数学必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换本节综合与测试测试题

7.1任意角的概念与弧度制同步练习人教   B版（2019）高中数学必修第三册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 把化成角度是

A.  B.  C.  D.

2. 已知扇形OAB的面积为2，弧长，则

A. 2sin1 B.  C. 4sin1 D.

3. 已知，则“”是“，”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知角的终边过点，若，则实数x的取值范围是

A.  B.  C.  D.

5. 角的终边落在    

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6. 小明出国旅游，因当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针拨慢1小时，则时针转过的角的弧度数是 

A.   B.  C.  D.

7. 角的终边在第三象限，那么的终边不可能在的象限是第象限．

A. 四 B. 三 C. 二 D. 一

8. 二十四节气是指中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，是根据地球在黄道即地球绕太阳公转的轨道上的位置变化而制定的．每个节气对应地球在黄道上运动所到达的一个位置．根据上述描述，从夏至到立秋对应地球在黄道上运动的角度为

A.  B.  C.  D.

9. 已知某扇形的半径为4cm，圆心角为2rad，则此扇形的面积为 

A.  B.  C.  D.

10. 下列各组角中，终边相同的角是   

A. ， B. ， C. ， D. ，

11. 时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为

A.  B.  C.  D.

12. 本场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为       

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 已知扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为          ．
14. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴按如图方法剪裁如图，扇面形状较为美观从半径为20cm的圆面中剪下扇形OAB，使扇形OAB的面积与圆面中剩余部分的面积比值为，称为黄金分割比例，再从扇形OAB中剪下扇环形ABDC制作扇面，使扇环形ABDC的面积与扇形OAB的面积比值为则一个按上述方法制作的扇形装饰品如图的面积为           ．

15. 已知角的终边在图中阴影所表示的范围内不包括边界，那么          ．
    
    
     

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 已知为第三象限角，则是第          象限角，的终边落在          ．
17. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是          rad，如果大轮的转速为，小轮的半径为，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是          ．
18. 在范围内：与终边相同的最小正角是          ，是第          象限角．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知．

把表示成的形式，其中，；

求，使与的终边相同，且．






 

20. 已知．

写出所有与终边相同的角；

写出在内与终边相同的角；

若角与终边相同，则是第几象限的角？






 

21. 已知扇形OAB的周长为4，为中心角．
    当时，求此时扇形的半径；
    当扇形面积最大时，求此时中心角的大小．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知角的终边在直线上．

写出角的集合S；

写出集合S中适合不等式的元素．






 

23. 如图，一个角形海湾AOB，常数为锐角拟用长度为为常数的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：
    方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ，其中；方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD，其中．

现给定数据如下，

求方案一中养殖区的面积；

求方案二中养殖区的最大面积；

为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查弧度制与角度制互化，属于基础题．
解题时只要根据代入计算即可．

【解答】

解：．
故选B．

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查扇形的面积公式以及弦长的求法，考查计算能力．
根据已知条件利用扇形的面积公式可求半径，进而可求扇形的圆心角，进而可得答案．

【解答】

解：设扇形的半径r，圆心角为，

扇形OAB的面积为2，弧长，
可得，解得，，
如图所示，．
故选D．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角方程的解法，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
先根据三角方程的解法求出满足方程的，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．

【解答】

解：由，解得，
“，”可以推出“”，满足必要性，
“”不能推出“，”，不满足充分性，
所以“”是“，”的必要不充分条件．
故选：B．

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，指数不等式的解法，属于基础题．
由题意利用任意角的三角函数的定义，指数不等式，求得x的范围．

【解答】

解：角的终边过点，
则，
，，，
故选：A．

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查终边相同的角，象限角，属于基础题．
易知与终边相同，即得结果．

【解答】

解：，
与终边相同，
故角在第一象限，
故选A．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了正角与负角的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
依题意可知，他需要将表的时针逆时针旋转周角的，即可转过的角的弧度数．

【解答】

解：依题意，小明需要将表的时针拨慢1小时，
即他需要将表的时针逆时针旋转周角的，
则转过的角的弧度数是，
故选B．

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了终边相同角的表示方法，象限角的概念．属于基础题．
首先利用终边相同角的表示方法，写出的表达式，再写出的表达式，由此判断终边位置．

【解答】

解：角的终边在第三象限，
，，
，，
当时，此时的终边落在第一象限，
当时，此时的终边落在第三象限，
当时，此时的终边落在第四象限，
综上所述，的终边不可能落在第二象限．
故选C．

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查角的概念，是基础题，根据角的定义，由夏至到立秋是逆时针方向转三个节气可得答案．

【解答】

解：由每个节气对应地球在黄道上运动所到达的一个位置，
夏至到立秋是逆时针方向转三个节气，故运动的角度为，
故选C．

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查扇形的面积的计算，根据扇形的弧长公式先计算出弧长是解决本题的关键，属于基础题．
根据扇形的弧长公式和面积公式进行计算即可．

【解答】

解：扇形的弧长，
则扇形的面积．
故选B．

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查终边相同的角的概念，属于基础题．
终边相同的角，其大小相差的整数倍，由此即可得到结果．

