人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换本节综合与测试测试题

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换本节综合与测试测试题，共15页。试卷主要包含了0分），【答案】C，【答案】B，【答案】D，【答案】A等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
已知扇形OAB的面积为1，周长为4，则弦AB的长度为( )
A. 2B. 2sin1C. 2sin1D. sin2
若扇形的半径为1，周长为π，则该扇形的圆心角为( )
A. πB. π−1C. π−2D. π−12
《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”(一步=1.5米)意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为( )
A. 135平方米B. 270平方米C. 540平方米D. 1080平方米
已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角(正角)的弧度数是( )
A. 1B. 4C. 1或4D. 2或4
已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是( )
A. S1=S2
B. S1≤S2
C. S1≥S2
D. 先S1S2
-330°化成弧度制是( )
A. -43πB. -53πC. -76πD. -116π
已知弧度数为2π3的圆心角所对的弦长为23，则这个圆心角所对的弧长是( )
A. 2π3B. 4π3C. 23π3D. 43π3
小亮发现时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，他需要将时钟的时针旋转( )
A. −π3radB. −π6radC. π6radD. π3rad
−240°化为弧度是( )
A. −43πB. −53πC. −74πD. −76π
已知扇形面积为4，周长为8，则该扇形的圆心角为( )弧度．
A. 4B. 3C. 2D. 1
《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一．即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是( )．
A. 415B. 158C. 154D. 120
已知扇形的半径为2cm，面积为8cm2，则扇形圆心角的弧度数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
已知扇形的周长为10 cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角等于 (弧度)．
−210°弧度数为 ．
已知某扇形的弧长为3π2，圆心角为π2，则该扇形的半径为 ．
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
已知相互啮合的两个齿轮，大轮有32齿，小轮有18齿．当小轮转动两周时，大轮转动的角度为 rad(写正数值);如果小轮的转速为180转分，大轮的半径为16cm，则大轮周上一点每1秒转过的弧长为 cm．
《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12×(弦×矢+矢2).弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，弦长为23米的弧田．按照上述方法计算弧田的矢为 米；面积为 平方米．
(1)若1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为 米；
(2)若1 rad的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为 米．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
已知扇形的圆心角为α(α>0)，半径为R．
(1)若α=60°，R=10cm，求圆心角α所对的弧长;
(2)若扇形的周长是8cm，面积是4cm2，求α和R．
自行车大链轮有48齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一圈时，小链轮转过的角度是多少?合多少弧度?
规定长度等于半径的弧所对的圆心角为1弧度，那么：
(1)圆周所对的圆心角的弧度数是多少？
(2)平角的弧度数是多少？
(3)平角三分之一的弧度数是多少？
因为π=180∘，用分式表示下列各题结果：
(1)1弧度是多少度？1.4是多少度？
(2)1∘等于多少弧度？−186∘45′是多少弧度？
把下列弧度化成角度或角度化成弧度：
(1)−450º；(2)π10；(3)−4π3；(4)112º30’．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了弧长公式，扇形面积公式，考查了学生的分析与计算能力，属于中档题．
设扇形的半径为r，弧长为l ，则可得12lr=1l+2r=4，再求扇形的圆心角，即可求弦AB的长．
【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l ，则12lr=1l+2r=4,
∴l=2，r=1，
∴扇形圆心角为lr=2，
过点O作OH⊥AB于H，如图：
则∠AOH=1弧度，
∴AH=1×sin1=sin1，
∴AB=2sin1．
故选C．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了计算扇形弧长所对的圆心角应用问题，是基础题．
计算扇形的弧长，即可求得改扇形的圆心角．
【解答】
解：扇形的半径为1，周长为π，
所以扇形的弧长为π−2，
扇形弧长所对的圆心角为π−21=π−2．
故选：C．

3.【答案】B
【解析】
【分析】
根据扇形的面积公式计算即可．
本题考查了扇形的面积公式应用问题，是基础题．
【解答】
解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为
S=12lr=12×45×242=270(平方米)．
故选：B．

