高中数学4.3简单线性规划的应用学案

4.3　简单线性规划的应用

简单线性规划的实际应用

阅读教材P105～P107“练习”以上部分，完成下列问题．

(1)简单线性规划应用问题的求解步骤：

①设：设出变量x、y，写出约束条件及目标函数．

②作：作出可行域．

③移：作一条直线l，平移l，找最优解．

④解：联立方程组求最优解，并代入目标函数，求出最值．

⑤答：写出答案．

总之，求解线性规划问题的基本程序是作可行域，画平行线，解方程组，求最值．

(2)若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解时，应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点．

思考：(1)线性规划的实际应用问题中，整点最优解是唯一的吗？

[提示]　不是唯一的，可能有多个整点最优解．

(2)解决线性规划实际应用问题最关键的是什么？

[提示]　最关键的是认真审题，列出约束条件，写出目标函数．

1．4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元．设每枝玫瑰花的价格为x元，每枝茶花的价格为y元，则x，y满足的约束条件为(　　)

A．　　　　 B．

C． D．

[答案]　A

2．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．设生产A产品x件，生产B产品y件，列出满足生产条件的约束条件为________．

　[由题意知]

3．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是___________________．

90　[该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x，y∈N*，计算区域内与最近的点为(5,4)，故当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.

]

【例1】　某公司计划同时出售电子琴和洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于两种产品的有关数据如下表

试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？

[解]　设电子琴和洗衣机月供应量分别为x架、y台，总利润为z百元，则根据题意，

有

且z＝6x＋8y，作出不等式组所表示的平面区域，如图中所示的阴影部分．

令z＝0，作直线l0：6x＋8y＝0，即3x＋4y＝0.

当移动直线l0平移至过图中的A点时，z＝6x＋8y取得最大值．

解方程组得A(4,9)，

代入z＝6x＋8y得zmax＝6×4＋8×9＝96.

所以当供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，公司可获得最大利润，最大利润是96百元．

解答线性规划应用题的一般步骤

(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些．由于线性规划应用题中的变量比较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺．

(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．

(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题．

(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．

1．某养鸡场有1万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养．每天每只鸡平均吃混合饲料0.5 kg，其中动物饲料不能少于谷物饲料的.动物饲料每千克0.9元，谷物饲料每千克0.28元，饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50 000 kg，问饲料怎样混合才使成本最低．

[解]　设每周需用谷物饲料x kg，动物饲料y kg，每周总的饲料费用为z元，

由题意得

而z＝0.28x＋0.9y.

如图所示，作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，

作一组平行直线0.28x＋0.9y＝z，其中经过可行域内的点且和原点最近的直线经过直线x＋y＝35 000和直线y＝x的交点A，即x＝，y＝时，饲料费用最低．

所以，谷物饲料和动物饲料应按5∶1的比例混合，此时成本最低．

【例2】　某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600 元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为多少？

[解]　设需A型车x辆，B型车y辆，则

⇒

由目标函数z＝1 600x＋2 400y，得y＝－x＋，表示直线在y轴上的截距，要z最小，则直线在y轴上的截距最小，画出可行域(如图)，

平移直线l：y＝－x到l0过点A(5,12)时，

zmin＝5×1 600＋2 400×12＝36 800.

故租金最少为36 800元．

解答线性规划应用题的技巧

(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要．

(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断．

(3)结合实际问题，分析未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等．

(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式．

2．某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．

[解]　设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，

由题意可得

所用原料的总面积为z＝3x＋2y，

作出可行域如图．

平移直线l0：3x＋2y＝0，经过可行域内的直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点A(2,1)z最小，

∴最优解为x＝2，y＝1.

∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．

[探究问题]

1．采取什么方法能比较容易的从已知条件中列出线性约束条件？

[提示]　通过列表的方法把问题中的已知条件和各种数据进行整理．

2．怎样求线性规划中的最优整数解问题？

[提示]　先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值、最后筛选出最优解．

【例3】　某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元．问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低？

思路探究：弄清题意，设出与运输成本有关的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解．

[解]　设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么

目标函数z＝252x＋160y，

作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图．

作出直线l0：252x＋160y＝0，把直线l0向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小，观察图形，可见当直线252x＋160y＝t经过点(2,5)时，满足上述要求．此时，z＝252x＋160y取得最小值，即x＝2，y＝5时，zmin＝252×2＋160×5＝1 304(元)．

即每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低．

1．(变结论)例3的条件不变，问每天派出甲型车与乙型车各多少辆时，车队所花费成本最高？

[解]　由例3的解答，作出直线l0：252x＋160y＝0，把直线l0向上方平移，使其经过可行域上的整点，且在y轴上的截距最大，观察图形，可见当直线252x＋160y＝t经过点(4,5)时，满足上述要求，此时，z＝252x＋160y取得最大值，即x＝4，y＝5时，zmax＝252×4＋160×5＝1 808(元)，即每天派出甲型车4辆，乙型车5辆，车队所用成本费最高．

2．(变条件)把例3的条件换为下表所示：

现有10名驾驶员，车队每天至少要运送180 t矿石至冶炼厂．

试确定每天派出甲型卡车与乙型卡车的数量，使车队所花费的成本费最低．

[解]　设矿山车队每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，每天花费的成本是z元，则z＝320x＋504y，其中x，y满足约束条件

作可行域如图(阴影内的整点)所示．

作直线l0：320x＋504y＝0.

在可行域内的整点中，直线经过(8,0)时，zmin＝8×320＝2 560(元)．

所以每天派出甲型卡车8辆就能完成任务，且花费成本最低．

寻找整点最优解的三种方法

(1)平移找解法：先打网络，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．

(2)小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值．

(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解．

1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图中操作尽可能规范．

2．解答线性规划实际应用题的步骤

(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．

(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．

(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案.

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)线性规划实际问题中的可行域可能是有界的，也可能是无界的．(　　)

(2)线性目标函数的最优整数解不唯一．(　　)

(3)线性目标函数的整点最优解是离非整点最优解最近的整点．(　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×

[提示]　(1)(2)正确，(3)错误，二者不一定距离最近，要根据具体的题目条件确定．

2．有5辆6 t的汽车，4辆4 t的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为(　　)

A．z＝6x＋4y　 B．z＝5x＋4y

C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y

A　[由题意可知z＝6x＋4y为目标函数．]

3．某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种用品应各买的件数为(　　)

A．2件，4件 B．3件，3件

C．4件，2件 D．不确定

B　[设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则

求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3,3)．]

4．某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产品，已知生产1 t A产品，1 t B产品分别需要的甲、乙原料数，可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示．

问：在现有原料下，A、B产品应各生产多少才能使利润总额最大？

[解]　设生产A、B两种产品分别为x t、y t，其利润总额为z万元，根据题意，可得约束条件为

目标函数z＝4x＋3y，作出可行域如图：

作直线l0：4x＋3y＝0，再作一组平行于l0的直线l：4x＋3y＝z，当直线l经过点P时z＝4x＋3y取得最大值，

由解得交点P.

所以有zmax＝4×＋3×1＝13(万元)．

所以生产A产品2.5 t，B产品1 t时，总利润最大，为13万元．