新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：8.7　抛物线

这是一份新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：8.7　抛物线，共23页。
8.7　抛物线
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的　　　　　　　的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的　　　　,直线l叫做抛物线的　　　　. 
2.抛物线的几何性质
标准方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图　形




顶　点
O　　　　 
对称轴
x轴
　　　 
焦　点
Fp2,0
F-p2,0
F0,p2
F0,-p2
离心率
e=　　 
准线方程
x=-p2
x=p2
y=-p2
y=p2
范　围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其
中P(x0,y0))
|PF|=
x0+p2
|PF|=
-x0+p2
|PF|=
y0+p2
|PF|=
-y0+p2






1.设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则
(1)x1x2=p24,y1y2=-p2;
(2)弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2α(α为弦AB所在直线的倾斜角);
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切;
(4)S△AOB=p22sinα(α为弦AB所在直线的倾斜角);
(5)∠CFD=90°.
2.抛物线y2=2px(p>0)的通径长为2p.

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　　)
(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.(　　)
(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0).(　　)
(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(　　)
(5)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是a4,0.(　　)
2.抛物线8x2+y=0的焦点坐标为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(0,-2) B.(0,2)
C.0,-132 D.0,132
3.(2020江西萍乡一模)已知动圆C经过点A(2,0),且截y轴所得的弦长为4,则圆心C的轨迹为(　　)
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
4.若抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程为　　　　　. 
5.(2020新高考全国1,13)斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=　　　　　. 
关键能力学案突破　

考点
抛物线的定义及其应用

【例1】(1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.22 B.2 C.322 D.22
(2)(多选)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在y轴上,若线段FM的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为324,则点M的坐标可能为(　　)
A.(0,-4) B.(0,-2)
C.(0,2) D.(0,4)
(3)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|FA|=2|FB|,则点A到抛物线C的准线的距离为(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
解题心得1.涉及抛物线上的点到焦点距离,一般运用定义转化为到准线距离处理.
2.若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点,则|PF|=x0+p2.若过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=x1+x2+p.若遇到抛物线其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到.

对点训练1(1)如图,过抛物线y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,与抛物线的准线交于点C,若B是AC的中点,则|AB|=(　　)
A.8 B.9
C.10 D.12
(2)(2020河北衡水三模)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若A,B,C三点坐标分别为(1,2),(x1,y1),(x2,y2),且|FA|+|FB|+|FC|=10,则x1+x2=(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3

考点
抛物线的方程及几何性质

【例2】(1)(2020重庆调研)已知抛物线y2=2px(p>0),点C(-4,0),过抛物线的焦点F作垂直于x轴的直线,与抛物线交于A,B两点,若△CAB的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线的标准方程为(　　)
A.y2=4x B.y2=-4x
C.y2=8x D.y2=-8x


(2)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=6,则此抛物线方程为(　　)
A.y2=9x
B.y2=6x
C.y2=3x
D.y2=3x
解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m≠0).
2.由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.
对点训练2(1)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,22)x0>p2是抛物线C上的一点,以点M为圆心的圆与直线x=p2交于E,G两点,若sin∠MFG=13,则抛物线C的方程为(　　)
A.y2=x B.y2=2x
C.y2=4x D.y2=8x
(2)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=(　　)
A.54 B.52 C.22 D.324

考点
与抛物线相关的最值问题

【例3】(1)已知圆C1:(x-3)2+(y-22)2=1和焦点为F的抛物线C2:y2=8x,N是圆C1上一点,M是抛物线C2上一点,当点M在M1时,|MF|+|MN|取得最小值,当点M在M2时,|MF|-|MN|取得最大值,则|M1M2|=(　　)
A.22 B.32 C.42 D.17
(2)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(　　)
A.16 B.14 C.12 D.10
解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,利用“两点之间线段最短”这一原理来解决问题.
转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”这一原理来解决问题.
对点训练3(1)(2020河南郑州二模)已知抛物线C:y2=2x,过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线C于A,B两点(A,B均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为(　　)
A.2 B.3 C.32 D.4
(2)设P为抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点,点B(3,2).求:
①|PB|+|PF|的最小值.
②点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值.



























考点
抛物线与其他圆锥曲线的综合

【例4】(1)已知过抛物线C:y2=4x焦点F的直线交抛物线C于P,Q两点,交圆x2+y2-2x=0于M,N两点,其中P,M位于第一象限,则1|PM|+4|QN|的值不可能为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
(2)已知P是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为(　　)
A.52 B.3 C.3+1 D.23-1
解题心得求解抛物线与其他圆锥曲线的综合问题时,要注意距离的转换,如将抛物线上的点到焦点的距离转换为抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.
对点训练4(1)(2020河南洛阳模拟)已知F为抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点,曲线C2是以F为圆心,p2为半径的圆,直线4x-3y-2p=0与曲线C1,C2从上到下依次相交于点A,B,C,D,则|AB||CD|=(　　)
A.16 B.4 C.83 D.53
(2)已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为(　　)
A.x2=16y B.x2=8y
C.x2=833y D.x2=1633y
(3)(2021年1月8省适应测试)已知抛物线y2=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为(　　)
A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0
C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

考点
直线与抛物线的关系

【例5】(2019全国1,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若AP=3PB,求|AB|.


