4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查扇形面积公式，弧长公式，属于中档题．
设出扇形的圆心角为α rad，半径为R cm，根据扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，列出方程组，求出扇形的圆心角的弧度数．
【解答】
解：设扇形的圆心角为α rad，半径为R cm，
则2R+α⋅R=612R2⋅α=2，
解得R=2α=1或R=1α=4．
故选：C．

5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查扇形面积公式的应用，考查了运算能力．
求得S扇形AOQ=12⋅lAQ⌢⋅r=12⋅lAQ⌢⋅OA，，又因为lAQ⌢=AP，
则，故可得结果．
【解答】
解：设OP与圆O的交点为B，
∵直线l与圆O相切，
∴OA⊥AP，
∴SΔAOP=12⋅OA⋅AP．
又S扇形AOQ=12⋅lAQ⌢⋅r=12⋅lAQ⌢⋅OA，
依题lAQ⌢=AP，
∴S扇形AOQ=SΔAOP．
则S扇形AOQ−S扇形AOB=SΔAOP−S扇形AOB，即S1=S2．
故选A．

6.【答案】D
【解析】
【分析】
根据弧度与角度之间的转化关系进行变化．
本题考查了将角度制化为弧度制，属于基础题型．
【解答】
解：∵1°=π180rad，
∴−330°=−330×π180 rad=−11π6 rad．
故选：D．

7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查弧长公式的应用，考查直角三角形中的边角关系，属于中档题．
由题意画出图形，解直角三角形求出扇形的半径，代入弧长公式求得答案．
【解答】
解：如图，

设∠AOB=2π3，AB=23，
过O作OG⊥AB于G，则AG=3，∠AOG=π3，
∴sinπ3=AGAO，即AO=AGsinπ3=332=2，
∴AB=2×2π3=43π.
故选B．

8.【答案】B
【解析】
【分析】
由时钟经过12小时转了−2π rad，可求时钟经过1小时转了−π6 rad，即可得解．
本题主要考查了任意角的概念及弧度制的应用，属于基础题．
【解答】
解：由于时钟经过12小时转了−2π rad，
所以时钟经过1小时转了−π6 rad，
即需要将时钟的时针旋转−π6 rad．
故选：B．

9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查弧度制与角度制的互化，属于基础题．
根据互化公式直接进行转化即可．
【解答】
解：−240°=−240×π180=−4π3，
故选A．

10.【答案】C
【解析】
【分析】
由题意列方程组可求出半径r和弧长l，代入α=lr，计算即可．
本题考查扇形的面积公式和弧长公式，属基础题．
【解答】
解：设扇形的半径为r，弧长为l，
则由题意可得12lr=4且2r+l=8，
解得l=4，r=2，
∴扇形的圆心角α=lr=2．
故选：C．

11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查扇形面积问题，属于基础题．
根据扇形面积公式即可求解．
【解答】
解：S=30×164=120(平方步)．
S=12αR2,120=12α×64，
解得α=154，
故选C．

12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了扇形的面积公式，属于基础题．
设扇形圆心角的弧度数为α，则根据扇形面积公式S=12αr2，列出方程求解即可．
【解答】
解：设扇形圆心角的弧度数为α，则根据扇形面积公式S=12αr2，
代入可得：8=12α×22=2α，解得，
故选：D．

13.【答案】12
【解析】
【分析】
本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力，此题属于基础题型．
根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式α=lr求出扇形圆心角的弧度数．
【解答】
解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l=10，
∵S扇形=12lr=4，解得：r=4，l=2，或r=1，l=8(舍去)，
∴扇形的圆心角的弧度数是24=12,
故答案为12．

14.【答案】−76π
【解析】
【分析】
根据180°与π相等的关系，写出一度对应的代数式，用210乘以一度对应的代数式，求出结果，不要漏掉负号．
本题考查弧度与角度的互化．
【解答】
解：∵−210°=−210×π180=−76π，
∴−210°化为弧度为−76π，
故答案为：−76π．

