新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：8.6　双曲线

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8.6　双曲线
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的　　　　　　　　　　　等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做　　　　　　　　　,两焦点间的距离叫做　　　　　　　　. 
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.
(1)若a　　　c,则点M的轨迹是双曲线; 
(2)若a　　　c,则点M的轨迹是两条射线; 
(3)若a　　　c,则点M不存在. 
2.标准方程
(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0);
(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).
3.双曲线的性质
标准方程
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)
图　形




续　表
标准方程
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)
性
质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
y≤-a或y≥a,x∈R
对称性
对称轴:　　　　　,对称中心:　　　　 
顶点
A1　　　,A2　　　 
A1　　　,A2　　　 
渐近线
y=±bax
y=±abx
离心率
e=ca,e∈(1,+∞)
a,b,c
的关系
c2=　　　 
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=　　; 
线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=　　; 
a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长


1.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点M(x0,y0)的切线方程为x0xa2-y0yb2=1.
2.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)为双曲线上任意一点,且不与点F1,F2共线,∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为b2tanθ2.
3.若点P(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内,则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2-y0yb2=x02a2-y02b2.

　　4.双曲线中点弦的斜率公式
设点M(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的弦AB(不平行y轴)的中点,则kAB·kOM=b2a2,即kAB=b2x0a2y0.
5.双曲线的焦半径公式
双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),当点M(x0,y0)在双曲线右支上时,|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a;当点M(x0,y0)在双曲线左支上时,|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.
6.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
7.双曲线的同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴所在直线的弦),其长为2b2a;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　)
(2)双曲线x2m2-y2n2=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是x2m2-y2n2=0,即xm±yn=0.(　　)
(3)关于x,y的方程x2m-y2n=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　)
(4)与双曲线x2m-y2n=1(其中mn>0)共渐近线的双曲线方程可设为x2m-y2n=λ(λ≠0).(　　)
(5)若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与x2b2-y2a2=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则1e12+1e22=1.(　　)
2.“m>0”是“方程x2m-y2m+2=1表示双曲线”的(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程为(　　)
A.x212-y2=1 B.x29-y23=1
C.x2-y23=1 D.x223-y232=1
4.(2019北京,5)已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率是5,则a=(　　)
A.6 B.4
C.2 D.12
5.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为　　　　　. 
关键能力学案突破　

考点
双曲线的定义

【例1】(1)已知点F2为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,直线y=kx交双曲线C于A,B两点,若∠AF2B=2π3,S△AF2B=23,则双曲线C的虚轴长为　　　　　. 
(2)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若△ABF2的内切圆与边AB,BF2,AF2分别相切于点M,N,P,且|AP|=4,则a的值为　　　　　. 
解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点轨迹是否为双曲线,进而求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.
对点训练1(1)(2020河南非凡联盟4月联考)已知双曲线C:x2a2-y29=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,一条渐近线与直线4x+3y=0垂直,点M在双曲线C上,且|MF2|=6,则|MF1|=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2或14 B.2
C.14 D.2或10
(2)(2020河北廊坊省级示范学校联考)设F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交双曲线C的左支于A,B两点,且|AF2|=3,|BF2|=5,|AB|=4,则△BF1F2的面积为　　　　　. 

考点
双曲线的标准方程

【例2】(1)已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.x22-y214=1(x≥2) B.x22-y214=1(x≤-2)
C.x22+y214=1(x≥2) D.x22+y214=1(x≤-2)
(2)在平面直角坐标系中,经过点P(22,-2),渐近线方程为y=±2x的双曲线的标准方程为(　　)
A.x24-y22=1 B.x27-y214=1
C.x23-y26=1 D.y214-x27=1
(3)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若(F2F1+F2A)·F1A=0,则双曲线的标准方程可能为(　　)
A.x24-y23=1 B.x23-y24=1
C.x216-y29=1 D.x29-y216=1
解题心得1.求双曲线标准方程的答题模板

2.利用待定系数法求双曲线方程的常用方法
(1)与双曲线x2a2-y2b2=1共渐近线的方程可设为x2a2-y2b2=λ(λ≠0);
(2)若双曲线的渐近线方程为y=±bax,则双曲线的方程可设为x2a2-y2b2=λ(λ≠0);
(3)若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为x2m+y2n=1(mn0)的右焦点F(c,0)作其渐近线y=32x的垂线,垂足为M,若S△OMF=43(O为坐标原点),则双曲线的标准方程为(　　)
A.x24-y23=1 B.x28-y26=1
C.x216-y212=1 D.x232-y224=1
(2)过双曲线C:x2a2-y2b2=1的右顶点作x轴的垂线,与双曲线C的一条渐近线相交于点A.若以双曲线C的右焦点F为圆心,4为半径的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为(　　)
A.x24-y212=1 B.x27-y29=1
C.x28-y28=1 D.x212-y24=1
(3)经过点P(3,27),Q(-62,7)的双曲线的标准方程为　　　　　. 

