新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：8.2　直线的交点坐标与距离公式

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8.2　直线的交点坐标与距离公式
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.两条直线的位置关系
平面内两条直线的位置关系包括　　　　　　　　　三种情况. 
(1)两直线平行
①对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2.
②当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.
②当直线l1,l2中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2.
(3)由一般式确定两直线位置关系的方法

直线方程
l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0);
l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)
l1与l2平行的充要条件
A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0)
l1与l2垂直的充要条件
A1A2+B1B2=0
l1与l2相交的充要条件
A1B2-A2B1≠0
l1与l2重合的充要条件
A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1=0(或A1C2-A2C1=0)

2.两条直线的交点
直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解.
相交⇔方程组有　　　　　　; 
平行⇔方程组　　　　; 
重合⇔方程组有　　　　　　　　. 
3.三种距离

点点
距
点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离
|P1P2|=　　　　　　　　　 
点线
距
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离
d=　　　　　　　 
线线
距
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离
d=　　　　　　　 



1.两个充要条件
(1)两直线平行或重合的充要条件
直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)与直线l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)平行或重合的充要条件是A1B2-A2B1=0.
(2)两直线垂直的充要条件
直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)与直线l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0.
2.六种常见的对称点
(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).
(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).
(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).
(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).
(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).
(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).
3.三种直线系方程
(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程为Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).
(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线系方程为Bx-Ay+n=0(n∈R).
(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.(　　)
(2)若两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.(　　)
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.(　　)
(4)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0),l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0.(　　)
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(　　)
2.点P(2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d,则d的最大值为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.7
3.若直线2ax+y-2=0与直线x-(a+1)y+2=0垂直,则这两条直线的交点坐标为(　　)
A.-25,-65 B.25,65
C.25,-65 D.-25,65
4.(多选)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是(　　)
A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直
B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0
C.直线l过定点(0,1)
D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等
5.直线l:x=1的倾斜角为　　　　　;点P(2,5)到直线l的距离为　　　　　. 
关键能力学案突破　

考点
两直线的位置关系(多考向探究)

考向1　判断两直线的位置关系
【例1】(2020天津静海区联考)“a=1”是“直线ax+2y-8=0与直线x+(a+1)y+4=0平行”的(　　)
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
考向2　由两直线的位置关系求参数
【例2】(1)(2020安徽芜湖四校联考)若直线(2m-1)x+my+1=0和直线mx+3y+3=0垂直,则实数m的值为(　　)
A.1 B.0 C.2 D.-1或0
(2)(2020陕西宝鸡中学二模)若直线x+(1+m)y-2=0与直线mx+2y+4=0平行,则实数m的值为(　　)
A.1 B.-2 C.1或-2 D.-32
考向3　由两直线的位置关系求直线方程
【例3】经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,且垂直于直线3x+4y-7=0的直线的方程为　　　　　　　　. 
解题心得利用直线方程的一般式判断两直线的平行或垂直时可避免讨论直线斜率不存在的情况,但要注意由A1B2-A2B1=0不能推出两直线平行.根据两直线平行求参数时,要注意检验求得的参数值是否满足题意.
对点训练1(1)求满足下列条件的直线方程.
①过点P(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0;
②已知A(1,2),B(3,1),线段AB的垂直平分线.












(2)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.
①当l1∥l2时,求a的值;
②当l1⊥l2时,求a的值.














考点
与距离有关的问题

【例4】(1)(2020广东广州模拟)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围为　　　　　. 
(2)(2020福建厦门模拟)若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为21313,则c的值是　　　　　. 
解题心得利用距离公式应注意
(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;
(2)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数分别相等.
对点训练2(1)已知A(2,0),B(0,2),若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
(2)已知直线l过点P(-1,2),且点A(2,3),B(-4,5)到直线l的距离相等,则直线l的方程为　　　　　. 