解题心得解决直线与抛物线位置关系问题的方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.
(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,则可直接使用公式|AB|=|x1|+|x2|+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.
[提醒]涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.
对点训练5(1)(2020河南郑州二模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过焦点F,与抛物线C分别交于A,B两点,且直线l与x轴不垂直,线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5,0),则S△AOB=(　　)
A.22 B.3
C.6 D.36
(2)设A,B为曲线C:y=x22上两点,点A,B的横坐标之和为2.
①求直线AB的斜率;
②设M为曲线C上一点,曲线C在点M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.































指点迷津(三)　求曲线轨迹方程的方法

曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方法主要有:
(1)直接法:直接将几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程.
(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线方程.
(3)代入法(相关点法)
题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已知条件找出两个动点的关系,用所求表示已知,即x0=f(x,y),y0=g(x,y),将x0,y0代入已知曲线即得所求.
(4)参数法:引入参数t,求出动点(x,y)与参数t之间的关系x=f(t),y=g(t),消去参数即得所求轨迹方程.
(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去,得到两动曲线交点的轨迹方程.
一、直接法求轨迹方程
【例1】已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,0),B(2,3),C(1,22),定点P(1,1).
(1)求△ABC外接圆的标准方程;
(2)若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E,F两点,求弦EF中点的轨迹方程.
解(1)由题意得AC的中点坐标为(0,2),AB的中点坐标为12,32,kAC=2,kAB=1,故AC中垂线的斜率为-22,AB中垂线的斜率为-1,则AC的中垂线的方程为y-2=-22x,AB的中垂线的方程为y-32=-x-12.
由y-32=-x-12,y-2=-22x,
得x=2,y=0,
所以△ABC的外接圆的圆心为(2,0),半径r=2+1=3,故△ABC外接圆的标准方程为(x-2)2+y2=9.
(2)设弦EF的中点为M(x,y),△ABC外接圆的圆心为N,则N(2,0).
由MN⊥MP,得NM·PM=0,
所以(x-2,y)·(x-1,y-1)=0,
整理得x2+y2-3x-y+2=0,所以弦EF中点的轨迹方程为x-322+y-122=12.
方法总结直接法求轨迹的方法和注意问题
(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系,则可用直接法,其一般步骤是:设点→列式→化简→检验.求动点的轨迹方程时要注意检验,即除去多余的点,补上遗漏的点.
(2)若是只求轨迹方程,则把方程求出,把变量的限制条件附加上即可;若是求轨迹,则要说明轨迹是什么图形.
对点训练1已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.
(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)记(1)中轨迹为C,若过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程.



















二、定义法求轨迹方程
【例2】已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;
(2)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.
解(1)两圆半径都为1,两圆圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),由题意得|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,所以圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.
(2)L上的点与点M(x,y)的距离的最小值是点M到直线y=-1的距离,因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,而p2=1,即p=2,所以,轨迹Q的方程是x2=4y.
方法总结定义法求轨迹方程
(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程.
(2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.
对点训练2如图所示,已知圆A:(x+2)2+y2=1与点B(2,0),分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.

(1)△PAB的周长为10;
(2)圆P与圆A外切,且过B点(P为动圆圆心);
(3)圆P与圆A外切,且与直线x=1相切(P为动圆圆心).














三、代入法(相关点法)求轨迹方程

【例3】如图所示,抛物线E:y2=2px(p>0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.
(1)求p的值;
(2)求动点M的轨迹方程.
解(1)由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),
代入y2=2px,解得p=1.
(2)由(1)知抛物线E:y2=2x.
设Cy122,y1,Dy222,y2,y1≠0,y2≠0,切线l1的斜率为k,则切线l1:y-y1=kx-y122,代入y2=2x,
得ky2-2y+2y1-ky12=0,由Δ=0,解得k=1y1,
所以l1的方程为y=1y1x+y12,
同理l2的方程为y=1y2x+y22.
联立y=1y1x+y12,y=1y2x+y22,解得x=y1·y22,y=y1+y22.
易知CD的方程为x0x+y0y=8,
其中x0,y0满足x02+y02=8,x0∈[2,22],
由y2=2x,x0x+y0y=8,得x0y2+2y0y-16=0,
则y1+y2=-2y0x0,y1y2=-16x0,代入x=y1y22,y=y1+y22,
可得M(x,y)满足x=-8x0,y=-y0x0,即x0=-8x,y0=8yx,
代入x02+y02=8,化简得x28-y2=1,
因为x0∈[2,22],所以x∈[-4,-22].所以动点M的轨迹方程为x28-y2=1,x∈[-4,-22].
方法总结


对点训练3如图,已知P是椭圆x24+y2=1上一点,PM⊥x轴于点M.若PN=λNM.
(1)求点N的轨迹方程;
(2)当点N的轨迹为圆时,求λ的值.