考点
双曲线的几何性质(多考向探究)

考向1　求双曲线的渐近线方程
【例3】(2020福建厦门一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F,点A,B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点,以AB为直径的圆过点F且交双曲线C的左支于M,N两点,若|MN|=2,△ABF的面积为8,则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A.y=±3x B.y=±33x
C.y=±2x D.y=±12x
解题心得求双曲线的渐近线方程的方法
依据题设条件,求出双曲线方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)中a,b的值或a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.
对点训练3(2020山东德州高三第二次模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2a2-y2b2=12的焦点相同,则双曲线渐近线方程为(　　)
A.y=±33x B.y=±3x
C.y=±22x D.y=±2x
考向2　求双曲线的离心率
【例4】(2020广东汕尾一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F为双曲线C的右焦点,A为双曲线C的右顶点,过点F作x轴的垂线,交双曲线C于M,N两点.若tan∠MAN=-34,则双曲线C的离心率为(　　)
A.3 B.2 C.43 D.2
解题心得求双曲线离心率的值或取值范围的方法
(1)求a,b,c的值,由e=ca=1+b2a2直接求出e.
(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化为关于e的方程(或不等式)求解.
对点训练4(2019全国2,理11)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为(　　)
A.2 B.3
C.2 D.5
考向3　与双曲线有关的取值范围问题
【例5】已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是双曲线C的两个焦点,若MF1·MF20,b>0)上一点,F1,F2为双曲线C的左、右焦点,若|PF1|=|F1F2|,且直线PF2与以双曲线C的实轴为直径的圆相切,则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A.y=±43x B.y=±34x
C.y=±35x D.y=±53x
对点训练6过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆O:x2+y2=a2的两条切线,切点为A,B,双曲线的左顶点为C,若∠ACB=120°,则双曲线的渐近线方程为(　　)
A.y=±3x B.y=±33x
C.y=±2x D.y=±22x






8.6　双曲线
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.距离的差的绝对值　双曲线的焦点　双曲线的焦距　(1)
3.坐标轴　原点　(-a,0)　(a,0)　(0,-a)
(0,a)　a2+b2　2a　2b
考点自诊
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√
2.A　由“方程x2m-y2m+2=1表示双曲线”得m(m+2)>0,即m>0或m0”是“m>0或m0”是“方程x2m-y2m+2=1表示双曲线”的充分不必要条件.故选A.
3.C　由双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,可得2a2-3b2=1,ba=3,解得a=1,b=3.
故双曲线C的标准方程为x2-y23=1.
4.D　∵双曲线的离心率e=ca=5,c=a2+b2,∴a2+1a=5,解得a=12.故选D.
5.53　由题意知直线y=-bax过点(3,-4),所以3ba=4,即ba=43,所以e=ca=1+b2a2=1+169=53.
关键能力·学案突破
例1(1)22　(2)2　(1)设双曲线C的左焦点为F1,连接AF1,BF1,由对称性可知四边形AF1BF2为平行四边形,因为∠AF2B=2π3,S△AF2B=23,所以S△AF1F2=23,∠F1AF2=π3.设|AF1|=r1,|AF2|=r2,则4c2=r12+r22-2r1r2cosπ3,又|r1-r2|=2a,故r1r2=4b2.
又S△AF1F2=12r1r2sinπ3=23,所以b2=2,所以该双曲线的虚轴长为22.
(2)由题意知|BM|=|BN|,|PF2|=|NF2|,|AM|=|AP|=4.根据双曲线的定义,知|BF1|-|BF2|=|MF1|-|NF2|=2a,|AF2|-|AF1|=2a,则|AF1|=|AF2|-2a,所以|BF1|-|BF2|=|AM|+|AF1|-|NF2|=|AM|+|AP|+|PF2|-2a-|NF2|=8-2a=2a,所以a=2.
对点训练1(1)C　(2)92　(1)由题意知3a=34,故a=4,则c=5.由|MF2|=6