考点
对称问题(多考向探究)

考向1　点关于点的对称
【例5】过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为　　　　　. 
考向2　点关于线的对称
【例6】如图,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上,再经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是(　　)

A.210 B.6 C.33 D.25
考向3　线关于线的对称
【例7】直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是(　　)
A.x-2y+3=0 B.x-2y-3=0
C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0
解题心得1.中心对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于点对称:
若点M(x0,y0)及N(x,y)关于点P(a,b)对称,则由中点坐标公式得x=2a-x0,y=2b-y0,进而求解.
(2)直线关于点对称:
①先在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式得到所求直线方程.
②先在已知直线上取一点,求出它关于已知点的对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.
2.轴对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于直线对称:
若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)对称,
则由方程组Ax1+x22+By1+y22+C=0,B(x2-x1)-A(y2-y1)=0,
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标.
(2)直线关于直线对称:
一般转化为点关于直线的对称来解决.
对点训练3(1)已知直线l1:2x+y+2=0与l2:4x+by+c=0关于点P(1,0)对称,则b+c=　　　　　. 
(2)设光线l从点A(-4,3)出发,经x轴反射后经过点B0,33,则光线l与x轴交点的坐标为　　　　　,若该光线l经x轴发生折射,折射角为入射角的一半,则折射光线所在直线的纵截距为　　　　　. 
(3)已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).
①求点A关于直线l的对称点A'的坐标;
②求直线m:3x-2y-6=0关于直线l对称的直线m'的方程;
③求直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l'的方程.