四、参数法求轨迹方程
【例4】点A和点B是抛物线y2=4px(p>0)上除原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB于点M,求点M的轨迹方程.
解当AB所在直线的斜率不存在时,M为一定点,坐标为(4p,0).
当AB所在直线的斜率存在时,设其方程为y=kx+b(k≠0),
由y=kx+b,y2=4px,得k2x2+2(kb-2p)x+b2=0.
设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2(2p-kb)k2,x1x2=b2k2.
所以y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=4pbk.
由OA⊥OB,知x1x2+y1y2=0,则b=-4pk.①
设点M(x,y),由OM⊥AB,知yx·k=-1,y≠0,
则k=-xy.②
由①②及y=kx+b消去k,b,得x2+y2-4px=0(y≠0).
又点(4p,0)的坐标满足x2+y2-4px=0,所以点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0.
方法总结应用参数法求轨迹方程的程序:选参—求参—消参.注意消参后曲线的范围是否发生变化.
对点训练4在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(1,0),B(2,2),若点C满足OC=OA+t(OB-OA),其中t∈R,则点C的轨迹方程是　　　　　. 
五、交轨法求轨迹方程

【例5】(2020东北三省四市一模)如图,已知椭圆C:x218+y29=1的短轴端点分别为B1,B2,点M是椭圆C上的动点,且不与B1,B2重合,点N满足NB1⊥MB1,NB2⊥MB2.
(1)求动点N的轨迹方程;
(2)求四边形MB2NB1面积的最大值.
解(1)(方法1)设点N(x,y),M(x0,y0)(x0≠0).
由题意知点B1(0,-3),B2(0,3),
所以kMB1=y0+3x0,kMB2=y0-3x0.
因为MB1⊥NB1,MB2⊥NB2,
所以直线NB1:y+3=-x0y0+3x,①
直线NB2:y-3=-x0y0-3x,②
①×②得y2-9=x02y02-9x2.
又x0218+y029=1,
所以y2-9=181-y029y02-9x2=-2x2,
所以动点N的轨迹方程为y29+x292=1(x≠0).
(方法2)设点N(x,y),M(x0,y0)(x0≠0).
由题意知点B1(0,-3),B2(0,3),
所以kMB1=y0+3x0,kMB2=y0-3x0.
因为MB1⊥NB1,MB2⊥NB2,
所以直线NB1:y+3=-x0y0+3x,①
直线NB2:y-3=-x0y0-3x,②
联立①②,解得x=y02-9x0,y=-y0.
又x0218+y029=1,所以x=-x02,
故x0=-2x,y0=-y,代入x0218+y029=1,得y29+x292=1.
所以动点N的轨迹方程为y29+x292=1(x≠0).
(方法3)设直线MB1:y=kx-3(k≠0),
则直线NB1:y=-1kx-3.①
直线MB1与椭圆C:x218+y29=1的交点M的坐标为12k2k2+1,6k2-32k2+1.
则直线MB2的斜率为kMB2=6k2-32k2+1-312k2k2+1=-12k.
所以直线NB2:y=2kx+3.②
由①②得点N的轨迹方程为y29+x292=1(x≠0).
(2)由(1)(方法3)得直线NB1:y=-1kx-3,①
直线NB2:y=2kx+3.②
联立①②,解得x=-6k2k2+1,即xN=-6k2k2+1,
又xm=12k2k2+1,故四边形MB2NB1的面积S=12|B1B2|(|xM|+|xN|)=3×12|k|2k2+1+6|k|2k2+1=54|k|2k2+1=542|k|+1|k|≤2722,当且仅当|k|=22时,S取得最大值2722.
方法总结交轨法一般根据动点在两条动直线上,利用动直线方程,消去不必要的参数得到动点的轨迹方程,注意通过几何意义确定曲线的范围.
对点训练5如图,椭圆C0:x2a2+y2b2=1(a>b>0,a,b为常数),动圆C1:x2+y2=t12,b0,b>0)的离心率为2,所以ca=2,即c=2a,所以b=c2-a2=3a,所以双曲线C1的渐近线方程为3x±y=0.又抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点0,p2到双曲线的渐近线的距离为2,所以p23+1=2,解得p=8.所以抛物线C2的方程为x2=16y.
例5解设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题设得F34,0,
故|AF|+|BF|=x1+x2+32,
则x1+x2=52.
由y=32x+t,y2=3x,得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-12(t-1)9.
从而-12(t-1)9=52,得t=-78.
所以l的方程为y=32x-78.
