I，使BI＝DF，连接AI．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABI＝90°，
又∵BI＝DF，
∴△DAF≌△BAI（SAS），
∴AF＝AI，∠DAF＝∠BAI，
∴∠EAI＝∠BAI+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°＝∠EAF，
又∵AE是△EAI与△EAF的公共边，
∴△EAI≌△EAF（SAS），
∴∠BEA＝∠FEA．
18．（2020·四川锦江）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，坐标分别为，，．

（1）画出关于轴对称的；
（2）画出将绕原点顺时针旋转所得的；
（3）与成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）成中心对称图形，对称中心的坐标为（−，−）．
【解析】
（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形，对称中心的坐标为（−，−）．

19．（2020·四川锦江）已知在中，，，于．

（1）如图1，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点．
求证：；
（2）如图2，点是线段上一点（），连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交于点．
①求证：；
②若，，求的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解，②．
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质得出，，证得，可证明，则可得结论；
（2）①过点作交于点，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，则可得结论；
②由勾股定理求出，，，则可求出答案．
【详解】
（1）证明：将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，，于，
，，
，
，
又，
，
；
（2）①证明：过点作交于点，连接，

由（1）知为的中点，
，，
为等腰直角三角形，
，
又，，
，
，
，，
，，
又，
，
，
，
；
②解：，，
，
，
，，
，
，
又，
．
20．（2020·湖北武昌期中）书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，如常用的A3、A4、A5的纸张长与宽的比值都相等．一长方形纸张对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等．
（1）求满足这样条件的长方形的长与宽的比值；
（2）如图所示的长方形ABCD长与宽之比也满足以上条件，其中宽AB＝2．
①点P是AD上一点，将△BPA沿BP折叠得到△BPE，当BE垂直AC时，求AP的长；
②若将长方形ABCD绕点B旋转得到长方形A1BC1D1，直线CC1交DD1于点M，N为BC的中点，直接写出MN的最大值：　 　．

【答案】（1）；（2）①，②
【解析】
【分析】
（1）设长方形的长与宽分别为a，b．根据对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等，构建关系式解决问题即可；
（2）①如图1中，延长PE、BC交于点G，证明AC＝PG，PG＝BG即可解决问题；②如图2中，连接BM，取BD的中点O，连接OM，ON，延长CC1到K，使得C1K＝CC1在MK的延长线上取一点J，使得D1J＝D1K．想办法证明DM＝MD1，推出BM⊥DD1，求出OM，ON即可解决问题．
【详解】
（1）设长方形的长与宽分别为a，b．
由题意：，
∴a2＝2b2，
∴；
（2）①如图1中，延长PE、BC交于点G，

∵∠PEB＝90°，
∴PE⊥BE，
∵BE⊥AC，BE⊥PE，
∴PG∥AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝2，AD∥BG，∠ABC＝90°，
∴四边形APGC是平行四边形，
∴PG＝AC＝＝＝2，
∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠GBP，
∵∠APB＝∠GPB，
∴∠GBP＝∠GPB，
∴GP＝GB＝2，
∴AP＝CG＝BG＝BC＝2﹣2；
②如图2中，连接BM，取BD的中点O，连接OM，ON，延长CC1到K，使得C1K＝CC1在MK的延长线上取一点J，使得D1J＝D1K，连接BD1．

∵BC＝BC1，
∴∠BCC1＝∠BC1C，
∵∠BC1D1＝∠BCD＝90°，
∴∠D1C1K+∠BC1C＝90°，∠BCC1+∠DCC1＝90°，
∴∠D1C2K＝∠DCC1，
∵CD＝C1D1，CC1＝C1K，
∴△DCC1≌△D1C1K（SAS），
∴DC1＝KD1＝JD1，∠CC1D＝∠C1KD1，
∵∠JKD1+∠C1JKD1＝180°，∠CC1D+∠DC1M＝180°，
∴∠DC1M＝∠D1KJ，
∵D1J＝D1K，
∴∠J＝∠D1KJ，
∴∠J＝∠DC1M，
∵∠D1MJ＝∠DMC1，
∴△D1MJ≌△DMC1（AAS），
∴D1M＝DM′，
∵BD＝BD1，
∴BM⊥DD1，
取BD的中点O，连接OM，ON，
∵∠BMD＝90°，
∴OM＝BD＝，
∵BO＝OD，BN＝CN，
∴ON＝CD＝1，
∵MN≤OM+ON，
∴MN≤+1，
∴MN的最大值为+1．
故答案为：+1．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．