高中数学北师大版必修54.1二元一次不等式(组)与平面区域学案

§4　简单线性规划

4.1　二元一次不等式(组)与平面区域

二元一次不等式(组)与平面区域

阅读教材P96～P98“练习1”以上部分，完成下列问题．

(1)一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三部分．

①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0；

②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＞0；

③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＜0.

(2)在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．

(3)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．

(4)一般地，把直线l：ax＋by＋c＝0画成实线，表示平面区域包括这一边界直线；若把直线画成虚线，则表示平面区域不包括这一边界直线．

(5)由于对直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入ax＋by＋c，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c的符号即可判断ax＋by＋c＞0(＜0)表示直线哪一侧的平面区域．当c≠0时，常取坐标原点作为特殊点．

不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的交集，因而是各个不等式所表示平面区域的公共部分．

思考：(1)不等式ax＋by＋c＞0表示的平面区域在直线ax＋by＋c＝0的上方，ax＋by＋c＜0表示的平面区域在直线ax＋by＋c＝0的下方，这种说法正确吗？

[提示]　不正确，不等式2x－y－2＞0就表示直线2x－y－2＝0下方的平面区域，而不等式2x－y＋2＜0表示直线2x－y＋2＝0上方的平面区域．

(2)任何一个不等式组都能表示平面内的一个平面区域，这种说法正确吗？

[提示]　不正确，如不等式组就不表示任何平面区域．

1．下列不是二元一次不等式的是(　　)

A．－x－y＋2<0

B．2x＋y－1>0

C．y2≥2x

D．x＋2y>1－3x－y

[答案]　C

2．不等式组表示的平面区域是(　　)

A　　　　　　　B

C　　　　　　　D

D　[用特殊点(0,0)验证即可．]

3．若点(－2,1)在不等式x＋3y＋a≥0表示的平面区域内，则实数a的取值范围是________．

[－1，＋∞)　[由题意知－2＋3×1＋a≥0，

故a≥－1.]

4．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则实数t的取值范围是________．

　[据题意得不等式2×(－2)－3t＋6<0，

解得t>，

故t的取值范围是.]

【例1】　(1)画出不等式3x－4y－12≥0表示的平面区域；

(2)画出不等式3x＋2y＜0表示的平面区域．

[解]　(1)先画直线3x－4y－12＝0，取原点(0,0)，代入3x－4y－12得－12＜0，

所以原点在3x－4y－12＜0表示的平面区域内，

所以不等式3x－4y－12≥0表示的平面区域如图①阴影部分所示．

(2)先画直线3x＋2y＝0(画成虚线)．

因为点(1,0)在3x＋2y＞0表示的平面区域内，

所以不等式3x＋2y＜0表示的平面区域如图②阴影部分所示．

图①　　　 　　　　图②

二元一次不等式表示平面区域的判定方法：

第一步：直线定界．画出直线ax＋by＝0，不等式为ax＋by＋c＞0(＜0)时直线画虚线，不等式为ax＋by＋c≥0(≤0)时画成实线；

第二步：特殊点定域．在平面内取一个特殊点，当c≠0时，常取原点(0,0)．若原点(0,0)满足不等式，则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；若原点不满足不等式，则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域．当c＝0时，可取(1,0)或(0,1)作为测试点．

简记为：直线定界，特殊点定域．

1．画出下列不等式所表示的平面区域：

(1)x－2y＋4≥0；(2)y＞2x.

[解]　(1)先画直线x－2y＋4＝0，取原点(0,0)代入x－2y＋4，得4＞0，

所以原点在x－2y＋4＞0表示的平面区域内．

所以不等式x－2y＋4≥0表示的平面区域如图①阴影部分表示．

(2)先画直线y－2x＝0(画成虚线)，因为点(1,0)不在y－2x＞0表示的平面区域内，所以不等式y＞2x表示的平面区域如图②阴影部分所示．

图①　　　　　　　　图②

【例2】　画出不等式组所表示的平面区域．

[解]　先画出直线2x＋y－4＝0，由于含有等号，所以画成实线．

取直线2x＋y－4＝0左下方的区域的点(0,0)，由于2×0＋0－4＜0，所以不等式2x＋y－4≤0表示直线2x＋y－4＝0及其左下方的区域．

同理对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式x＞2y表示直线x＝2y右下方的区域，不等式y≥0表示x轴及其上方的区域．取三个区域的公共部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图所示．

二元一次不等式表示平面区域的画法

(1)不等式组的解集是各个不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．

(2)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．但要注意是否包括边界．

2．不等式组表示的平面区域是(　　)

A　　　　　　　　　B

C　　　　 　　　　D

C　[取特殊点坐标(如：(0，－1)，(－1,0)等)代入不等式组检验可得C符合．]

[探究问题]

1．已知直线x＋y－3＝0上两点A(1,2)，B(0,3)，又点C的坐标为(4,5)，则△ABC的面积是什么？

[提示]　|AB|＝，又点C(4,5)到直线x＋y－3＝0的距离为d＝＝3.

