人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何本章综合与测试导学案及答案

再练一课(范围：§1.1～§1.4)

1．已知A(1,5, －2)，B(2,4,1)，C(x，3，y＋2)，且A，B，C三点共线，则实数x，y的值分别为(　　)

A．3，－3   B．6，－1

C．3,2   D．－2,1

答案　C

解析　＝(1，－1,3)，＝(x－1，－2，y＋4)．

∵A，B，C三点共线，∴＝＝，∴x＝3，y＝2.

2．在平面ABCD中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(x，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y2等于(　　)

A．2  B．0  C．1  D．3

答案　C

解析　＝(1,1,0)，＝(－1，－1，－2)，

由a为平面ABC的法向量知

即

令x＝－1，则y＝1，∴y2＝1.

3．已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　因为a－b＝(－1－t，1－2t，0)，

所以|a－b|＝＝，

由配方法可求得最小值为.

4．已知两平面的法向量分别为m＝(0，，0)，n＝(，，2)，则两平面的夹角为(　　)

A．60°  B．120°  C．30°  D．90°

答案　A

解析　因为cos〈m，n〉＝＝＝，所以〈m，n〉＝60°.

5．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，

则＝，＝，

因为·＝，||＝，||＝，

所以cos〈，〉＝.

6．a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积是________．

答案　6

解析　cos〈a，b〉＝＝－，得sin〈a，b〉＝，

由公式S＝|a||b|sin 〈a，b〉可得结果为6.

7.如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2，则 SC 与 AB 所成角的大小为________．

答案　 60°

解析　因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，所以·＝0 ，

又AB⊥BC，AB＝BC＝2，所以∠BAC＝45°，AC＝2.

因此·＝||||cos 45°＝2×2×＝4.

所以·＝(－)·＝·－·＝4，

又SA＝2 ，所以SC＝＝4，

因此cos〈，〉＝＝＝，

所以SC与AB所成角的大小为60° .

8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上，且AM＝MC1，N为BB1的中点，则MN的长为________．

答案　a

解析　以A为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则M，N，所以＝，

所以||＝＝.

9.如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.

求证：(1)BC1⊥AB1；

(2)BC1∥平面CA1D.

证明　如图，以C1为原点，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．

(1)由于＝(0，－2，－2)，

＝(－2,2，－2)，

因此·＝0－4＋4＝0，

因此⊥，

故BC1⊥AB1.

(2)取A1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)，

所以＝(0,1,1)，

又＝(0，－2，－2)，

所以＝－，

又ED和BC1不共线，所以ED∥BC1，

又DE⊂平面CA1D，BC1⊄ 平面CA1D，

故BC1∥平面CA1D.

10．如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．

解　依题意可得P，

设点Q(0,1，z)(0≤z≤1)，则

||＝

＝，

所以当z＝时，|PQ|min＝，

此时Q，Q恰为CD的中点．

所以|PQ|的最小值为.

11．在正方体ABCD －A1B1C1D1中，平面A1BD与平面BDC1夹角的余弦值等于________．

答案　

解析　设正方体棱长为1，以，，为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.

求出平面A1BD与平面C1BD的法向量分别为n1＝(1，－1，－1)，n2＝(－1,1，－1)．

∴平面A1BD与平面BDC1夹角的余弦值|cos〈n1，n2〉|＝＝.

12．直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________．

答案　3

解析　以C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(4,0,0)，B(0,3,0)，P，

所以＝(－4,3,0)，＝.

所以点P到AB的距离为＝3.

13.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，对角线AC，BD交于点O，OA＝4，OB＝3，OP＝4，OP⊥底面ABCD.设点M满足＝λ(λ>0)，当λ＝时，直线PA与平面BDM所成角的正弦值是________．

答案　

解析　以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则＝(4,0，－4)，＝(0,6,0)，＝(－4,3,0)．

当λ＝时，得M，

所以＝.

设平面DBM的法向量为n＝(x，y，z)，

则

解得y＝0，令x＝2，则z＝1，所以n＝(2,0,1)．

因为cos〈，n〉＝＝＝，

所以直线PA与平面BDM所成角的正弦值为.

14．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的长度之和为________．

答案　1

解析　如图建立空间直角坐标系，

令CE＝m，DF＝n，

∴B1(1,1,0)，E(m，1,1)，A(1,0,1)，F(0,0,1－n)，B(1,1,1)，

∴＝(m－1,0,1)，＝(－1,0，－n)，＝(0,1,0)，

∵B1E⊥平面ABF，

∴

∴

即m＋n＝1，∴CE＋DF＝1.

15.如图，过边长为1的正方体ABCD的顶点A作线段EA⊥平面ABCD，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE夹角的大小是(　　)

A．120°   B．45°

C．135°   D．60°

答案　B

解析　以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．

设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，

则有

可取n＝(1,0,1)．

又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，

所以cos 〈n，〉＝＝，

故平面ADE与平面BCE的夹角为45°.

16.如图，在四棱锥E－ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB＝4，BC＝CD＝EA＝ED＝2.

(1)证明：BD⊥平面AED；

(2)求平面ADE和平面CDE夹角的余弦值．

(1)证明　因为BC⊥CD，BC＝CD＝2，

所以BD＝2.

又因为EA⊥ED，EA＝ED＝2，

所以AD＝2.

又因为AB＝4，由勾股定理知BD⊥AD.

又因为平面EAD⊥平面ABCD，

平面EAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，

所以BD⊥平面AED.

(2)解　如图，取AD的中点O，连接OE，则OE⊥AD.

因为平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，

所以OE⊥平面ABCD.

取AB的中点F，连接OF，则OF∥BD.

因为BD⊥AD，所以OF⊥AD.

以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，

则D(－，0,0)，C(－2，，0)，E(0,0，)，

＝(－，，0)，＝(，0，)．

设平面CDE的法向量为n1＝(x，y，z)，

则所以

令x＝1，可得平面CDE的一个法向量n1＝(1,1，－1)．

又平面ADE的一个法向量为n2＝(0,1,0)．

因此|cos〈n1，n2〉|＝＝.

所以平面ADE和平面CDE夹角的余弦值为.