8.2　直线的交点坐标与距离公式
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.平行、相交、重合
2.唯一解　无解　无数个解
3.(x2-x1)2+(y2-y1)2
|Ax0+By0+C|A2+B2　|C1-C2|A2+B2
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
2.A　依题意,d=3a2+1.因为a2+1≥1,所以d≤3.所以d的最大值为3.
3.B　依题意,2a·1+1×[-(a+1)]=0,解得a=1.由2x+y-2=0,x-2y+2=0,解得x=25,y=65.
故这两条直线的交点坐标为25,65.故选B.
4.AC　对于A,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,显然与直线x+y=0垂直,故A正确;
对于B,由直线l与直线x-y=0平行,可知a2+a+1=1,解得a=0或a=-1,故B不正确;
对于C,当x=0时,y=1,所以直线l过定点(0,1),故C正确;
对于D,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,此时直线l在两坐标轴上的截距分别为-1,1,故D不正确.
故选AC.
5.π2　1　依题意,直线l与x轴垂直,故直线l的倾斜角为π2,点P(2,5)到直线l的距离d=2-1=1.
关键能力·学案突破
例1A　设直线l1:ax+2y-8=0,直线l2:x+(a+1)y+4=0.若l1与l2平行,则a(a+1)-2=0,即a2+a-2=0,解得a=1或a=-2.当a=-2时,直线l1的方程为-2x+2y-8=0,即x-y+4=0,直线l2的方程为x-y+4=0,此时两直线重合,故a≠-2.当a=1时,直线l1的方程为x+2y-8=0,直线l2的方程为x+2y+4=0,此时两直线平行.故“a=1”是“直线ax+2y-8=0与直线x+(a+1)y+4=0平行”的充要条件.故选A.
例2(1)D　(2)A　(1)由题意可知m(2m-1)+3m=0,解得m=0或m=-1.故选D.
(2)由题意可知2-m(1+m)=0,解得m=-2或m=1.
经检验,当m=-2时,两直线重合,不符合题意,舍去;当m=1时,符合题意.
故m的值为1.故选A.
例34x-3y+9=0　(方法1)由2x+3y+1=0,x-3y+4=0,解得x=-53,y=79.故交点的坐标为-53,79,
因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,所以所求直线的斜率为43.
所以所求直线的方程为y-79=43x+53,即4x-3y+9=0.
(方法2)由垂直关系可设所求直线方程为4x-3y+m=0.
由2x+3y+1=0,x-3y+4=0,可解得交点的坐标为-53,79.
将点-53,79的坐标代入4x-3y+m=0,得m=9,
故所求直线的方程为4x-3y+9=0.
(方法3)由题意可设所求直线的方程为(2x+3y+1)+λ(x-3y+4)=0,
即(2+λ)x+(3-3λ)y+1+4λ=0.
因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,所以3(2+λ)+4(3-3λ)=0,
解得λ=2.所以所求直线的方程为4x-3y+9=0.
对点训练1解(1)①设所求直线方程为x-2y+c=0(c≠3),将P(-1,3)的坐标代入直线方程,得c=7.
故所求直线方程为x-2y+7=0.
②由已知得线段AB的中点的坐标为2,32,直线AB的斜率kAB=2-11-3=-12,故线段AB的垂直平分线的斜率k=2,
所以线段AB的垂直平分线的方程为y-32=2(x-2),即4x-2y-5=0.
(2)①依题意,a(a-1)-1×2=0,a(a2-1)-1×6≠0,
即a2-a-2=0,a(a2-1)≠6,解得a=-1.故a的值为-1.
②依题意,a+2(a-1)=0,
解得a=23.故a的值为23.
例4(1)[0,10]　(2)2或-6　(1)由题意得,点P到直线的距离为|4×4-3a-1|16+9=|15-3a|5.
由|15-3a|5≤3,即|15-3a|≤15,得0≤a≤10.所以a的取值范围为[0,10].
(2)依题意,63=a-2≠c-1,解得a=-4,c≠-2,则直线方程6x+ay+c=0可化为3x-2y+c2=0.又两平行线之间的距离为21313,所以c2+132+(-2)2=21313,解得c=2或c=-6.
对点训练2(1)A　(2)x+3y-5=0或x=-1　(1)设点C(t,t2).由已知得直线AB的方程为x+y-2=0,|AB|=22,则点C到直线AB的距离d=|t+t2-2|2.
因为△ABC的面积为2,所以12×22·|t2+t-2|2=2,
即|t2+t-2|=2,即t2+t-2=2或t2+t-2=-2.
解方程可知t的值有4个,故满足题意的点C有4个.
(2)(方法1)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知|2k-3+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1,即|3k-1|=|-3k-3|,解得k=-13.所以直线l的方程为x+3y-5=0.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,符合题意.故直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
(方法2)当AB∥l时,直线l的斜率k=kAB=-13,则直线l的方程为y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.当直线l过AB的中点(-1,4)时,又直线l过点P(-1,2),所以直线l的方程为x=-1.故直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
例5x+4y-4=0　设l1与l的交点为A(a,8-2a),由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,把点B的坐标代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.
因为点A(4,0),P(0,1)在直线l上,
所以直线l的方程为x+4y-4=0.
例6A　易得直线AB的方程为x+y=4,则点P关于直线AB的对称点为P1(4,2),点P关于y轴的对称点为P2(-2,0).依题意,光线所经过的路程为P1(4,2)与P2(-2,0)之间的距离,即|P1P2|=(4+2)2+(2-0)2=210.
例7A　设所求直线上任意一点P(x,y),点P关于直线x-y+2=0的对称点为P'(x0,y0),
由x+x02-y+y02+2=0,x-x0=-(y-y0),得x0=y-2,y0=x+2.
因为点P'(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.
故所求直线方程为x-2y+3=0.
对点训练3(1)-10　(2)(-1,0)　-3　(1)在直线l1:2x+y+2=0上取点M(-1,0),N(0,-2),则点M,N关于点P(1,0)的对称点分别为M1(3,0),N1(2,2).
因为点M1(3,0),N1(2,2)在直线l2:4x+by+c=0上,所以12+c=0,8+2b+c=0,解得c=-12,b=2,所以b+c=-10.
(2)点A(-4,3)关于x轴的对称点为A'(-4,-3),则直线A'B的方程为y=33x+33,直线A'B与x轴交于点(-1,0),故光线l与x轴的交点的坐标为(-1,0).
易知入射角为60°,则折射角为30°,且折射光线经过点(-1,0),故折射光线所在直线方程为y=-3x-3,所以折射光线所在直线的纵截距为-3.
(3)解①设A'(x,y),
依题意,y+2x+1×23=-1,2×x-12-3×y-22+1=0,
解得x=-3313,y=413.所以A'-3313,413.
②在直线m上取点M(2,0),
则点M(2,0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设M'(a,b),
则2×a+22-3×b+02+1=0,b-0a-2×23=-1,
解得a=613,b=3013.故M'613,3013.
设直线m与直线l的交点为N,则由2x-3y+1=0,3x-2y-6=0,得N(4,3).又m'经过点M'613,3013,所以直线m'的方程为9x-46y+102=0.
③设P(x,y)为l'上任意一点,则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P'(-2-x,-4-y).
因为点P'在直线l上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0.
所以直线l'的方程为2x-3y-9=0.