(2)由AP=3PB可得y1=-3y2.
由y=32x+t,y2=3x,得y2-2y+2t=0.
所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x2=13,x1=3.故|AB|=4133.
对点训练5(1)A　由已知得点F(1,0).设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),点
A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点E(x0,y0),则线段AB的垂直平分线的方程为y=-1k(x-5).
由y=k(x-1),y2=4x,得ky2-4y-4k=0,所以y1+y2=4k,y1y2=-4,所以y0=12(y1+y2)=2k,x0=y0k+1=2k2+1.把点E2k2+1,2k的坐标代入线段AB的垂直平分线的方程y=-1k(x-5),可得2k=-1k·2k2+1-5,解得k2=1.
所以S△AOB=12×1×|y1-y2|=12(y1+y2)2-4y1y2=1216k2+16=22.故选A.
(2)解①设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=x122,y2=x222,x1+x2=2,故直线AB的斜率为y1-y2x1-x2=x1+x22=1.
②由y=x22,得y'=x.
设点M(x3,y3),由题意知x3=1,于是点M1,12.设直线AB的方程为y=x+m,则线段AB的中点为N(1,1+m),|MN|=m+12.
将y=x+m代入y=x22,得x2-2x-2m=0.由Δ=4+8m>0,得m>-12,则x1+x2=2,x1x2=-2m.从而|AB|=2|x1-x2|=22(1+2m).
因为AM⊥BM,所以|AB|=2|MN|,
即2(1+2m)=m+12,解得m=72或m=-12(舍去).
所以直线AB的方程为y=x+72.
指点迷津(三)　求曲线轨迹方程的方法
对点训练1解(1)由|MP|=5|MQ|,
得(x-26)2+(y-1)2
=5(x-2)2+(y-1)2,
化简得x2+y2-2x-2y-23=0,
所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25,轨迹是以(1,1)为圆心,5为半径的圆.
(2)当直线l的斜率不存在时,l:x=-2,此时所截得的线段的长度为2×52-32=8,
所以l:x=-2符合题意.
当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,
圆心(1,1)到l的距离d=|3k+2|k2+1.
由题意,得|3k+2|k2+12+42=52,解得k=512,所以直线l的方程为512x-y+236=0,即5x-12y+46=0.
综上,直线l的方程为x=-2或5x-12y+46=0.
对点训练2解(1)根据题意,知|PA|+|PB|+|AB|=10,即|PA|+|PB|=6>4=|AB|,故点P轨迹为椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=5.又点P不在x轴上,因此所求轨迹方程为x29+y25=1(y≠0).
(2)设圆P的半径为r,则|PA|=r+1,|PB|=r,因此|PA|-|PB|=1.
由双曲线的定义知,点P的轨迹为双曲线的右支,且2a=1,2c=4,即a=12,c=2,b=152,因此所求轨迹方程为4x2-415y2=1x≥12.
(3)依题意,知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离,故所求轨迹为抛物线,且开口向左,p=4.
因此所求轨迹方程为y2=-8x.
对点训练3解(1)设点P(x1,y1),N(x,y),
则M的坐标为(x1,0),且x=x1,
所以PN=(x-x1,y-y1)=(0,y-y1),
NM=(x1-x,-y)=(0,-y),
由PN=λNM得(0,y-y1)=λ(0,-y).
所以y-y1=-λy,即y1=(1+λ)y.
因为点P(x1,y1)在椭圆x24+y2=1上,所以x124+y12=1,所以x24+(1+λ)2y2=1,故x24+(1+λ)2y2=1为所求的N点的轨迹方程.
(2)要使点N的轨迹为圆,则(1+λ)2=14,解得λ=-12或λ=-32.故当λ=-12或λ=-32时,N点的轨迹是圆.
对点训练4y=2x-2　设点C(x,y),则OC=(x,y),OA+t(OB-OA)=(1+t,2t),所以x=t+1,y=2t,消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x-2.
对点训练5(1)解设点A(x1,y1),B(x1,-y1),又点A1(-a,0),A2(a,0),则直线A1A的方程为y=y1x1+a(x+a),①
直线A2B的方程为y=-y1x1-a(x-a).②
由①×②得y2=-y12x12-a2(x2-a2).③
又点A(x1,y1)在椭圆C0上,故x12a2+y12b2=1.从而y12=b21-x12a2,代入③得x2a2-y2b2=1(x