15.【答案】3
【解析】
【分析】
本题主要考查扇形的弧长公式应用，是基础题．
根据扇形的弧长公式进行计算即可．
【解答】
解：设扇形的圆心角为θ，弧长为l，半径为r，
则扇形的圆心角θ=lr，
即r=lθ=3π2π2=3，所以r=3．
故答案为：3．

16.【答案】9π4
【解析】
【分析】本题考查弧度概念与弧长公式，解题时注意单位统一，大小齿轮转速的转化.属于中档题．
当小轮转动两周时，大轮转动的角为2π32×18×2=9π4rad；由题可得小齿轮每1 s的转速 ，根据弧长公式计算即可得出．
【解答】解：因为大轮有32齿，小轮有18齿，
当小轮转动两周时，大轮转动的角为，
如果小轮的转速为180(转/分)，则每秒的转速为18060(转/秒)，
由于大轮的半径为，
那么大轮周上一点每1s转过的弧长是．
故答案为．
17.【答案】1
3+12
【解析】
【分析】
本题考查扇形的相关应用，考查数学文化，查学生的计算能力，属于一般题．
根据题意可得∠AOB=2π3，AB=23m，求出矢的值，即可利用公式计算弧田面积．
【解答】
解：如图，

由题意可得∠AOB=2π3，AB=23m，
在Rt△AOD中，可得∠AOD=π3，∠DAO=π6，AD=3，
则OA=2m，OD=1m，
所以矢=CD=OC−OD=2−1=1(m)．
所以弧田面积=12(弦×矢+矢2)=12(23×1+12)=(3+12)(m2).
故答案为1；3+12．

18.【答案】180π
1
【解析】
【分析】
本题主要考查了弧度制的概念及弧长公式等相关概念，属于基础题．
(1)(2)都是利用弧度制的概念及弧长公式等相关概念进行计算求解．
【解答】
解：(1)因为弧度，所以，所以米；
(2)因为1=a·r，所以1=1·r，所以r=1米．

19.【答案】解：(1)α=60°=π3，∴弧长l=π3×10=10π3cm;
(2)由题意可得：2R+Rα=8，12R2α=4，
解得α=2，R=2cm．
【解析】本题考查了弧长公式、扇形面积计算公式，属于基础题．
(1)利用弧长公式即可得出；
(2)由题意可得：2R+Rα=8，12R2α=4，联立即可得出．
20.【答案】解：因为大链轮转过一周时，大链轮转48齿，而小链轮有20齿，
故小链轮转4820周，一周为360°，
故小链轮转过的角度是864∘，
一周为2π弧度，
故小链轮转过的角度为4820×2π=4.8π弧度．
【解析】本题考查了任意角的概念与应用问题，弧度制与角度制，属于中档题．
根据大链轮转过一周时，大链轮转48齿，小链轮有20齿，小链轮转4820周，一周为360°，一周为2π弧度，计算小链轮转过的度数和弧度数即可．
21.【答案】解：(1)圆周的半径为R，圆周长为2πR，则圆周所对的圆心角的弧度数2πRR=2π；
(2)平角的弧度数是π；
(3)平角的三分之一的弧度数是π3．
【解析】本题考查了弧度数的概念的应用，属于基础题．
直接根据概念进行求解即可．
22.【答案】解：(1)1=(180π)∘，1.4=(180π)∘×1.4≈(252π)∘；
(2)1∘=π180，−186∘45′=−(1864560)∘=−(7474)∘=−7474×π180=−8380π．
【解析】本题考查角度和弧度的转化，属于基础题．
(1)由题意得出1弧度及1.4弧度的角度数即可；
(2)将角度转化为弧度．
23.【答案】 解：(1)−450°=−450×π180rad=−5π2rad;
(2)π10rad=π10×180°π=18° ;
(3)−4π3rad=−4π3×180ºπ=−240°;
(4)112°30′=112.5°=112.5×π180rad=5π8rad ．
【解析】本题考查角度制与弧度制的互化，属于基础题.角度制化为弧度制，依据n°=n·π180rad计算；弧度制化为角度制，依据αrad=α·180°π进行计算．