【解答】

解：与角终边相同的角为，
取，得，
角与角终边相同．
故选C．

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查任意角的概念及弧度制应用，由分针顺时针转过了周，得出分针在这段时间里转过的弧度为，注意弧度的正负．

【解答】

解：显然分针在从1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了周，
转过的弧度为．
故选B．

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查任意角和弧度制，属基础题．
利用时针转过的角为负值，结合弧度制进行求解．

【解答】

解：依题意得．
故选B．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

根据扇形的面积公式，得，计算可得答案．
此题主要是能够灵活运用扇形的面积公式以及计算能力．解决本题的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用．

【解答】

解：由题意可得，
根据扇形的面积公式，得．
故答案为．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

设扇形OAB的圆心角为，OC的长为r，由题意利用扇形的面积公式可解得，，进而根据扇形的面积公式即可求解．
本题考查了扇形的面积计算问题，考查了计算能力，是较难题．

【解答】

解：设扇形OAB的圆心角为，OC的长为r，，
由题意可得，解得，
由于，解得，
故扇形装饰品的面积为



．
．
故答案为：．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查任意角的三角函数的概念和终边相同的角．
结合图形直接求即可．

【解答】

解：在范围内，终边落在阴影内的角为与，于是所有满足题意的角为


．
故答案为．

16.【答案】二或四

第一、二象限或y 轴的非负半轴上

【解析】

【分析】

本题主要考查了象限角，属于基础题．
先根据所在的象限确定的范围，进而确定的范围，即可确定所在的象限和终边的位置．

【解答】

解：为第三象限角，
，
，
当k为偶数时，为第二象限角；
当k为奇数时，为第四象限角．
所以
所以的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上．
故答案为二或四；第一、二象限或y 轴的非负半轴上．

17.【答案】  

【解析】

【分析】

本题可以通过相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到小轮转动的角度，得到填空答案，经换算得到其弧度，即得到填空答案，再通过大轮的转速，得到小轮的转速，从而求出小轮上每一点的转速，得到填空答案，得到本题结论．
本题考查了角度与弧度的关系的实际应用，本题难度不大，属于基础题．

【解答】解：相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，
当大轮转动一周时，
大轮转动了48个齿，
小轮转动周，
即．
当大轮的转速为时，
．
小轮转速为，
小轮周上一点每1s转过的弧度数为：
小轮的半径为，
小轮周上一点每1s转过的弧长为：．
故答案依次为：；．  

18.【答案】 

一

【解析】

【分析】本题考查了终边相同的角、象限角，属于基础题．
根据，求解即可．
【解答】解：，
与终边相同的最小正角是，是第一象限角．  

19.【答案】解：因为，

所以；

因为 ，且，

所以，当时， ．

【解析】本题主要考查角度制与弧度制的互化及终边相同的角．

由角度制弧度制之间的转化公式即可求解

由终边相同角的概念即可求解．

20.【答案】解：所有与终边相同的角可表示为．
由令，则有．
又，取，，0．
故在内与终边相同的角是、、．
由有，则，当k为偶数时，在第一象限，当k为奇数时，在第三象限．
是第一、三象限的角．
 

【解析】本题考查终边相同的角的表示方法，及一元一次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想．
有与终边相同的角可以写成，．
令解出整数k，从而求得在内与终边相同的角．
根据，求得，即可判断是第几象限的角．
 

21.【答案】解：设扇形的半径为 r，，
由已知，得，
；
设扇形的半径为x，则弧长为，
扇形面积 ，
当时，，此时，．
 

【解析】本题主要考查了弧长公式，扇形面积公式的应用，属于基础题．
设扇形的半径为 r，由周长公式和已知可得，故可求得扇形的半径；
设扇形的半径为x，则弧长为，从而可求扇形面积，即可求得当扇形面积最大时，求此时圆心角的大小．
 

22.【答案】解：如图，

直线过原点，倾斜角为，在范围内，终边落在射线OA上的角是，终边落在射线OB上的角是，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：
，
，
所以，角的集合


．
由于，
即，．
解得，，
所以，，0，1，2，3．
所以集合S中适合不等式的元素为：
取，得，
取，得，
取，得，
取，得，
取，得，
取，得．
所以S中适合不等式的元素分别是：，，，，，．
 

【解析】本题考查了终边相同的角的定义和表示方法，解题时要区分终边落在射线上和落在直线上的不同，求并集时要注意变形，属于中档题．
由终边相同的角的定义，先写出终边落在射线的角的集合，再写出终边落在反向射线的角的集合，最后求两个集合的并集即可写出终边在直线的角的集合S；
由于，即，，解得，，所以，，0，1，2，3，即可得适合不等式的元素．
 

23.【答案】解：方案一：设此扇形所在的圆的半径为r，
则，．

设，
则，
由均值不等式可得，
可得，当且仅当时取等号．
故．
显然有：则．
故为使养殖区面积最大，应选择方案一．
 

【解析】本题考查了扇形的面积计算公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
方案一：设此扇形所在的圆的半径为r，则，可得利用扇形面积计算公式可得．
设，，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：，可得：，即可得出．
比较和的大小关系即可得出答案．