故S△ABC＝××3＝3.

2．(1)直线方程x＋y－a＝0中，实数a的几何意义是什么？

(2)直线l1：x＋y－2＝0，l2：x＋y－1＝0的位置关系如何？

[提示]　(1)直线x＋y－a＝0在y轴上的截距．

(2)直线l1与l2平行．

【例3】　(1)不等式组所表示的平面区域的面积是________．

(2)若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是(　　)

A．a≥　　 B．0＜a≤1

C．1≤a≤ D．0＜a≤1或a≥

思路探究：(1)画出不等式组表示的平面区域，确定其形状并求面积．

(2)首先画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线x＋y＝a，根据平面区域的形状确定a的取值范围．

(1)6　(2)D　[(1)如图所示，其中的阴影部分便是不等式组所表示的平面区域．由

得A(1,3)．

同理得B(－1,1)，

C(3，－1)．

∴|AC|＝＝2，

而点B到直线2x＋y－5＝0的距离为

d＝＝，

∴S△ABC＝|AC|·d＝×2×＝6.

 (2)作出不等式组

表示的平面区域(如图中阴影部分)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包括l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．]

1．(变条件)把例3(1)中的不等式组换为求其表示平面区域的面积．

 [解]　如图所示，阴影部分为不等式组表示的平面区域

由，得A(8，－2)，

所以面积S＝×2×2＋×2×2＝4.

2．(变条件)把例3(2)中的不等式组换为若其仍然表示一个三角形，求实数a的取值范围．

[解]　如图所示，当直线y＝a介于直线y＝5(含该直线)与直线y＝7(不含该直线)之间时，不等式组表示的平面区域是一个三角形，所以5≤a＜7.

1．求平面区域面积的方法

求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积，若画出的图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则的，可采用分割的方法，将平面区域分为几个规则图形后求解．

2．已知平面区域的形状求参数取值范围的注意点

(1)要首先画出不含参数的不等式所表示的平面区域，注意直线的虚实．

(2)理解字母的几何意义，根据字母值的变化变动直线，查看满足题目条件时字母的值，确定其取值范围．

1．一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0在平面直角坐标系内表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域．

2．在画二元一次不等式表示的平面区域时，应用“直线定边界，特殊点定区域”的方法来画区域，取点时，若直线不过原点，一般用“原点定区域”；若直线过原点，则取点(1,0)即可，总之，尽量减少运算量．

3．画平面区域时，注意边界线的虚实问题.

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)点(2,4)在不等式x＋2y＜1表示的平面区域内．(　　)

(2)由于不等式2x－1＞0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域．(　　)

(3)不等式Ax＋By＋C＞0与Ax＋By＋C≥0表示的平面区域是相同的．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

[提示]　(1)错误，由于2＋2×4＝10＞1，所以点(2,4)不在不等式x＋2y＜1表示的平面区域内．

(2)错误，不等式2x－1＞0表示直线x＝右侧的平面区域．

(3)错误，不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域不包含直线Ax＋By＋C＝0上的一点，而Ax＋By＋C≥0表示的平面区域则包含直线Ax＋By＋C＝0上的点．

2．不等式x－2y＋6≤0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的(　　)

A．右上方　　 B．右下方

C．左上方 D．左下方

C　[如图，作出直线x－2y＋6＝0，又(0,0)不满足x－2y＋6＜0，故其表示的平面区域在直线x－2y＋6＝0的左上方．]

3．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是________．

9　[平面区域如图阴影部分所示，平面区域是△ABC，且A(－2,2)，B(1,5)，C(1，－1)，则BC边上的高h＝3，|BC|＝6，所以平面区域的面积是S＝×3×6＝9.]

4．画出不等式组表示的平面区域．

[解]　不等式x＋y≤5表示直线x＋y－5＝0及左下方(包括直线)的区域．

不等式x－2y＞3表示直线x－2y－3＝0右下方(不包括直线)的区域．

不等式x＋2y≥0表示直线x＋2y＝0及右上方(包括直线)的区域．

所以不等式组表示的平面区域如图．